2010版《五年高考三年模拟》精品物理题库：第五章 万有引力、天

第五章 万有引力、天体运动

第一部分 五年高考题荟萃

2009年高考新题

一、选择题

1.（09·全国Ⅰ·19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10N·m/kg,由此估算该行星的平均密度为 （ D ） A.1.8×10kg/m B. 5.6×10kg/m

4

3

4

3

3

3

3

3

-11

2

2,

C. 1.1×10kg/m D.2.9×10kg/m

解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供

3MMm4?2R43

G2?m2,可求出地球的质量.然后根据??,可得该行星的密度约为2.9×10kg/m。 34?RRT2.（09·上海物理·8）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿 （ AB ） A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想

B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F?m的结论

C．根据F?m和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F?m1m2 D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小

解析：题干要求“在创建万有引力定律的过程中”，牛顿知识接受了平方反比猜想，和物体受地球的引力与其质量成正比，即F?m的结论，而提出万有引力定律后，后来利用卡文迪许扭称测量出万有引力常量G的大小，只与C项也是在建立万有引力定律后才进行的探索，因此符合题意的只有AB。

3.（09·广东物理·5）发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近 （ B ） A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大 C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大

解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠进赤道处的地面上 的物体的线速度最大，发射时较节能，因此B正确。

4.（09·江苏物理· 3）英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的

Mc2?关系满足（其中c为光速，G为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ C ） R2G A．10m/s B．10m/s C．10m/s D．10m/s

解析：处理本题要从所给的材料中，提炼出有用信息，构建好物理模型，选择合适的物理方法求解。黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某

12214282102MmMc2c2?一质量为m物体有：G2?mg，又有，联立解得g?，带入数据得重力加速度的数量

RR2G2R级为10m/s，C项正确。

5.（09·广东理科基础·10）关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是 （ A ） A．第一宇宙速度又叫环绕速度 B．第一宇宙速度又叫脱离速度 C．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D．第一宇宙速度跟地球的半径无关

122mMV2解析：第一宇宙速度又叫环绕速度A对，B错；根据定义有G2?mR R可知与地球的质量和半径有关，CD错。

6.（09·重庆·17）据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200Km和100Km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为（月球半径取1700Km） （ C ）

A.

19181918 B. C, D. 181918197.（09·四川·15）据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为 （ A ）

A.3.39

?13

B.3.39?12

C.3.39

32

D.3.3.9

23解析：小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有

32122GMm2?2m()R，可知小＝2RT3行星和地球绕太阳运行轨道半径之比为R1:R2＝

3TGM，又根据V＝，联立解得V1:V2＝TRT1，已T21T知1＝，则V1:V2＝T23.391。 3.398.（09·安徽·15）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是 （ D ） A. 甲的运行周期一定比乙的长 B. 甲距地面的高度一定比乙的高 C. 甲的向心力一定比乙的小 D. 甲的加速度一定比乙的大

GMR3解析：由v?可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故B错；由公式T?2?可知甲的

rGM周期小故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；碎片的加速度是指引力加速度由

GMmGM?ma?a，可知甲的加速度比乙大，故D对。 得22RR

9.（09·安徽·16）大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于137亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对1A型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径R和宇宙年龄的关系，大致是下面哪个图像 （ C ）

解析：图像中的纵坐标宇宙半径R可以看作是星球发生的位移x，因而其切线的斜率就是宇宙半径增加的快慢程度。由题意，宇宙加速膨胀，其半径增加的速度越来越大。故选C。

10.（09·山东·18）2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是 （ BC ）

A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据T?Q 地球 轨道2 轨道1 P2??可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。

飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。

考点：机械能守恒定律，完全失重，万有引力定律

提示：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)不做功，且其他力做功之和不为零，则机械能不守恒。

根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由

Mm2?2MmMmv2GMr32)r得T?2?G2?m得v?，由G2?m(，由G2?m?r得

rTrrrrGM??MmGMG?man可求向心加速度。 ，

r2r311.（09·福建·14） “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 （ C ） A.r、v都将略为减小 B.r、v都将保持不变

C.r将略为减小，v将略为增大 D. r将略为增大，v将略为减小

解析：当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大。

12.（09·浙江·19）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7?10倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径

7

的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 （ AD ） A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大 C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 解析：

F太阳F月?M太阳M月?R月22R太阳，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力；由于月心到不同区域海

水的距离不同，所以引力大小有差异。

13. (09·广东文科基础·59)关于万有引力及其应用，下列表述正确的是 （ D ） A．人造地球卫星运行时不受地球引力作用 B．两物体间的万有引力跟它们质量的乘积成反比 C．两物体间的万有引力跟它们的距离成反比

D．人造卫星在地面附近绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度，称为第一宇宙速度 二、非选择题

14.（09·海南物理·11）在下面括号内列举的科学家中，对发现和完善万有引力定律有贡献的

是 。（安培、牛顿、焦耳、第谷、卡文迪许、麦克斯韦、开普勒、法拉第）

答案：第谷（1分）；开普勒（1分）；牛顿（1分）；卡文迪许 （1分） 评分说明：每选错1个扣1根，最低得分为0分。

15.（09·上海·45）小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度。他的设想是：通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车的骑行速度。经过骑行，他得到如下的数据：在时间t内踏脚板转动的圈数为N，那么脚踏板转动的角速度?= ;要推算自行车的骑行速度，还需要测量的物理量有 ；自行车骑行速度的计算公式v= . 答案：2?N;牙盘的齿轮数m、飞轮的齿轮数n、自行车后轮的半径R(牙盘的半径r1、飞轮的半径r2、自t行车后轮的半径R);

mmNrNrRw或2?R(2?1或1Rw) nntr2tr2

16.（09·全国卷Ⅱ·26） (21分)如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为?；石油密度远小于?，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即

PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。

（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常

（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在?与k?（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

G?Vd答案：（1）2；（2）d?23/2(d?x)解析：本题考查万有引力部分的知识.

Lk2/3L2k?,V? 2/3G?(k?1)?1（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为?的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力GMm?m?g???①来计算,式中的m是Q点处某质点r2的质量,M是填充后球形区域的质量,M??V?????② 而r是球形空腔中心O至Q点的距离r?d2?x2???③

?g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方

向沿OQ方向,重力加速度反常?g?是这一改变在竖直方向上的投影?g??联立以上式子得

d?g???④ r?g??G?Vd,????⑤

(d2?x2)3/2G?V??⑥ d2（2）由⑤式得,重力加速度反常?g?的最大值和最小值分别为??g??max???g??min?G?Vd?????⑦

(d2?L2)3/2

由提设有??g??max?k?、??g??min????⑧

联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

d?Lk2/3L2k?,V? 2/3G?(k?1)?117.（09·北京·22）（16分）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。 （1）推导第一宇宙速度v1的表达式；

（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。 解析：（1）设卫星的质量为m,地球的质量为M, 在地球表面附近满足

GMm?mg R2得 GM?R2g ①

卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力

2v1Mm m?G2 ②

RR①式代入②式，得到v1?Rg （2）考虑式，卫星受到的万有引力为

MmmgR2? F?G ③

(R?h)2(R?h)24?2由牛顿第二定律F?m2(R?h) ④

T2?③、④联立解得T?R(R?h)2 g18.（09·天津·12）（20分）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50?102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。

（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50?102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；

（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞

对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G

Mm(设粒子在离黑洞R-11

无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7?10N·m2/kg2，光速c=3.0?10m/s，太阳质量Ms=2.0?1030kg，太阳半径Rs=7.0?108m，不考虑相对论效应，利用上问结

8

果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。 答案：（1）4?10，（2）?17

解析：本题考查天体运动的知识。其中第2小题为信息题，如“黑洞”“引力势能”等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意。

（1）S2星绕人马座A做圆周运动的向心力由人马座A对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则

*

*

6MAmS22?m?r ① S22r2? ?? ②

T G设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则 G综合上述三式得

MSmE?mE?2rE ③ 2rEMA?r??TE??????T? MS?r?E???

式中 TE=1年 ④

32 rE=1天文单位 ⑤

代入数据可得

MA?4?106 ⑥ MS（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有 依题意可知

12Mmmc?G?0 ⑦ 2R

R?RA，M?MA 可得

RA?代入数据得

2GMA ⑧ 2cRA?1.2?1010m ⑨ RA?17 ⑩ RS2008年高考题

一、选择题

1.(08全国Ⅰ17)已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390,月球绕地球旋转的周期约为27天,利用上述数据以及日常的天文知识,可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为 ( ) A.0.2 答案 B

解析 估算太阳对月球的万有引力时,地、月间距忽略不计,认为月球处于地球公转的轨道上.设太

阳、地球、月球的质量分别为M、m地、m月,日、地间距为r1,地、月间距为r2,地球、月球做匀速圆周运动的周期分别为T1、T2,根据万有引力定律、牛顿第二定律得: 对于月球:F地月=m月r2?2,其中?2?2 B.2 C.20 D.200

2π ① T2对于地球:

GMm地2π2 ② ?mr?,其中??1地112T1r1GM4π2由②式得2?r12

r1T1所以F日月=

GMm月r124π2?m月r12 ③

T1r1T22272由①、③两式得:F日月: F地月=?390?()?2.1

r2T123652.(08北京理综17)据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运行周期127分钟.若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 （ ） A.月球表面的重力加速度

B.月球对卫星的吸引力

C.卫星绕月运行的速度 答案 B

D.卫星绕月运行的加速度

解析 设月球质量为M,平均半径为R,月球表面的重力加速度为g,卫星的质量为m,周期为T,离月球表面的高度为h,月球对卫星的吸引力完全提供向心力,由万有引力定律知

Mm4π2(R?h) G??m?(R?h)2T2GMm?mg 2R

①

②

4π2(R?h)3由①②可得g?,故选项A不正确;因卫星的质量未知,故不能求出月球对卫星的吸引力,故选22TR2π(R?h)v2项B正确;卫星绕月运行的速度v?,故选项C错误;卫星绕月运行的加速度a?,故选项D

TR?h错误.

3.(08四川理综20)1990年4月25日,科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空,使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃天文望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为6.4×10m,利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×10m这一事实可得到哈勃天文望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是 ( ) A. 0.6小时  答案 B

B.1.6小时

C.4.0小时

D.24小时

6

7

GMm4π2GM4π2?m2?r,得3?2. 解析 由万有引力公式r2TrT332r哈r同T同?T同,代入相关数据,可估算出T哈与1.6小时较接近. 所以3?2,得T哈?3r哈T哈r同4.(08山东理综18)据报道,我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空,经过4次变轨控制后,于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”,下列说法正确的是 ( ) A.运行速度大于7.9 km/s B.离地面高度一定,相对地面静止

C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

答案 BC

解析 由题中描述知“天链一号01星”是地球同步卫星,所以它运行速度小于7.9 km/s,离地高度一定,相对地面静止.由于运行半径比月球绕地球运行半径小,由ω=

GM

得绕行的角速度比月球绕地球运3r

行的角速度大.由于受力情况不同,所以向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小不相等. 5.(08广东理科基础5)人造卫星绕地球做匀速圆周运动,卫星所受万有引力F与轨道半径r的关系是 ( )

A.F与r成正比 C.F与r成正比 答案 D 解析 由F?G2

B.F与r成反比 D.F与r成反比

2

m1m22

得F与r成反比. 2r

( )

6.(08广东理科基础8)由于地球的自转,使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动.对于这些做匀速圆周运动的物体,以下说法正确的是 A.向心力都指向地心  C.加速度等于重力加速度  答案 D

解析 随地球自转的物体的周期与地球自转周期相同,向心力垂直地轴,指向地轴的相应点,速度远小于第一宇宙速度,加速度远小于重力加速度. 7.(08江苏1)火星的质量和半径分别约为地球的

B.速度等于第一宇宙速度 D.周期与地球自转的周期相等

11和,地球表面的重力加速度为g,则火星表面的重力102C.2.5 g 

D.5 g

加速度约为 ( ) A.0.2 g  答案 B

解析 在星球表面万有引力近似等于所受的重力.

2g火M火R地GMmGM由?mg得g?2,所以?,得g火?0.4g. 2gR2RM地R火 B.0.4 g 

8.(08广东12)如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关

C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力 答案 C

( )

解析 “嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星,其发射速度必须达到第二宇宙速度,若发射速度达到第三宇宙速度,“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚,故选项A错误;在绕月球运动时,月球对

Mm4π2rr3卫星的万有引力完全提供向心力,则G2?m2,T?2π,即卫星周期与卫星的质量无关,

GMrT故选项B错误;卫星所受月球的引力F?G于受月球的引力,故选项D错误. 二、非选择题

9.(08山东基本能力测试32)人造卫星发射、载人航天和深空探测是航天技术的三大领域.从第一颗人造地球卫星发射升空,到“神舟五号”、“神舟六号”载人航天以及月球探测卫星“嫦娥一号”的相继成功,表明我国逐步迈进了世界航天大国的行列.

(1)2007年4月,我国成功发射了第五颗北斗导航卫星.该卫星受 作用,在距离地面2.15万千米的轨道上绕地球运动

(2)“神舟七号”航天员将进行第一次太空行走,即出舱活动,航天员在太空中通常靠手、机械臂或载人机动装置(关键部件是可以控制的小火箭)移动身体,其中载人机动装置的运动原理是 (3)我国的新一代通信卫星“东方红三号”,是相对于地球静止、位于赤道上空的同步卫星.与地面通信装置相比,关于卫星通信的说法正确的是

( )

B.受地理因素影响

C.受大气层的影响

D.不能实现全球通信

Mm,故选项C正确;在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力小r2A.通信覆盖范围大

(4)“嫦娥一号”为探测月球和月球以外的深空奠定了基础,例如我国建立月球基地天文台将成为可能,与地球相比,月球上有利于光学天文观测的条件是` ( )

A.存在大气散射

B.没有大气的影响

C.温度变化悬殊

D.太阳辐射强烈

答案 (1)万有引力或地球引力

(2)作用力与反作用力或反冲运动或动量守恒 (3)A

(4)B

解析 (3)通信卫星位于赤道上空,与地面通信装置相比,站得高,看得远,通信覆盖范围大.由于位于大气层之上,不受大气层的影响,不受地面状况的影响.

(4) 影响天文观测的因素主要是大气状况,月球上没有大气,非常有利于观测.

10.(08全国Ⅱ25)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行.为了获得月球表面全貌

的信息,让卫星轨道平面缓慢变化.卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质量分别为M和m,地球和月球的半径分别为R和R1,月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1,月球绕地球转动的周期为T.假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面,求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R1、r、r1和T表示,忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响).

T答案 t?π3R?R1Mr1R1(arccos?arccos)

rr1mr3解析 如右图所示,O和O′分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道 平面上,A是地月连心线OO′与地月球面的公切线ACD的交点,D、C

和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点.根据对称性,过A点在另一侧作地月球面的

公切线,交卫星轨道于E点.卫星在 说上运动时发出的信号被遮挡.设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G,根据万有引力定律有

GMm2π2?m()r

Tr2

① ②

Gmm02π2?m()r1 0r12T1式中,T1是探月卫星绕月球转动的周期. 由①②式得(T12Mr13)?() Tmr ③

设卫星的微波信号被遮挡的时间为t,则由于卫星绕月球做匀速圆周运动,应有

t??? ?T1π ④

式中,α=∠CO′A,β=∠CO′B. 由几何关系得 rcosα=R-R1 r1 cos β=R1

⑤

⑥

T由③④⑤⑥式得t?πMr13R?R1R1(arccos?arccos) 3rr1mr?T?或t?π??Mr13R1R?R1?(arcsin?arcsin)? 3r1rmr??11.(08宁夏理综23)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在

银河系中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动,周期均为T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个双星系统的总质量.（万有引力常量为G）

4π23答案 2r

TG解析 设两颗恒星的质量分别为m1、m2,做圆周运动的半径分别为r1、r2,角速度分别为ω1、ω2.根据题意有

ω1=ω2

r1+r2=r

① ②

根据万有引力定律和牛顿运动定律,有

GGm1m22?m? 11r1 2rm1m22?m2?2r2 2r

③

④

联立以上各式解得

m1?m2??12(r1?r2)r2/G

根据角速度与周期的关系知

⑤

?1??2?2π T ⑥

4π23联立②⑤⑥式解得m1 + m2 =2r

TG2004-2007年高考题

题组一

一、选择题

1.(07江苏10)假设太阳系中天体的密度不变,天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半,地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动,则下列物理量变化正确的是 A.地球的向心力变为缩小前的一半 C.地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 答案

BC

( )

B.地球的向心力变为缩小前的

1 16D.地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半

解析 设地球的直径、太阳的直径、太阳与地球间的距离分别由d1、d2、r变为

d1d2r、、,地球的222

向心力由万有引力提供,则

3Mmd13d2F?G2?2

rr ①

d13d23)?()M?m?22 F??G2?rr?()221F 联立①②两式得:F′=16(由万有引力提供向心力,则

②

4π2rF=m 2T ③

4π2r?F′=m′

T?2 ④

代入数据联立③④得:T′=T

2.(07广东理科基础11)现有两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星A和B,它们的轨道半径分别为rA和rB.如果rA>rB,则

（ ）

A.卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大 B.卫星A的线速度比卫星B的线速度大 C.卫星A的角速度比卫星B的角速度大 答案 A

D.卫星A的加速度比卫星B的加速度大 

Mm4π2rv2?m?2r?ma知, 解析 由万有引力提供向心力G2?m2?mrrTT?错; a=

4π2r3GMGM,则ωA<ωB,C,则vA?vB,B错; ω=,由于rA?rB,所以TA?TB,A对;v=

rr3GMGM,则aA

( )

C.3.2

D.4

B.2

解析 若地球质量为M0,则“宜居”行星质量为M=6.4M0,由mg?GMm得: r2m0gM0r2600 ?2??m0g'r0M960所以

r600M600?6.4M0???2 r0960M0960M04.(07重庆理综19)土卫十和土卫十一是土星的两颗卫星,都沿近似为圆周的轨道绕土星运动,其参数如下表:

土卫十 土卫十一 卫星半径(m) 8.90×10 5.70×10 44卫星质量(kg) 2.01×10 5.60×10

( )

1718轨道半径(m) 1.51×10 1.51×10 88 两颗卫星相比较,土卫十 A.受土星的万有引力较大

B.绕土星做圆周运动的周期较大 D.动能较大

C.绕土星做圆周运动的向心加速度较大 答案 AD

GMMmv24π2rMm?m2?ma得：解析 由F?G2?m万有引力F?G2,向心加速度a=2,周期

rrrrTGMm4π2r3T=,动能Ek=,其中M为土星的质量,代入数值比较可知,A、D选项正确.

2rGM5.(07宁夏理综14)天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动,并测出了行星的轨道半径和运行周期.由此可推算出 ( ) A.行星的质量 答案 C

B.行星的半径

C.恒星的质量

D.恒星的半径

Mm4π2r4π2r3解析 由万有引力提供向心力知,G2?m2,所以M? ,故C选项正确.

rTGT26.(07山东理综22)2007年4月24日,欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese 581c.这颗围绕红矮星Gliese 581运行的星球有类似地球的温度,表面可能有液态水存在,距离地球约为20光年,直径约为地球的1.5倍,质量约为地球的5倍,绕红矮星Gliese 581运行的周期约为13天.假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道,下列说法正确的是 ( ) A.飞船在Gliese 581c表面附近运行的周期约为13天

B.飞船在Gliese 581c表面附近运行时的速度大于7.9 km/s  C.人在Gliese 581c上所受重力比在地球上所受重力大 D.Gliese 581c的平均密度比地球平均密度小 答案 BC

Mmv24π2r?m2得：解析 行星Gliese 581c围绕红矮星运行的周期为13天,由G2?mrrT4π2r3, T?GM其中M为红矮星的质量,r为行星距红矮星的距离,而宇宙飞船绕行星Gliese 581c运行的周期

4π2r'3T′=,M′为行星Gliese 581 c的质量,r′为飞船与Gliese 581 c的距离,故A不正确.由速

GM'度 v =

M'MmM'GMM,地球的0小于Gliese 581 c的,所以B正确.由重力F=G2,Gliese 581 c的2,

r'rr'r0r

大于地球的

M043?πr知,Gliese 581c的平均密度比地球的平均密度大. ,所以C正确;由M=23r07.(07四川理综17)我国探月的“嫦娥工程”已经启动,在不久的将来,我国宇航员将登上月球.假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T,将月球视为密度均匀、半径为r的球体,则月球的密度为 ( ) A.

πl 23GrT B.

3πl 2GrT C.

16πl 23GrT D.

3πl 216GrT答案 B

433πl4π2lGMml2

??πr??,由?mg解析 由T=2π得：g?得:GM=gr,而M=,联立得：. 3GrT2T2r2g8.(07天津理综17)我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展.设地球、月球的质量分别为m1、m2,半径分别为R1、R2,人造地球卫星的第一宇宙速度为v,对应的环绕周期为T,则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为 ( )

3m2R1m1R2v,T A.

m1R2m2R13

m1R2m2R13v,T B.3m2R1m1R2

m2R1m2R13v,T C. 3m1R2m1R2答案 A

3m1R2m1R2v,T D.3m2R1m2R1m1mv2Gm1,v?,同理,探测器解析 人造地球卫星绕地球运转时,万有引力提供向心力,即G2?mR1R1R13m2R12πRm1R2Gm2v,由T=绕月球运转时,v′=,联立得：v′=得：T′=T. 3m1R2m2R1vR29.(07上海综合能力测试9)太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道,“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比.地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米,结合下表可知,火星与太阳之间的平均距离约为

 公转周期(年) A.1.2亿千米 答案 B

水星 0.241

金星 0.615 地球 1.0

火星 1.88 木星 11.86 土星 29.5

D.6.9亿千米

B.2.3亿千米 C.4.6亿千米

T2 解析 由题意可知,行星绕太阳运转时,满足3=常数,设地球的公转周期和公转半径分别为T1、

rT12T22r1,火星绕太阳的公转周期和轨道半径分别为T2、r2,则3?3,代入数值得,r2=2.3亿千米.

r1r210.(07北京理综15)不久前欧洲天文学家在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的行星,命名为“格利斯581c”.该行星的质量是地球的5倍,直径是地球的1.5倍.设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星的动能为Ek1,在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为Ek2,则

Ek1为( ) Ek2

B.0.3 D.7.5

 A.0.13  C.3.33 答案 C

1GMmMmv22解析 由万有引力提供向心力知,G2?m 则动能Ek?mv?,若地球质量为M,

22RRR

半径为R,则“格利斯581 c”行星的质量M1=5M,半径R1=1.5R,代入数值得:二、非选择题

Ek15??3.33 Ek21.511.(07广东16)土星周围有许多大小不等的岩石颗粒,其绕土星的运动可视为圆周运动.其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA=8.0×10km和rB=1.2×10km,忽略所有岩石颗粒间的相互作用.(结果可用根式表示),求: (1)岩石颗粒A和B的线速度之比. (2)岩石颗粒A和B的周期之比.

(3)土星探测器上有一物体,在地球上重为10 N,推算出它在距土星中心3.2×10km处受到土星的引力为

0.38 N.已知地球半径为6.4×10km,请估算土星质量是地球质量的多少倍? 答案 (1)

3

5

4

5

6 2 (2)

26 9 (3)95

解析 (1)设土星质量为M0,颗粒质量为m,颗粒距土星中心距离为r,线速度为v,根据牛顿第二定律和万有引力定律得

GM0mmv2? r2r解得v? ①

GM0r,对于A、B两颗粒分别有:vA?GM0rA

和vB?GM0rB



得：

vA6 ?vB22πr v ②

(2)设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T,则

T? ③

对于A、B两颗粒分别有：TA?2πrA2πrB 和TB?vAvB

④

得:

TA26 ?TB9

(3)设地球质量为M,地球半径为r0,地球上物体的重力可视为万有引力,探测器上物体质量为m0,在地球表面重力为G0,距土星中心r0′=3.2×10 km处的引力为G0′,根据万有引力定律：

5

G0?Gm0M 2r0 ⑤

?Gm0M0G0? 2?r0由⑤⑥得:

⑥

M0=95(倍) M12.(07上海19A)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原处;若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处.(取地球表面重力加速度g=10 m/s,空气阻力不计)

(1)求该星球表面附近的重力加速度g′.

(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4,求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地. 答案 (1)2 m/s (2)1∶80

解析 (1)在地球表面竖直上抛小球时,有t =

2

2

2v02v,在某星球表面竖直上抛小球时,有5t =0 gg'所以g′=

1g=2 m/s2 52M星g'R星MmgR21121(2)由G2?mg,得M?,所以???()? 2RGM地gR地548013.(06江苏14)如图所示,A是地球的同步卫星,另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面

内,离地面高度为h.已知地球半径为R,地球自转角速度为ω0,地球表面的重力加速 度为g,O为地球中心. （1）求卫星B的运行周期.

（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上）,则至少经过多长时间,它们再一次相距最近？

(R?h)3答案 (1)2π

gR2 (2)

2πgR??03(R?h)2

解析 （1）由万有引力定律和向心力公式得

Mm4π2G?m2(R?h) (R?h)2TBG

①

Mm?mg 2R ②

联立①②得

(R?h)3TB=2π 2gR

③ ④ ⑤

（2）由题意得(ωB-ω0)t =2π

gR2由③得ωB=

(R?h)3代入④得t =

2πgR??03(R?h)2

14.(06四川理综23)荡秋千是大家喜爱的一项体育活动.随着科技的迅速发展,将来的某一天,同学们也许

会在其他星球上享受荡秋千的乐趣.假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点,秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°,万有引力常量为G.那么, （1）该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？

（2）若经过最低位置的速度为v0,你能上升的最大高度是多少？

GM答案 (1)2

R2R2v0(2)

2GM解析 （1）设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力,有

GMm R2GM解得g星=2

Rmg星=

（2）设人能上升的最大高度为h,由功能关系得 mg星h=

12mv0 22R2v0解得h=

2GM15.(06广东17)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m. (1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.

(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?

5GmRR3答案 (1) 4π

2R5Gm12(2)()3R

51解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:

Gm2F1=2RF1+F2=mv/R

2

Gm2 F2?(2R)2运动星体的线速度:v =

5GmR 2R周期为T,则有T=

2πR vR3T=4π

5Gm(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为 R′=

r/2

cos30?由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有：

Gm2F合=22cos30°

r4π2F合=m2R′

T12所以r=()3R

5题组二

一、选择题

1.(06北京理综18)一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度,只需要测量 A.飞船的轨道半径 C.飞船的运行周期 答案 C

（ ）

1B.飞船的运行速度 D.行星的质量

解析

GMm4π2r?m2, 万有引力提供向心力,则2rT43πr, 3由于飞船在行星表面附近飞行,其运行轨道半径r近似为行星的半径,所以满足M=??联立得??3π. GT22.(06重庆理综15)宇航员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h处释放,经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）.据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 （ ） A.

2Rh t B.

2Rh t C.

Rh t D.

Rh 2t答案 B

解析 设月球表面的重力加速度为g月,绕月球表面做匀速圆周运动的线速度为v,根据万有引力定律：

GMm?mg月 R2 ①

GMmv2?m 绕月卫星：

R2R ②

根据月球表面物体做自由落体运动： h =

1g月t2 2 ③

由①②③得：v =

2Rh2Rh ?2tt3.(06全国卷Ⅰ16)我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”.设该卫星的轨道是圆形的,且贴近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的1/81,月球的半径约为地球半径的1/4,地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s,则该探月卫星绕月运行的速率约为 （ ） A.0.4 km/s  答案 B 解析

设地球质量、半径分别为m、R,月球质量、半径分别为m、r,则m=

B.1.8 km/s

C.11 km/s

D.36 km/s

M1,r?R.在星体表面,814物体的重力近似等于万有引力,若物体质量为m0,则

GMm02

=m0g,即GM=gR；在月球表面,满足：Gm=g′2R

mR216g?r,由此可得：g′=g,地球表面的第一宇宙速度v1=gR=7.9 km/s,在月球表面,有v′Mr2812

=g'r?16122g?R?gR?×7.9 km/s≈1.8 km/s. 814994.(05全国卷Ⅰ16)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周,由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )

A.火星和地球的质量之比

B.火星和太阳的质量之比

D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比

C.火星和地球到太阳的距离之比 答案 CD

解析 设火星和地球质量分别为m1、m2,它们到太阳的距离分别为r1、r2,它们绕太阳的运行速度分别为v1、v2,

由万有引力提供向心力得

GMm4π2rv2?m2?m 2rTrr13T12v1?,?2r2T2v2r2 r1由上式可知C、D正确.

5.(05全国卷Ⅱ18)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据,可以估算出的物理量有 ( ) A.月球的质量 C.地球的半径 答案 BD

B.地球的质量

D.月球绕地球运行速度的大小

Mmv24π2R?m2 解析 由万有引力提供向心力G2?mRRT4π2R3得:M?GT2v?GM R6.(05全国卷Ⅲ21)最近,科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( ) A.恒星质量与太阳质量之比

B.恒星密度与太阳密度之比

C.行星质量与地球质量之比 答案 AD

D.行星运行速度与地球公转速度之比

解析 设太阳质量为m1,地球绕太阳运行的轨道半径R1,地球公转速度v1,恒星质量为m2,行星绕恒星

GMmv24π2R?m?m2 运行的轨道半径为R2,行星运行速度v2,则由万有引力提供向心力公式2RRTm1R13T2236 得: ?32?m2R2T125

v1?v2m1R2?12 R1m27.(05江苏5)某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆,由于阻力作用,人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2,用Ek1、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能,则 （ ） A.r1 < r2,Ek1 < Ek2  C.r1 < r2,Ek1 > Ek2

答案  B

B.r1 > r2,Ek1 < Ek2

D.r1 > r2,Ek1 > Ek2

Mmv2解析 做匀速圆周运动的物体,满足G2?m,由于阻力作用,假定其半径不变,其动能减小,

rrMmv2则G2?m,由上式可知,人造卫星必做向心运动,其轨迹半径必减小,由于人造卫星到地心距离

rr慢慢变 化,其运动仍可看作匀速运动, 由v?GM可知,其运动的动能必慢慢增大. r8.(05天津理综21)土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10 m的岩石、尘埃,类似于卫星,它们与土星中心的距离从7.3×10km延伸到1.4×10km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h,引力常量为6.67×10

-11

4

5

N·m/kg,则土星的质量约为（估算时不考

22

虑环中颗粒间的相互作用） ( ) A.9.0×10kg C.9.0×10kg 答案 D

25 16

B.6.4×10kg D.6.4×10 kg

26

17

GMm4π2r?m2 解析 由万有引力作用提供向心力得r2T

4π2r34π2?(1.4?108)3所以M= ?2?112GT6.67?10?(14?3600)=6.4×10kg

9.(05北京理综20)已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、月球自转的影响,由以上数据可推算出

（ ）

26

A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8 B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4

C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9

D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81∶4 答案 C

解析 ①??m?m得??m

4Vr3πr33∴

?地m地r月3181 ?()?81?()3??月m月r地464GMmM得g? r2r2②由mg=

∴

g地M地r月2181??()?81?()2? g月M月r地4164π2③由mg=mr2得T?T∴

r gT地rg168?地?月?4?? T月r月g地819GMmv2M④由 ?m得v?r2rr∴

v地M地r月19???81?? v月M月r地4210.(04江苏4)若人造卫星绕地球做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 （ ） A.卫星的轨道半径越大,它的运行速度越大

B.卫星的轨道半径越大,它的运行速度越小

C.卫星的质量一定时,轨道半径越大,它需要的向心力越大 D.卫星的质量一定时,轨道半径越大,它需要的向心力越小 答案 BD

Mmv2GM解析 由牛顿第二定律知G2?m,v?,故A错,B对.

rrrv2卫星绕地球做匀速圆周运动所需向心力为F向=m,故C错,D对.

r11.(04上海3)火星有两颗卫星,分别是火卫一和火卫二,它们的轨道近似为圆.已知火卫一的周期为7小时39分,火卫二的周期为30小时18分,则两颗卫星相比 （ ） A.火卫一距火星表面较近 C.火卫一的运动速度较大 答案 AC

22πGMGMGMT解析 据R=3可知A正确.据ω=可知B错.据v= 可知C正确.据a=可知D22RTR4π

B.火卫二的角速度较大 D.火卫二的向心加速度较大

错.

12.(04北京理综20)1990年5月,紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星,该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体,小行星密度与地球相同.已知地球半径R=6 400 km,地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为 ( ) A.400g 答案 B

解析 质量分布均匀的球体的密度ρ=3M/4πR

3

B.

1g 400 C.20g D.

1g 204πGR? 3πGr?24吴健雄星表面的重力加速度：g′=GM/r= 3地球表面的重力加速度：g=GM/R=

2

g/g′=R/r=400,故选项B正确.

13.(04全国卷Ⅳ17)我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为（ ） 

4π2r2(r?r1)A.

GT2答案 D

4π2r13B. 2GT

4π2r3C. 2GT

4π2r2r1D. 2GT解析 双星的运动周期是一样的,选S1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律得

Gm1m24π2r2r14π2?m1r12,则m2=.故正确选项D正确. 22GTrT二、非选择题

14.(06天津理综25)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑 洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云 时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成. 两星 视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运 动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星 A的速率v和运行周期T.

(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力,设A和B的质量分别为m1、m2,试求m′(用m1、m2表示);

（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；

（3）恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×10m/s,运行周期T=4.7π×10s,质量m1=6 ms,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？ (G=6.67×10

-11 5

4

N·m/kg,ms=2.0×10kg)

3m2v3T(2) ?2(m1?m2)2πG2230

3m2答案 (1) 2(m1?m2)(3)暗星B有可能是黑洞

解析 （1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,设其为ω.由牛顿运动定律,有 FA=m1ωr1 FB=m2ωr2 FA=FB

设A、B之间的距离为r,又r =r1+r2,由上述各式得 r =

22

m1?m2r1 m2 ①

由万有引力定律,有

FA=Gm1m2 r23m1m2将①代入得FA=G 22(m1?m2)r1令FA=Gm1m' 2r1

②

3m2比较可得m′= 2(m1?m2)m1m'v2（2）由牛顿第二定律,有G2?m1

r1r1又可见星A的轨道半径r1=

③

vT 2π ④

3m2v3T由②③④式解得 ?2(m1?m2)2πG ⑤

（3）将m1=6 ms代入⑤式,得

3m2v3T ?2(6ms?m2)2πG代入数据得

3m2?3.5ms

(6ms?m2)2 ⑥

设m2=nms(n > 0),将其代入⑥式,得

3m2n?ms?3.5ms

(6ms?m2)2(6?1)2n ⑦

3m2可见,的值随n的增大而增大,试令n=2, 2(6ms?m2)得

n6(?1)2nms?0.125ms?3.5ms

⑧

若使⑦式成立,则n必大于2,即暗星B的质量m2必大于2ms,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞. 15.(04广东16)某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者,他用天文望远镜观察被太阳光照射的此

卫星.试问,春分那天(太阳光直射赤道)在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星?已知地球

半径为R,地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的折射.

T4π2R3答案 arcsin()

πgT2解析 根据题意画出卫星接不到太阳光的几何图景,然后由牛顿第二定律及万有引力提供向心力求出卫星的轨道半径,再由几何知识求出对应的角度,最后由周期公式求出时间即可. 设所求时间为t,m、M分别为卫星、地球质量,r为卫星到地心的距离,有

1GmM2π2?mr() 2rT春分时,太阳光直射地球赤道,如图所示,图中圆E为赤道,S表示卫星,A表示观察者,O表示地心.由图可看出,当卫星S转到S′位置间,卫星恰好处于地球的阴影区,卫星无法反射太阳光,观察者将看不见卫星.由图有rsinθ=R t =

2?T 2πMm'?m'g R21对地面上质量为m′的物体有G

T4π2R3由以上各式可知t =arcsin()

πgT216.(04北京春季24)“神舟五号”载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨,由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342 km的圆形轨道.已知地球半径R=6.37×10km,地面处的重力加速度g =10 m/s.试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）.

3

2

(R?h)33

答案 T=2π 5.4×10s

R2g解析 设地球质量为M,飞船质量为m,速度为v,圆轨道的半径为r,由万有引力定律和牛顿第二定律,有

Mmv2G2?m

rrT?2πr v

①

② ③ ④ ⑤

地面附近G?Mm?mg R2

由已知条件r=R+h

(R?h)3解以上各式得T =2π

R2g

代入数值,T=5.4×10s

17.(04全国卷Ⅰ23)在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段,着陆器降落到火星表面上,再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到达最高点时高度为h,速度方向是水平的,速度大小为v0,求它第二次落到火星表面时速度的大小,计算时不计火星大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r,周期为T,火星可视为半径为r0的均匀球体. 答案

3

8π2hr3T2r02?v0

2解析 以g′表示火星表面附近的重力加速度,M表示火星的质量,m表示火星的卫星质量,m′表示火星表面

处某一物体的质量,由万有引力定律和牛顿第二定律,有

GGMm' ?m'g' 2r0 ①

Mm2π2?m()r r2T ②

探测器从最高点h到第二次落地,可看作平抛运动.

设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度,它的竖直分量为v1,水平分量仍为v0,有

v12 =2g′h

v=v1?v0

22

③ ④

8π2hr32?v由以上各式解得v=0 2T2r0第二部分：三年联考题汇编 2009万有引力、天体运动

一、 选择题

1.(2009届广东茂名市模拟)太空被称为是21世纪技术革命的摇篮。摆脱地球引力，在更“纯净”的环境中探求物质的本质，拨开大气层的遮盖，更直接地探索宇宙的奥秘，一直是科学家们梦寐以求的机会。“神州号” 两次载人飞船的成功发射与回收给我国航天界带来足够的信心，我国提出了载人飞船——太空实验室——空间站的三部曲构想。某宇航员要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（1.A） A. 只能从较低轨道上加速 B. 只能从较高轨道上加速

C. 只能从空间站同一高度的轨道上加速

D. 无论在什么轨道上，只要加速都行

2.(2009江苏常州中学高三月考) 2007 年3 月26 日，中俄共同签署了《中国国家航天局和俄罗斯联邦航天局关于联合探测火星——火卫一合作的协议》，双方确定2008年联合对火星及其卫星“火卫一”进行探测．“火卫一”在火星赤道正上方运行，与火星中心的距离为9450km．绕火星1周需7h39min，若其绕行轨道简化为圆轨道，引力常量G已知．则由以上信息能求出（ D ） A．“火卫一”的质量 B．火星的质量 C．“火卫一”受到火星的引力 D．火星的密度

3.（2009届上海南汇期区末）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得

其运动周期为T。S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为 （ A ） 4?rr1A． 2

22

GT4?r1

B．2

23

GT

4?r4?r（r－r1）

C．2 D． 2

2322

GTGT

4. (2008学年广东越秀区高三摸底调研测试12)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球作匀速圆周运动，如图

所示，已知MA=MB

D. 半径与周期关系为

RATA32?RBTB32?RCTC32

5.(合肥35中2009届高三10月月考物理试卷8)如图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，在引力作用下沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h.已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量力G。没距地面高度为h的圆轨道上卫星运动周期为T0，下列结论中正确的是（ BCD） A．导弹在c点的速度大于

GM R?h2

B．导弹在C点的加速度等于GM/(R+h) C．地球球心为导弹椭圆轨道的—个焦点 D．导弹从A点运动到B点的时间—定小于To

6.（2009届江苏海安县高三月考)如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点．已知A、B、C绕地心运动的周期相同，相对于地心，下列说法中正确的是（ C ） A．物体A和卫星C具有相同大小的加速度 B．卫星C的运行速度小于物体A的速度

C．可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方 D．卫星B在P点运行的加速度大于卫星C的加速度

7. (2009届山东邹城二中高三模拟)2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走。已知神舟七号飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的半径R，万有引力常量为G。在该轨道上，神舟七号航天飞船（.BCD ） A．运行的线速度大小为

A B P C 2?R TB．运行的线速度小于第一宇宙速度

4?2(R?h)C．运行时的向心加速度大小 2T4?2(R?h)3D．地球表面的重力加速度大小为

T2R28(2009届深圳高三下学期模拟)我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下经椭圆轨道向月球靠近，并将与空间站在B处对接.已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是（.AC） A．图中航天飞机在飞向B处的过程中，月球引力做正功 B．航天飞机在B处由椭圆轨道可直接进入空间一站轨道 C．根据题中条件可以算出月球质量

D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小

空间站 B 月球 航天飞机

9. (凤阳荣达学校2009届高三物理第三次月考测试卷)2008年9月25日，我国利用“神州七号”飞船将翟志刚、刘伯明、景海鹏三名宇航员送入太空。设宇航员测出自己绕地球做圆周运动的周期为T，离地高度为H，地球半径为R，则根据T、H、R和引力常量G，能计算出的物理量是 ( ABD ) A．地球的质量 B．地球的平均密度 C．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小

10. (山东省聊城2009届高三一模)2008年9月25日我国成功发射了“神舟七号”载人飞船，随后航天员圆满完成了太空出舱任务并释放了伴飞小卫星，若小卫星和飞船在同一圆轨道上，相隔一段距离一前一后沿同一方向绕行。下列说法正确的是

（.B ）

A．由飞船的轨道半径、周期和引力常量，可以算出飞船质量 B．小卫星和飞船的加速度大小相等

C．航天员踏在飞船表面进行太空漫步时，对表面的压力等于航天员的重力 D．飞船只需向后喷出气体，就可以和小卫星对接

二、计算题

11.（2009届江苏海安县高三月考)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求： （1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径；

（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度； （3）求星体做匀速圆周运动的周期． 解析：

（1）由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r?（2）由万有引力的定律可知Gmm'?m'g R22a 2则星体表面的重力加速度g?Gm R2（3）星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：

m2m224?2G?2G2cos45??m?a?2 2a2T(2a)解得周期T?2?a2a (4?2)Gm12（2009山东济宁高三一模）2007年10月24日，“嫦娥一号”卫星星箭分离，卫星进入绕地球轨道。在绕地运行时，要经过三次近地变轨：12小时椭圆轨道①→24小时椭圆轨道②→48小时椭圆轨道③→地月转移轨道④。11月5日11时，当卫星经过距月球表面高度为h的A点时，再一次实施变轨，进入12小时椭圆轨道⑤，后又经过两次变轨，最后进入周期为T的月球极月圆轨道⑦。如图所示，已知月球半径为R。

（1）请回答：“嫦娥一号”在完成第三次近地变轨时需要加速还是减速？ （2）写出月球表面重力加速度的表达式。 解析： （1）加速

（2）设月球表面的重力加速度为g月，在月球表面有

GMm?mg月 2R卫星在极月圆轨道有

GMm2?2?m()(R?h) 2T(R?h)4?2(R?h)2解得g月?

T2R214（2009北京丰台区高三期末） 2008年9月25日，我国继“神舟”五号、六号载人飞船后又成功地发射了“神舟”七号载人飞船。如果把“神舟”七号载人飞船绕地球运行看作是同一轨道上的匀速圆周运动，宇航员测得自己绕地心做匀速圆周运动的周期为T、距地面的高度为H，且已知地球半径为R、地球表面重力加速度为g，万有引力恒量为G。你能计算出下面哪些物理量？能计算的量写出计算过程和结果，不能计算的量说明理由。 （1）地球的质量 ； （2）飞船线速度的大小； （3）飞船所需的向心力。 解析：

（1）能求出地球的质量M

GMmgR2方法一： = mg ， M =

R2G

4?24?2(R?H)3GMm 方法二： = m2(R?H)， M = 22TGT(R?H)（写出一种方法即可）

（2）能求出飞船线速度的大小V

V =2?(R?H) ( 或R

Tg )

(R?H)（3）不能算出飞船所需的向心力

因飞船质量未知

15 (2009届侨中高三第二次月考)2007年10月24日，我国成功地发射了“嫦娥一号”探月卫星，其轨道示意图如下图所示.卫星进入地球轨道后还需要对卫星进行10次点火控制。第一次点火，抬高近地点，将近地点抬高到约600km，第二、三、四次点火，让卫星不断变轨加速，经过三次累积，卫星加速到11.0km/s的速度进入地月转移轨道向月球飞去.后6次点火的主要作用是修正飞行方向和被月球捕获时的紧急刹车,最终把卫星送入离月面200km高的工作轨道(可视为匀速圆周运动).已知地球质量是月球质量的81倍,R月=1800km ,R地=6400km,卫星质量2350kg ,地球表面重力加速度g取10m/s . （涉及开方可估算，结果保留一位有效数字）

求：（1）卫星在绕地球轨道运行时离地面600km时的加速度.

（2）卫星从离开地球轨道进入地月转移轨道最终稳定在离月球表面200km的工作轨道上外力对它做了多少功?（忽略地球自转及月球绕地球公转的影响）

2

24 h轨16 h轨48 h轨轨道? 轨道Ш

轨道П P 地月转移

解析：

（1）卫星在离地600km处对卫星加速度为a，由牛顿第二定律

GMm?R?h1?又由

2?ma

GMm?mg 2R2

可得a=8 m/s

（2）卫星200km速度为v，由牛顿第二定律得：

GM月m?r?h2?2由

mv2 ??r?h2?GMm?mg 及M月/M=1/81 R22

6

2

2

得:V=2.53×10km/s 由动能定理,对卫星 W=

1212

mv—mv02214211

× 2350×（253×10—11000）=－1×10J? 2=

16（2009江苏通州市高三上学期月考）我国发射的“嫦娥一号”卫星发射后首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，通过加速再进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地心最近距离为L1，最远距离为L2，卫星快要到达月球时，依靠火箭的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，成为环月球卫星，最终在离月心距离L3的“绕月轨道”上飞行．已知地球半径为R，月球半径为r，地球表面重力加速度为g，月球表面的重力加速度为g/6，求：

（1）卫星在“停泊轨道”上运行的线速度；

卫星

（2）卫星在“绕月轨道”上运行的线速度． 解析： (1) G停泊轨道

过渡轨道

L3

L1

绕月轨道 L2

M地mv ?mL12L1GM地m?mg得 2RgR2 L121v1?M月mv22（2）G ?mL32L3GM月m?mg月 2rgr2 6L3v2?17.(2009届威海一中高三模拟4)“神州”六号飞船在预定轨道上飞行，每绕地球一圈需要时间90min，

每圈飞行路程约为L=4．2×10km。

（1）试根据以上数据估算地球的质量和密度。（地球的半径R约为6．37×10km，万有引力常量Ｇ取6．67×10

－11

3

4

N·m／kg）

22

（２）假设飞船沿赤道平面自西向东飞行，飞行员会看到太阳从东边还是西边出来？如果太阳直射赤道，试估算飞行员每天能看到多少次日出日落？飞船每转一圈飞行员看不见太阳的时间有多长？（已知cos 18．2＝0．95）

?L3解析：(1)由L=2?r可得 r=2?=6.68?10km,

A C D r Ｒ α O 4?2Mm22根据Gr=mrT得

太阳光 4?22324

M=GTr=6.0?10kg ， M43又?=V，V=3?R，

B

3?r3?=GT2R3 =5.6?103kg/m3。

（2）地球自西向东旋转，飞船沿赤道平面自西向东飞行的速度大于地球旋转速度，飞行员会看到太阳从东边出来。地球自转的周期为24h，地球自转一周，飞船运转24?60/90=16圈，飞船运转一圈能看到一次日出日落，所以飞行员每天能看到16次日出日落。飞船转到地球的背影区飞行员就看不到太阳（如上

R图所示）。由图可知sin?=r=0.95,

则?=71.8

0

71.80?2?900飞行员每转一圈看不见日出的时间为t=360min?36min

2008年联考题

题组一

一、选择题

1.(2007山东临沂)如图所示,是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星,关于 各物理量的关系,下列说法正确的是 A.根据v =gr,可知vA < vB < vC

C.角速度ωA>ωB >ωC 答案 C

2.(2007江苏南通)我们在推导第一宇宙速度时,需要做一些假设,下列假设中不正确的是 ．．． A.卫星做匀速圆周运动

( )

( )

B.根据万有引力定律,可知FA > FB > FC D.向心加速度aA < aB < aC

B.卫星的运转周期等于地球自转的周期 D.卫星需要的向心力等于地球对它的万有引力

C.卫星的轨道半径等于地球半径 答案 B

3.(08保定调研)A和B是绕地球做匀速圆周运动的卫星,若它们的质量关系为mA=2mB,轨道半径关系为RB=2RA 则B与A的

( )

A.加速度之比为1∶4

1 B.周期之比为22∶D.角速度之比为2∶1

C.线速度之比为1∶2 答案 ABC

4.(08四川绵阳第二次诊断)假设质量为m的人造地球卫星在圆轨道上运动,它离地面的高度是地球半径R的2倍,地球表面的重力加速度为g,则卫星的 A.角速度为

( )

g 27Rg 9

B.线速度为gR

C.加速度为答案 C

D.动能为

mgR 35.(08宜昌第一次调研)“嫦娥一号”是我国月球探测“绕、落、回”三期工程的第一个阶段,也就是“绕”.2007年10月24日18时05分,我国发射第一颗环月卫星,为防偏离轨道,探测器将先在近地轨道上变轨3次,再经长途跋涉进入月球的近月轨道绕月飞行.已知月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的

11,月球半径为地球半径的,探测器在地球表面附近绕地运行的周期不小于80 min,探测器在地63

球表面附近绕地运行的速度约为7.9 km/s.则以下说法中正确的是 A.探测器在月球表面附近绕月球运行时的速度约为7.9 km/s B.探测器在月球表面附近绕月球运行时的速度约为7.9 km/s的

( )

132

C.探测器绕月球表面运行时的向心加速度大于其绕地球表面运行时的向心加速度 D.探测器绕月球表面运行的周期可能小于80 min 答案 B

6.(08湖北部分重点中学第二次联考)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化 后的轨道示意图如图所示,卫星由地面发射后,经过发射轨道进入停泊轨道, 然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道,再次调速后进入工作轨道. 卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球的质量之比为a,卫星的停泊轨 道与工作轨道的半径之比为b,卫星在停泊轨道(可视为近地卫星轨道)和工 作轨道上均可视为做匀速圆周运动,则 ( ) A.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为

a bb aB.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为

C.卫星在停泊轨道运行的速度大于第一宇宙速度(7.9 km/s)

D.卫星在停泊轨道运行的速度小于地球赤道上随地球自转的物体的运动速度 答案 A

7.(2006广东湛江)宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动,飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上,用R表示地球的半径,g表示地球表面处的重力加速度,g＇表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度,N表示人对秤的压力,下面说法中正确的是 A.g＇=0 答案 BC

（ ）

R2

B.g＇=2?g

r

C.N = 0

R2D.N=m2g

r

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