全国2014年4月自考高等数学（一）00020试题

全国2014年4月高等教育自学考试

高等数学（一）试题 课程代码：00020

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，30分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑.错涂、多涂或未涂均无分. 1.下列运算正确的是（ ）. A. ln 6 + ln 3 = ln 9 C. (1n 6)(ln 3)=ln 18

答案：B

解析：ln6-ln3=ln（6 / 3）= ln2

??2.设函数f(x)可导，且f???x,则导数f'(x)=（ ）.

?x?1B. ln 6- ln 3 = ln 2 D.

ln6?ln2 ln3A. C.

1 2x1xB.- D.-1 2x1x答案：D 解析：f'(x)=f??1?1??1??1?? ??x?????2????2?2x?x??x??x??11?xy，则 f ?,?=（ ）. x?y?yx?3.设函数厂f(x,y)=A.

1 y?xB.

x?y yx

1C. x?yx2y2D.

x?y答案：C

1xy1?11????解析：f ?,??. 11yxyxx?yx?y???yx1yx4.函数f(x)=sin x+cos x是（ ）. A. 奇函数 C. 非奇非偶函数

答案：C

解析：f(-x)=sin（-x）+cos（-x）=?sin x+cos x??f(x) , ?sin x+cos x?f(x) 所以函数f(x)=sin x+cos x是非奇非偶函数

B. 偶函数

D. 既是奇函数又是偶函数

5.下列各对函数中，为同一函数的是（ ）. A. y = ln(x2) 与y = 21n|x| C. y=x 与y=?x?

2B. y = tan(2x) 与y = 2tan x

x2?1

D. y=x-1与y=

x?1

答案：A

22tanxx2?1解析：A 中ln(x) =21n |x| ，B中 tan(2x)?的定义域?2tan x ，C中?x?的定义域是x >0，D中

x?11?tan2x2

是x?0.

6.设函数f(x)=2x2，g(x)=sin x，则当x→0时( ). A. f(x) 是比g(x) 高阶的无穷小量 B. f(x) 是比g(x) 低阶的无穷小量

C. f(x) 与g(x ) 是同阶但非等价的无穷小量 D. f(x) 与g(x) 是等价无穷小量

答案：A

f?x?2x22x2解析：lim?lim?lim?lim2x?0

x?0g?x?x?0sinxx?0xx?0?3x2?4x?a,x<2?7.设函数f(x)??b,x?2在x=2处连续，则（ ）.

?x?2,x?2?A. a=1，b=4 C. a=1，b=5

答案：B

B. a=0，b=4 D. a=0，b=5

2解析：limf?x??lim?x?2??4,f?2??b,所以b?4,limf?x??lim3x?4x?a?12?8?a?4,所以a?0

x?2x?2x?2x?2??

8.设y=y(x)是由方程xy3=y-1所确定的隐函数，则导数y′A. -1 C. 1

答案：C

解析：设F（x ,y(x)）=xy3?y?1,则Fx??y3,Fy??3xy2?1,将x=0代入方程xy3?y?1,得y=1. 因为Fx??0,1??13?1,Fy??0,1??0?1??1,y?x?0x?0

=( ).

B. 0 D. 2

??Fx??0,1??1

Fy??0,1??处取得极值，则a=（ ）. 29.已知函数y= a cos x+cos 2x(其中a为常数)在x =A.0 C.2

答案：A

解析：y???asinx?sin2x,y?x?12B.1 D.3

?2??asin?2?sin???a?0?0,a?0

10.设函数f(x)=

lnx，则下列结论正确的是（ ）. xA. f(x)在(0，+∞)内单调减少 C. f(x)在(0，+∞)内单调增加

答案：D 解析：f??x??B. f(x)在(0，e)内单调减少? D. f(x)在(0，e)内单调增加

1?lnx，当x??0,e?，f??x??0，所以f(x)在(0，e)内单调增加，当x??e,+??，f??x??0，所x2以f(x)在(0，e)内单调减少，

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.

二、简单计算题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

x3?3x2?211.求极限lim. 3x??5x?1321??3x?3x?2xx?1 解：lim?limx??x??15x3?155?3x32

12.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1, f′(x)=2.用导数定义求极限limx?0f(x)?1. x解：limx?0f?x??1f?0?x??f?0??lim?f??0??2 x?0xx12x13.设函数f(x)满足f′(x)=解：由不定积分的性质有

，且f(1)=2,求f(x).

x?C.

（C为任意常数），则有f?x???f??x?dx?C??f??x?dx?f?x??C，

再由题目条件f(1)=2 , 即f(1)=1?C?2，解得C=?1，则f?x??x?1

14.求曲线y?x3?3x2?1的拐点.

解：y??3x?6x,y???6x?6，令y???0，即6x?6?0，解得x?1,此时y?1?3?1?1??3，

232???6x 当x?1时，y 当x?1时，y???6x?6?0，因此点（1，-3）是曲线的拐点. ?6?，015.求微分方程eyy??e3x=0的通解.

解：ey??ey3x?eydy3x?e?0,则有eydy?e3xdx，对方程两边同时积分dx13x1yy3xy3xedy?edx?e?e?C?3e?e?C(C为任意常数). ??33三、计算题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

k?1?16.已知极限lim?=e2，求常数k的值. ??x???x?x/k??1???k?解：?lim?1???lim??1??ek,?k?2 ??x???x?x?????x/k???xkx17.求抛物线y= x2上一点，使该点的切线平行于直线y?4x?3.

解:直线y?4x?3的斜率为y???4x?3???4，两条直线平行，是指斜率相等，因此y?x2的切线的斜率

y???x2???2x?4，解得x?2，此时y?x2?22?4，即抛物线上的点（2,4）的切线平行于直线y?4x?3 18.求极限lim??x?0?x?1ln(1?x)?. x2???11???1?x21????1ln(1?x)x?ln(1?x)????1?x?lim??解：lim???lim?lim???x?0xx2?x2??x?0???x?0?2x?x?0?2????19.计算定积分I=?

20????1 ?2??xdx. 22?x

解：I=?20x121121112?2212222dx??dx??d(2+x)?ln?2?x??ln?ln3

022?0222?x2202?x2202?x221dxdy，其中D是由直线y=x，y=1及x=5所围成的平面区ylnx20.计算二重积分I=??D域，如图所示.

解：由图可以看出x的取值范围为1?x?5，二重积分可以化为

51x15?11I=??dxdy=?1dx?dy=???lny1?lnxDylnxlnx1y??515dx????lnx?ln1?dx??1dx?5?1?4 ??1lnx11?x四、综合题(本大题共4小题，共25分) 21.(本小题6分)

设某厂生产收音机Q台时的总成本为C(Q)=2000+10Q(元)，销售价格为P=800-Q(元)，假定产销平衡. (1)求利润函数L(Q)；

(2)问该厂生产多少台时可获得最大利润?并求获得最大利润时的价格.

解：(1)求利润函数L(Q)=PQ?C??800?Q?Q??2000?10Q???Q2?790Q?2000

(2)L?Q??Q2?790Q?2000??2Q?790,令L??Q??0,即-2Q+790=0，解得Q=395（台）

??????2Q?790???2?0，因此Q=395是极大值点，由于Q=395是唯一的驻点，因此?L???Q???LQ???????Q=395时L(Q)取最大值.也就是说产量为395台时，该公司可获得最大利润.

获得最大利润的价格P=800?Q=800?395?405（元）.

22.(本小题6分)

设D是由抛物线y=1-x2与x轴所围成的平面区域，如图所示.求： (1)D的面积A；

(2)D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx.

解：（1）由图可以看出，区域D是简单的上下结构，D的面积为

331?1??4??13???x?2A???1?x?0?dx??x????1??????1????

?1333????1?????31(2)D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积

Vx.=????1?x?1??122??x523?2?42?0?dx????x?2x?1?dx????x?x??1??53??1115????1523????1?23??16??????1?1???????1????1???=?

153??????53?5???

23.(本小题6分)

设z=z(x，y)是由方程2sin(2x+3y-5z)=2x+3y-5z所确定的隐函数，求证

证：令F(x,y,z)?2x?3y?5z?2sin(2x?3y?5z),则

?z?z??1. ?x?yFx?(x,y,z)??2x?x???3y?x???5z?x???2sin(2x?3y?5z)?x??2?4cos?2x?3y?5z?

Fy?(x,y,z)??2x?y???3y?y???5z?y???2sin(2x?3y?5z)?y??3?6cos?2x?3y?5z? Fz?(x,y,z)??2x?z???3y?z???5z?z???2sin(2x?3y?5z)?y???5?10cos?2x?3y?5z?

从而

Fy?2?4cos?2x?3y?5z?3?6cos?2x?3y?5z?F??z?z，， ??x???????xFz??5?10cos?2x?3y?5z??yFz??5?10cos?2x?3y?5z?2?4cos?2x?3y?5z?3?6cos?2x?3y?5z??5?10cos?2x?3y?5z??z?z??????1，原题得证. ?x?y5?10cos?2x?3y?5z??5?10cos?2x?3y?5z??5?10cos?2x?3y?5z?24.(本小题7分) 计算定积分I=?0解：令t?38811?3xdx.

x，则x?t3；当x?0时，t?0;当x?8时，t?2;

12222t2t?1?12?t?1??t?1??12?131?从而，I=?0dx=dt?3dt?3dt?3dt?3t?1?dt ??3???????000001?x1?t1?t1?t1?t1?t????1?1???1???3?t2?t?lnt?1??3????22?2?ln?2?1?????02?0?ln?0?1????3ln3

?2?0??2????22

23.(本小题6分)

设z=z(x，y)是由方程2sin(2x+3y-5z)=2x+3y-5z所确定的隐函数，求证

证：令F(x,y,z)?2x?3y?5z?2sin(2x?3y?5z),则

?z?z??1. ?x?yFx?(x,y,z)??2x?x???3y?x???5z?x???2sin(2x?3y?5z)?x??2?4cos?2x?3y?5z?

Fy?(x,y,z)??2x?y???3y?y???5z?y???2sin(2x?3y?5z)?y??3?6cos?2x?3y?5z? Fz?(x,y,z)??2x?z???3y?z???5z?z???2sin(2x?3y?5z)?y???5?10cos?2x?3y?5z?

从而

Fy?2?4cos?2x?3y?5z?3?6cos?2x?3y?5z?F??z?z，， ??x???????xFz??5?10cos?2x?3y?5z??yFz??5?10cos?2x?3y?5z?2?4cos?2x?3y?5z?3?6cos?2x?3y?5z??5?10cos?2x?3y?5z??z?z??????1，原题得证. ?x?y5?10cos?2x?3y?5z??5?10cos?2x?3y?5z??5?10cos?2x?3y?5z?24.(本小题7分) 计算定积分I=?0解：令t?38811?3xdx.

x，则x?t3；当x?0时，t?0;当x?8时，t?2;

12222t2t?1?12?t?1??t?1??12?131?从而，I=?0dx=dt?3dt?3dt?3dt?3t?1?dt ??3???????000001?x1?t1?t1?t1?t1?t????1?1???1???3?t2?t?lnt?1??3????22?2?ln?2?1?????02?0?ln?0?1????3ln3

?2?0??2????22

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