青海省西宁市沈那中学2017届九年级(上)第二次月考数学试卷(解析

2016-2017学年青海省西宁市沈那中学九年级（上）第二次月考

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，6）关于原点对称的点在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（ ）

A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2

D．最大值2

4．△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，若以C为圆心，5cm为半径作圆，则斜边AB与⊙O的位置关系是（ ） A．相离

B．相切

C．相交

D．不能确定

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将它绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C′．若点B′恰好落在线段AB上，则旋转角的度数是（ ）

A．40° B．50° C．70° D．80°

6．关于x的方程（2﹣a）x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

7．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（ ） A．x=﹣1

B．x=1 C．x=3 D．x=﹣3

8．某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为（ ）

A．200+200（1+x）2=1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 C．200（1+x）2=1400 D．200（1+x）+200（1+x）2=1400

9．如图，在半径为4cm的⊙O中，劣弧AB的长为2π cm，则∠C=（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

10．已知二次函数y1=ax2+bx+c （a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）

A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜8 C．x＞8 D．x＜﹣2 或x＞8

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．若x=1是方程x2+2x﹣3m=0的根，则m= ．

12．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB= 度．

13．二次函数y=（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为 ． 14．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF=8，AD=2，则

⊙O半径的长是 ．

15．如果x1、x2是方程2x2﹣3x﹣6=0的两个根，那么x1+x2= ． 16．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积是 ．

17．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为 ． 18．用总长为60米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积S随矩形的一边长a的变化而变化，则当a是 时，场地的面积S最大？

19．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为 ．

20．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x y … … ﹣2 ﹣1 0 4 0 6 1 6 2 4 … … 从表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号） ①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x=； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

三、解答题：

21．（6分）解方程：（2x+1）2﹣4x﹣2=0．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为

1个单位长度．四边形ABCD顶点都在格点上，点A的坐标为（﹣2，﹣1） （1）以点A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB′C′D′．画出旋转后的图形，并写出B′、C′、D′的坐标； （2）求点C旋转轨迹的长度．

23．（8分）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．

24．（8分）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

25．（8分）手工课上，小明准备做个形状是菱形的风筝，这个菱形两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积为S，随其中一条对角线的长x的变化而变化．

①求S与x之间的函数关系式（不要求写出取值范围）

②当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大的面积是多少？

26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长．

27．（10分）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．如果每件的售价每涨价1元（售价不可以高于45元），那么每星期少卖出10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期销量为y件． （1）求y与x的函数关系式；

（2）如何定价才能使每星期的利润为1560元？

28．（12分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和C（0，﹣5）．

（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标； （2）设抛物线的顶点为D，求四边形ACDB的面积；

（3）点P（2，﹣2）是二次函数的对称轴上一点，连接OP，找出x轴上所有点M，使得△OPM是等腰三角形，并直接写出所有点M的坐标．

2016-2017学年青海省西宁市沈那中学九年级（上）第二

次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念对各项分析判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本项错误； ②不是中心对称图形，故本项错误； ③是中心对称图形，故本项正确； ④不是中心对称图形，故本项错误． 故选C．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，6）关于原点对称的点在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【解答】解：由M（﹣2，6）关于原点对称，得 （2，﹣6）， 故选：D．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标

互为相反数，纵坐标互为相反数得出对称点是解题关键．

3．已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（ ）

A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2 【考点】二次函数的最值．

【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），可直接做出判断． 【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3）， 所以该抛物线有最大值﹣3． 故选B．

【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

4．△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，若以C为圆心，5cm为半径作圆，则斜边AB与⊙O的位置关系是（ ） A．相离

B．相切

C．相交

D．不能确定

D．最大值2

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出结果．

【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12； 由勾股定理，得：AB2=52+122=169， ∴AB=13；

∴C到斜边AB的距离是

＜5，

∴斜边AB与⊙O的位置关系是相交． 故选C．

【点评】本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将它绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C′．若点B′恰好落在线段AB上，则旋转角的度数是（ ）

A．40° B．50° C．70° D．80° 【考点】旋转的性质．

【分析】由三角形的内角和为180°可得出∠A=40°，由旋转的性质可得出BC=B′C，从而得出∠B=∠BB′C=50°，再依据∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′计算即可得出结论．

【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°， ∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°． 由旋转的性质可知：BC=B′C， ∴∠B=∠BB′C=50°．

又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′， ∴∠ACB′=10°， ∴∠A′CO=80°． 故选D．

【点评】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出∠ACB′=10°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．

6．关于x的方程（2﹣a）x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【考点】根的判别式；一元一次不等式组的整数解．

【分析】由于关于x的方程（2﹣a）x2+5x﹣3=0有实数根，分情况讨论： ①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根； ②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值． 【解答】解：∵关于x的方程（2﹣a）x2+5x﹣3=0有实数根，

∴①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根； ②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程， 如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数， ∴△=25+12（2﹣a）≥0， 解之得a≤

，

∴整数a的最大值是4． 故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．

注意次方程应分是一元二次方程与不是一元二次方程两种情况进行讨论．

7．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（ ） A．x=﹣1

B．x=1 C．x=3 D．x=﹣3

【考点】二次函数的性质．

【分析】把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入二次函数解析式，求出二次函数解析式，再化简即可．

【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，

把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得，

则二次函数解析式为y=5x2﹣10x+4=5（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1． 故选：B．

【点评】本题主要考查了二次函数，解题的关键是正确的求出二次函数解析式．

8．某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后

两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为（ ）

A．200+200（1+x）2=1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 C．200（1+x）2=1400 D．200（1+x）+200（1+x）2=1400 【考点】一元二次方程的应用．

【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1400且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x． 【解答】解：已设这个百分数为x． 200+200（1+x）+200（1+x）2=1400． 故选B．

【点评】本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．

9．如图，在半径为4cm的⊙O中，劣弧AB的长为2π cm，则∠C=（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30° 【考点】弧长的计算．

【分析】连接OB、OA，根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据圆周角定理解答即可．

【解答】解：连接OB、OA， 设∠AOB的度数为n， 则

=2π，

解得，n=90°， ∴∠C=∠AOB=45°， 故选：C．

【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键．

10．已知二次函数y1=ax2+bx+c （a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）

A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜8 C．x＞8 D．x＜﹣2 或x＞8 【考点】二次函数与不等式（组）．

【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：∵A（﹣2，4）、B（8，2），

∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8． 故选D．

【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．若x=1是方程x2+2x﹣3m=0的根，则m= 1 ． 【考点】一元二次方程的解．

【分析】由一元二次方程解的定义知，将x=1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程，即可求得m的值． 【解答】解：根据题意，得

12+2×1﹣3m=0，即3﹣3m=0， 解得，m=1； 故答案是：1．

【点评】本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．

12．B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，如图，点A、若∠BOC=56°，则∠ADB= 28 度．

【考点】圆周角定理；垂径定理． 【分析】根据垂径定理可得点B是继而得出答案．

【解答】解：∵OB⊥AC， ∴

=

，

中点，由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC，

∴∠ADB=∠BOC=28°． 故答案为：28．

【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

13．二次函数y=（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为 ﹣1 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】将（0，0）代入y=（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值． 【解答】解：∵二次函数y=（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点， ∴a2﹣1=0， ∴a=±1， ∵a﹣1≠0， ∴a≠1，

∴a的值为﹣1． 故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的特征，图象过原点，可得出x=0，y=0．

14．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF=8，AD=2，则⊙O半径的长是 5 ．

【考点】垂径定理；解直角三角形．

【分析】连接OE，由题意得：OE=OA=R，ED=DF=4，再解Rt△ODE即可求得半径的值．

【解答】解：连接OE，如下图所示，则： OE=OA=R，

∵AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB， ∴ED=DF=4， ∵OD=OA﹣AD， ∴OD=R﹣2，

在Rt△ODE中，由勾股定理可得： OE2=OD2+ED2， ∴R2=（R﹣2）2+42， ∴R=5． 故答案为：5．

【点评】本题考查了垂径定理和解直角三角形的运用．

15．如果x1、x2是方程2x2﹣3x﹣6=0的两个根，那么x1+x2= 1.5 ． 【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系进行解答：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣．

【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣6=0的两个根， ∴x1+x2=﹣

=1.5．

故答案为：1.5．

【点评】本题考查了根与系数的关系，关键是记住x1+x2=﹣．

16．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积是 15π ． 【考点】圆锥的计算．

【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．

【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴母线长为5，

∴圆锥的侧面积为：πrl=π×3×5=15π， 故答案为：15π

【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．

17．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为 30或150° ．

【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．

【分析】首先根据题意画出图形，由某个圆的弦长等于它的半径，△OAB是等边三角形，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得答案．

【解答】解：如图，根据题意得：OA=AB=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°，

∴∠ACB=∠AOB=30°， ∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°．

即这条弦所对的圆周角的度数为：30°或150°． 故答案为：30°或150°．

【点评】此题考查了圆周角定理?、圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

18．用总长为60米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积S随矩形的一边长a的变化而变化，则当a是 15 时，场地的面积S最大？ 【考点】二次函数的应用．

【分析】根据题意表示出矩形的另一边长，再根据长方形面积公式列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出其最值情况．

【解答】解：根据题意，矩形的一边长为a米，则另一边长为（30﹣a）米， ∴S=a（30﹣a）=﹣a2+30a=﹣（a﹣15）2+225， 即当a=15时，S最大值=225， 故答案为：15．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据长方形面积公式列出函数解析式，将其配方成顶点式是解题的关键．

19．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为 30 ．

【考点】切线长定理．

【分析】由于CA、CE，DE、DB都是⊙O的切线，可由切线长定理将△PCD的周长转换为PA、PB的长．

【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴PA=PB=15；

同理，可得：EC=CA，DE=DB；

∴△PDC的周长=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=30． 即△PCD的周长是：30． 故答案为：30．

【点评】此题主要考查了切线长定理的应用．能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长是解答此题的关键．

20．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x y … … ﹣2 ﹣1 0 4 0 6 1 6 2 4 … … 从表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号） ①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x=； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．

【分析】根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，再根据抛物线的性质即可进行判断．

【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，

即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）； ∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣=， 根据表中数据得到抛物线的开口向下，

∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6， 并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大． 所以①③④正确，②错． 故答案为：①③④．

【点评】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．

三、解答题：

21．解方程：（2x+1）2﹣4x﹣2=0． 【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求出x的值即可．

【解答】解：∵原方程可化为4x2﹣1=0， ∴（2x+1）（2x﹣1）=0， ∴2x+1=0或2x﹣1=0， ∴x1=0.5，x2=﹣0.5．

【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，先根据题意把方程化为两个因式积的形式是解答此题的关键．

22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．四边形ABCD顶点都在格点上，点A的坐标为（﹣2，﹣1）

（1）以点A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB′C′D′．画出旋转后的图形，并写出B′、C′、D′的坐标； （2）求点C旋转轨迹的长度．

【考点】作图-旋转变换；轨迹．

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C、D的对应点B′、C′和D′，然后写出B′、C′、D′的坐标；

（2）先计算出AC的长，然后利用弧长计算点C旋转轨迹的长度． 【解答】解：（1）如图，

B′（﹣3，﹣5），C′（1，﹣4），D′（0，﹣2）． （2）AC=3

，

=

π．

点C旋转轨迹的长度=

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．

23．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】首先根据勾股定理求得斜边的长．再根据直角三角形斜边上的高等于两直角边相乘除以斜边，求得斜边上的高，即是弦的弦心距．再根据勾股定理求得弦的一半，即可计算AD的长．

【解答】解：如右图所示，作CP⊥AB于P． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=

=5．

由S△ABC=AB?CP=AC?BC， 得CP=×3×4，所以CP=

．

在Rt△ACP中，由勾股定理，得： AP=

=．

因为CP⊥AD，所以AP=PD=AD， 所以AD=2AP=2×=

．

【点评】在圆中，作弦的弦心距是一条常见的辅助线．

24．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．

AF=AC，【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；

（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=求解．

【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC， ∵AB=AC， ∴AE=AF，

∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE=CF；

（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°， ∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE=

AC=

， ﹣1．

AC=

，于是利用BD=BE﹣DE

∴BD=BE﹣DE=

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．

25．手工课上，小明准备做个形状是菱形的风筝，这个菱形两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积为S，随其中一条对角线的长x的变化而变化． ①求S与x之间的函数关系式（不要求写出取值范围）

②当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大的面积是多少？ 【考点】二次函数的应用．

【分析】①首先表示出菱形对角线的长，再利用菱形面积求法得出答案； ②利用配方法求出二次函数最值即可．

【解答】解：①根据题意可得：一条对角线的长为xcm，则另一对角线长为：（60﹣x），

则S=x（60﹣x）=﹣x2+30x；

②由①得：y=﹣x2+30x=﹣（x﹣30）2+450，

故当x是30cm时，菱形风筝的面积S最大，最大的面积是450cm2．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意结合菱形的性质得出y与x之间的关系式是解题关键．

26．（10分）（2016?南宁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC

平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；

（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE=2BG． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵BD为∠ABC平分线， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， 则AC为圆O的切线；

（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE， ∴四边形ODCG为矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6， ∵OG⊥BE，OB=OE， ∴BE=2BG=12． 解得：BE=12．

【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．

27．（10分）（2016秋?城北区校级月考）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．如果每件的售价每涨价1元（售价不

可以高于45元），那么每星期少卖出10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期销量为y件．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如何定价才能使每星期的利润为1560元？ 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用． 【分析】（1）根据题意可以得到y关于x的函数关系式；

（2）由题意可以得到利润和定价之间的关系式，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得， y=150﹣10x（0≤x≤5）

即y与x的函数关系式是y=150﹣10x（0≤x≤5）； （2）设当定价为a元时，每星期的利润为1560元， （a﹣30）[150﹣10（a﹣40）]=1560 解得，a1=42，a2=43，

即当定价为42元或43元时，每星期的利润为1560元．

【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

28．（12分）（2016秋?城北区校级月考）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和C（0，﹣5）．

（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标； （2）设抛物线的顶点为D，求四边形ACDB的面积；

（3）点P（2，﹣2）是二次函数的对称轴上一点，连接OP，找出x轴上所有点M，使得△OPM是等腰三角形，并直接写出所有点M的坐标．

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，令y=0代入解方程即可求它与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）先计算顶点D的坐标，再利用面积和求四边形ACDB的面积；

（3）分别以O和P为顶点画圆与x轴相交，其交点即为点M，还包括当点E与M重合时，所有点M的坐标． 【解答】解：（1）根据题意，解得：

，

，

∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣5， 当y=0时，x2﹣4x﹣5=0， 解得：x1=5，x2=﹣1，

∵点A的坐标是（﹣1，0）， ∴B（5，0），

答：该二次函数的解析式是y=x2﹣4x﹣5，和它与x轴的另一个交点B的坐标是（5，0）；

（2）如图1，y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9， ∴顶点坐标D（2，﹣9）， ∴OE=2，DE=9，

∴S四边形ACDB=S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE， =OA?OC+（OC+DE）×OE+BE?DE， =×1×5+×（5+9）×2+×3×9， =2.5+14+13.5， =30，

所以四边形ACDB面积为：30； （3）①当OP=PN时，OE=EM=2， ∴M（4，0），

②当OP=OM时，OM=2∴M1（﹣2

，

，0），

，0），M2（2

③当OE=EP时，此时E与M重合， ∴M（2，0），

综上所述，符合条件的坐标有共有4个， 分别是M1（4，0）M2（2，0）M3（﹣2

，0）M4（2

，0）， 答：x轴上所有点M的坐标是（4，0），使得△OPM是等腰三角形．

2，0），2，0），2

，0），

（（（﹣

【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的判定、

抛物线与x轴交点的求法；难度不大，求抛物线与x轴交点时，令y=0代入即可．

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