第六章 模拟滤波器设计

信号和系统

模拟

滤波器设计

信号和系统

滤波的概念滤波: 把信号中的某些频率分量分离出来或去掉的过程. 滤波器按处理的信号不同,可分为:

模拟滤波器(AF)数字滤波器(DF) 按通频带不同,可分为: 低通滤波器(LP) 高通滤波器(HP) 带通滤波器(BP) 带阻滤波器(BS)

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它们的理想幅频特性如图6.1.1所示:H a (jΩ) H a (jΩ)

低通 0 Ω H a (jΩ) 0

高通 Ω H a (jΩ)

带通 c Ω 0

带阻 Ω

图6.1.1 各种理想滤波器的幅频特性 本章主要讲述模拟滤波器的设计，关于模拟滤波器设计 的理论和方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟 滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、 切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝 塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公

式、现成的曲线和图表供设计人员使用。

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理想滤波器的特性一、 信号无失真传输条件 y(t)=kx(t-td) 其中 k, td为常数

对于如图所示系统,如果满足 即输出信号的幅值与输入信号成比例，而时间上延迟了td。 称这样的传输为无失真传输。 系统的频率响应为: H(jΩ)=ke-jΩtdx(t)T [ ]

y(t)

即幅频特性： |H(jΩ)|=K相频特性： =-Ωtd

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二、 理想滤波器的特性 理想滤波器的频率特性： 通带内： H(jΩ)=ke-jΩtd 信号无失真传输

阻带内： H(jΩ)=0过渡带宽度为0

无信号通过。

但理想滤波器是物理不可实现的，这是因为hL(t)是一个 无限长的、非因果系统。 实际的滤波器只能逼近理想滤波器，它允许通带和阻带 中的幅频特性有一定的变化，且通带、阻带之间有一个 平滑的过渡带。另外，为了设计的规范化，通常规定滤 波器通带中的最大幅度值为1

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一般在模拟低通滤波器的设计时所给出的技术指标有： Ωp:通带截止频率 Ωs:阻带截止频率 αp:通带最大衰减系数。

αs:阻带最小衰减系数。αp和αs一般用dB表示，为功率衰减值。它可表示为： 10 lg1 10 lg | H a ( j ) |2 | H a ( j ) |22

p 10 lg H a ( j p ) s 10 lg H a ( j s )2

以上技术指标用图6.2.2表示。 图6.2.2 低通滤波器的 幅度特性

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图中Ωc称为3dB截止频率，即： 20 lg H a ( j c ) 3dB H a ( j c ) 1 / 2,

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模拟低通滤波器的设计模拟滤波器的设计通常仅考虑其幅频特性，并常用 H a ( j ) 的形式来表示。 为了逼近理想低通的幅频特性，有通、阻带都单调衰2

减的巴特沃思(BW型)滤波器，通带(或阻带)是等波动逼近，阻带(或通带)单调衰减的切比雪夫(CB型) 滤波器。通阻带都是等波动逼近的考尔(C型)滤波器或 称椭圆滤波器。 其中，BW和CB型是全极点型，C型是零极点型滤波器。

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一、巴特沃斯(BW)低通滤波器的设计

特点：具有通带内

最大平坦的振幅特性，且随f↗单调↘1、巴特沃斯(BW)低通滤波器的幅度平方函数：

H a ( j )

2

1 2N 1 ( ) c

其中：Ω c为3dB时截止频率N为滤波器的阶数 滤波器的功率衰减为:

2N 10 lg | H a ( j ) | 10 lg(1 ( ) ) c2

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其幅频特性曲线如图6.3.1所示.

图6.3.1 巴特沃斯低通滤波器幅频特性和N的关系 可看出： N越大，通带和阻带的近似性越好，过渡带也 越陡。幅频特性愈接近理想。

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2、BW低通滤波器的设计

模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs,要求设计出LP。 (1)、求阶数N

10 lg(1 ((

2N ) ) c (6.3.1)

2N ) 100.1 1 c

将αp, Ωp及αs和Ωs分别代入(6.3.1),得：( ( p c ) 2 N 100.1 p

1

(6.3.2) (6.3.3)

s 2 N ) 100.1 s 1 c

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由式(6.3.2) 及 (6.3.3)可得：( p s )N p s 10 p 1 100.1as 10.1a

(6.3.4)

N lg(

) lg

10 p 1 100.1as 10.1a

令

sp s / p ,

10 p 1 k sp 100.1as 10.1a

则N由下式表示N lg k sp lg

sp

(6.3.5)

用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最 小整数。

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关于3dB截止频率Ωc,如果技术指标中没有给出，可以 按照(6.3.2)式或(6.3.3)式求出，由(6.3.2)式得到： c p (100.1a p 1 2N

1)

(6.3.6)

由(6.3.3)式得到： c s (100.1as

1)

1 2N

(6.3.7)

理论上两式求得的Ωc应相同，但由于N取整，可能使得两个Ωc不等，按(6.3.6)式求得的Ωc,将使设计的滤 波器满足通带要求，而阻带指标将超过给定值。按(6.3.7) 式求得的Ωc,情况正相反。

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(2)、求H(S)

考虑因果系统:

H a ( j ) ha (t )e j t dt0

式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。

H a ( j ) ha (t ) cos t j sin t dt0

不难看出:

H a ( j ) H a ( j )

将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：

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* | H a ( j ) |2 H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j )

H a ( s ) H a ( s ) |s j 1 H a ( s) H a ( s) s 2N 1 ( ) j c

此式表明幅度平方函数有2N个极点，求极点:

令：

s 2N 1 ( ) 0 j c s 2N ( ) 1 e j ( 2 k ) j c k 0,1, 2 N 1

极点sk为：

sk ( j c )e

j (

2 k 1 ) 2N

c e

1 2 k 1 j ( ) 2 2N

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H a ( s) H a ( s) 共有2N个极点，它们均匀分布在以Ωc为半径的圆周上，两个极点之间的间距为 /N. 如图所示,为N=3时的极点分布1 2 k 1 j ( ) 2 2N

sk c e

三阶巴特沃斯滤波器极点分布

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为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面 的N个极点构成Ha(s),而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为H a ( s)

(s sk 0

N 1

N c k

)

N 式中 c

是为使S=0时Ha(s)=1而引入的2 j 3 2 j 3

例如设N=3,则极点有6个，它们分别为s0 c e s2 c e s4 c s1 c s3 c e s5 c e1 j 3

sk c e

1 2 k 1 j ( ) 2 2N

1 j 3

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取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s):H a ( s) 3 c ( s c )( s 2 j 3 c

)( s

2 j 3 c

)

由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有

的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为1 H a ( s ) N 1 s sk ( ) k 0 c c

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。

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令λ=Ω/Ωc,称为归一化频率； p=s/Ωc=jλ,称为归一化复变量.

归一化巴特沃斯滤波器的传输函数为:H a ( p) 1

( p p )k k 0

N 1

(6.3.8)

式中，pk为归一化极点，用下式表示：1 2 k 1 j ( ) sk 2 2N pk e , c

k 0,1, , N 1

(6.3.9)

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总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：

(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs,用(6.3.5)式求阶数N。N lg k sp lg

sp

(6.3.5)

(2)根据(6.3.9)式，求出归一化极点pk,将pk代入(6.3.8) 式，得到归一化传输函数Ha(p)。1 2 k 1 j ( ) 2 2N

pk e

,

k 0,1, , N 1(6.3.8)

(6.3.9)

H a ( p)

1

( p p )k k 0

N 1

(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p),得到实际的 滤波器传输函数Ha(s)。

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例6.3.1 设计一个BW低通滤波器，在0≤Ω≤1000rad/s时， 衰减不大于1dB,在Ω≥5000rad/s衰减不小于10 dB 。

解：技术指标：Ωp=1000rad/s,αp=1dB,Ωs=5000rad/s,αs=10dB 1、求Nk spp 10 1 0.1696 0.1as 10 1 2 f s 5 2 f p

0.1a

sp

lg 0.1696 N 1.1024 lg 5 取 N=2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hig1.html