08年六年级清华北大十一分班考试班第三讲数论教师版

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学不可以已．青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水． —— 荀子第三讲

数论

真题模考

【分析】为了保证剩下的数最大，最高位数字要尽可能地大，先从12345678910中划去10个数字剩下9；

??4950中划去76个教字剩下4个9；再从111213?再从5152???60中划去14个数字剩下尽可能大的??99100．数785960，所以最大的数是999997859606162? 为了保证剩下的数最小，最高位数字要尽可能地小．从12345678910中划去9个数字剩下10：

??4950中划去76个数字，剩下4个0，最后从5152???5960中划去15个数字，剩下尽再从111213???99100．可能小的数12340，所以最小的数是100000123406162???99100．解答：最大的是999997859606162???99100．最小的是100000123406162?从123456789101112?9899100中任意划去100个数字．其他数字顺序不变．剩下的数字组成的数，最大的是多少?最小的是多少?

1、4、5、6、9，因为111、444、555、666、999都不是完全平方数，所以所求的数【分析】平方数的末尾只能是0、1444???可以知道1444?38?38，所以满足条件的最小正整数是1444．最小是4位数．考察1111、

有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．

解答：满足条件的最小正整教是1444．

一次数学考试满分是100分，6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分?

6?(100?91)?54 91?65?26 54?26?28 【分析】

第一100 第二99 28?1?27 27?13?14

所以100?13?87 第三至少得87

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学不可以已．青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水． —— 荀子 4.

1111?11?101， 11?1?2?3?5 【分析】

?四个数分别101?1?101, 101?2?202, 101?3?303, 101?5?505

有四个不同的自然数，它们的和是1111，则它们的最大公约数最大是（）．

最大公约数为101． 5.

有一种商品，买2个要1角钱，买5个要2角钱，买11个要4角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品51个，要是他们的钱合在一起，则最多能买115个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品（）个．

51?11?4?7 7?5?1?2 2?2?1 【分析】

小明的钱数：4?4?2?1?1?1?19 （角）

115?11?10?5 5?5?1

两人一共有钱：4?10?2?1?42 （角）小红有钱： 42?19?23（角）

23?4?5?3 3?2?1?1 小红最多能买：5?11?5?2?62 6.

【分析】个位只能 3和7 或 8和4

(23,37)、(33,47)、(43,57)、(53,67)、(63,77)、(73,87)、(83,97)中 (13,27)、只有(43,57)符合

(28,42)、(38,52)、(48,62)、(58,72)、(68,82)、(78,92)中只有 (18,32)、 (18,32)和(68,82)符合

有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（）（请写出所有可能的答案）．

(18,32)、(68,82)三组答案．所以一共有(43,57)、 7.

令a?0.1234567891011?998999，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，

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学不可以已．青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水． —— 荀子则小数点右边第2008位数字是（）

9?90?2?189 【分析】

2008?189?1819

1 第608个三位数是707 1819?3?608??? ??707708?? 即707的下一位是7

2?4?6?8?10?12?42 【分析】

(196?42)?7?22

连续7个偶数的和是196．这7个数中最大的一个偶数是多少?

这七个数分别是22,24,26,28,30,32,34 最大是34 9.

999?43?23?10 那么一个三位数?43?22?42为余数最大．【分析】

这个数?43?22?42?988 最大值?22?42?64．

一个三位数除以43，商是a，余数是b （a、b都是正数)．求a+b的最大值．

10.

（1）把17分成两个自然数的和，使它们的乘积最大，应该怎样分？

（2）把17分成若干个自然数的和，要是这几个数的乘积最大，应该怎样分？

(1)8和9 【分析】

(2)3,3,3,3,3,2

考点拓展

【例1】如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为“交替数”，若正整数n至少有一个倍数为“交替数”，则把n称为“好数”．

(1)80是“好数”吗？说明理由． (2)证明：2008是“好数”． (3)证明：所有与10互质的正整数都是“好数”．

【分析】（1）80的任何倍数的十位和个位都是偶数．

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学不可以已．青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水． —— 荀子（2）2008?2?4016，前两位都是偶数，用251000“改造”千位，

4016?251000?255016．万位和千位都是奇数，“改造”十万位和万位，

2510000?255016?2765016，满足条件．

（3）首先证明任意一个与10互质的数都有倍数可以写成“99?99”的形式，

证：设这个与“10”互质的数是A,取A个不同的自然数n，求10n被A除所得的余数，根据

抽屉原理，必有两个余数相等，将余数相等的两个被除数相减，则可得到“99?900?0”，

这个数能被A整除，由于A与10互质，所以去掉末尾的0后，剩下的99?9仍是A的倍数，设这个数由m个9构成，即写成99?9，将这个数重复写两遍得到 ???m?9999??99，它也是A的倍数，将它除以11，再乘以????2m?9，得到909090100?0100?0100?0??100?0100?01（能被11整除）?90909???????，这个数???????????????22m-1?902m?1?02m?1?02m?1?02m?1?02m?1?0???????????????????10?100?0仍然是A的倍数，并且是“交替数”，所以A是“好数”．

【例2】 n为4位整数，且组成它的各位数码是从左到右呈降序排列连续数字．则n除以37的所有可能

的余数之和为．

【分析】 n可能为9876;8765;7654;6543;5432;4321;3210 它们的余数分别是34;33;32;31;30;29;28

余数之和?

【例3】在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加．大会准备了100块标有整数1到100的号码布，

分发给每位选手．选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去．问这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同?请回答可能或不可能，并清楚地说明理由．注：没有同时到达终点的选手．

【分析】 (解一)不可能，因为从1?100选出1个加上从1?100选出1个，结果可能是2?200，共

有199种情况，一旦确定一个数，如1?1，那么2和102就不能再出现，即确定一个数就减少两种情况，那么确定100个数就需要200种情况，本题只有199种情况，所以不可能．

（解二）不可能，末2位数字都不相同说明00?99各有一个．而00?01?02????99?4950，

末2位数字为50．所有选手身上和号码布上的号码总和应该为：(1?2????100)?2?10100，

末2位数字为00．

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