第6讲 立体几何问题的题型与方法——范例分析

第6讲 立体几何问题的题型与方法——范例分析

例6、 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积 为a,从而只要算出四棱锥的高就行了.

2

PB 面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°.

而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tan60°=3a,

13

V锥 a a2 a.

33

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

AE CE, CED 90 ,故 CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

2

a OA AE AD a. 2

222AE EC (2 OA)(AE 2OA)(AE 2OA) 在 AEC中,cos AEC 0. 2

2AE ECAE

故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.

说明：本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.

例7、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90，AC=1，C

点到AB1的距离为CE=

，D为AB的中点. 2

（1）求证：AB1⊥平面CED；

（2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1—AC—B的平面角.

解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，

∠ABC=90，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,

∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=

12，AC=1 , ∴CD=.∴DE (CE)2 (CD)2 ； 222

（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=∴AB1

30

，BC=AC=1,∴∠B1AC=602

122

BB

(AB) (AB) 2,

， ∴ 2112

cos60

∴ tg B1CB

BB1

2 , ∴ B1CB arctg2. BC

说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.

例8、 如图，在三棱锥S—ABC中，SA 平面ABC，AB AC 1，SA 2，D为BC的中点.

（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由；

（2）若三棱锥S—ABC的体积为

3

，且 B求二面角S—BC—A的AC为 钝角，6

平面角的正切值；

（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离. 解：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；

（2）设 BAC ，则V 解得 sin

112 1 2 sin

326

，所以 600（舍）， 1200. 2

SA 平面ABC，AB=AC，D为BC的中点 AD BC,SD BC，

则 SDA是二面角S—BC—A的平面角.

SA

在Rt SDA中，tan SDA 4,

AD

故二面角的正切值为４；

（3）由（2）知，BC 平面SDA，所以平面SBC 平面SDA，过点A作AE SD，则AE 平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,

从而AE ADsin SDA

22即A到平面SBC的距离为. 1717

例9、如图a—l— 是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在 内，三角形

ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在 内， ABC是等腰直角三角形∠ACB=900. （I） 求三棱锥D—ABC的体积； （2）求二面角D—AC—B的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角.

解: (1) 过D向平面 做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.

AB AD,OA为DA在平面 上的射影, AB OA DAE为二面角a—l—

的

平面角. DAE 120, DAO 60. AD AB 2, DO

.

ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2. S ABC 1,又D到平面 的距离DO=3.

VD ABC

. 3

（2）过O在 内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且

OAM

CAE 45 , OM

2

. tan DMO DMO arctan 2

（3）在 平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.

AB AF, CF AF CF DF,又 CAF 45 ,即 ACF为等腰直角三角形，又AF

等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高, AF

CF 1.

DF2 AD2 AF2 2AD AFcos120 7. tan DCF

DF

tan DCF CF

异面直线AB,CD所成的角为arctan7.

例10、在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。

类比性质叙述如下 ：

解：立体几何中相应地性质：

⑴从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离

之比为定值。

⑵从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面 的距离之比为定值。

⑶在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离 之比为定值。

⑷在空间，射线OD上任意一点P到射线OA、OB、OC

⑸在空间，射线OD上任意一点P到平面AOB、BOC、COA的 距离之比不变。 说明：（2）——（5）还可以有其他的答案。

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