列代数方程解应用题目标样题(1)1

列方程（组）解应用题目标样题（1）

一、期中、期末考试要求：会列增长率类型、简单的高次方程、可化为一元二次方程的分式方程类型、二元二次方程组解应用题；会利用两点间的距离公式列无理方程（组）解应用题.

二、中考要求：会列分式方程等解应用题（Ⅲ），摘录自2011年上海市初中毕业考试统一学业考试考试手册.（提醒：在列代数方程解应用题这个知识板块，列可化为一元二次方程的分式方程解

应用题是最常见的题型，不排除利用两点间的距离公式或者图中给定的特殊关系列无理方程解应用题的可能）

三、典型例题分析

例1.某厂接到一份订单, 某运动会开幕式需要720面彩旗.后来由于情况紧急,要求生产总量比原计划增加20%,且必须提前2天完成生产任务.该厂迅速增加人员,实际每天比原计划多生产36面彩旗,请问该厂实际每天生产多少面彩旗?

例2. 如图1，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路.小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进. y 北 有一颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米.

B 小明 P A 西 O 小丽 南 图1 东 x 问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？

（2）离开路口后经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？

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练习题1．（基础题）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比

货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是 （A）

2535253525352535； （A）； （A）； （A）. ????xx?20x?20xxx?20x?20x2.（基础题）某市为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x米管道，那么根据题意，可得方程 ．

3.（基础题）某种电器，原来每台售价3000元，经三次降价后，现在每台售价2187元，求平均每次降价的百分率.

4．（基础题）为了配合教学的需要，某教具厂木模车间要制作96个一样大小的正方体模型.准备用一块长128厘米、宽64厘米、高48厘米的长方形木材来下料.经教具生产设计师的精心设计，该木材恰好用完，没有剩余（不计损耗）.求每个正方体模型的棱长.

5.（基础题）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了60米，因而比原计划提前2个月完成任务．（1）求完成此项工程原计划每个月需掘进多少米？（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天计算）

6.（基础题）在“蓝天下至爱”捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信息：(1) 甲单位共捐款6000元，乙单位捐款数比甲单位多一倍；(2) 乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数少100元；(3) 甲单位的人数是乙单位的

1.你能根据以上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？ 4 2

7.（基础题）小敏的爸爸是一家水果店的经理．一天，他去水果批发市场，用100元购进甲种水果，用100元购进乙种水果，已知乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5元．

（1）求甲、乙两种水果各购进了多少千克？

3（2）如果当天甲、乙两种水果都按2.80元出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出，

5剩余的按售价打5折售完．请你通过计算，说明这一天的水果买卖是否赚钱？如果赚钱，赚了多少元？如果不赚钱，那么赔了多少元？ 8．（基础题）某水果超市用1000元批发了一批单价相同的香蕉，在运输过程中有20斤因受损变质丢掉，其余每斤加价1元出售，这批香蕉售完后，共赚440元．问这批香蕉的批发价是每斤多少元？ 9．（基础题）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问： （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？ （2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用是多少万元？

10．（基础题）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为3.2万元．

（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；

（2）为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任

务的前提下所花费用较少？并说明理由．

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11、（基础题）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为。为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时.以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断.张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我一个小时就跑完了全程，还是慢点.”李：“虽然我的时速快，但最大时速不超过我平均时速的1000，可没有超速违法啊.”李师傅超速违法吗？为什么？ 12．（提高题）在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，点P从点A开始沿AB边以3cm /s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1cm /s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达B点或D点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）， （1）当t为何值时，P、Q之间的距离为5 cm；

（2）联结PD、PQ，当t为何值时，△DPQ为直角三角形； （3）联结PD、PQ，当t为何值时，△DPQ为等腰三角形.

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参考答案（若答案有误，请自行更正）

例1.解：设实际完成生产任务需要x天，

则原计划完成任务需要(x?2)天，实际每天生产

依据题意，可列出方程

720(1?20%)面彩旗.

x720(1?20%)7202420??36，即??1.

xx?2xx?22 两边同时乘以x(x?2)，再整理，得 x?2x?48?0.

解这个方程，得 x1?8，x2??6. 经检验，x1?8、x2??6都是原方程的根，因为完成任务的天数不能为负数，所以取x?8. 当x?8时，

720(1?20%)?108.

8答：该厂实际每天生产108面彩旗. 另解：设实际完成生产任务需要x天，实际每天生产彩旗y面.

依据题意，列出方程组

（1） ?xy?720(1?20%)?xy?864， 即? （2）? (x?2)(y?36)?720xy?2y?36x?792??将（1）代入（2），并整理，得 y?18x?36，（3） 将（3）代入（1），并整理，得 x?2x?48?0.以下略.

例2.解：（1）由题意知：点P的坐标为P(2,3).

设t小时后两人与点P的距离相等，此时，小丽和小明所在的位置分别记为点A、点B. 因为v小丽?4千米/小时，所以OA?4t，得A(4t,0)，同理，得B(0,5t).

因为

y 北 B 小明 ，

P A 西 O 小丽 南 图1 东 x 2AP?BP,AP?(4t?2)2?(0?3)2BP?(0?2)2?(5t?3)2，

所以

(4t?2)2?(0?3)2?(0?2)2?(5t?3)2.解

得 t1?0，t2?1414. 经检验，t1?0，t2?都是原方程的根，但t?0不合题意，99应舍去.

也可以使用勾股定理解答.

（2）设离开路口a小时（a?0）后，两人与古树位于同一条直线上，此时，小丽和小明所在的位置分别记为点A(4a,0)、点B(0,5a).

5

设直线AB的解析式为y?kx?b，因为直线y?kx?b经过点A(4a,0)、B(0,5a)，

5??4ak?b?0?k??所以 ?，当a?0时，方程组的解为?4.

b?5a???b?5a5x?5a.又因为点P(2,3)在直线45511. y??x?5a上，所以3???2?5a，解得 a?10441411答：经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等；经过小时，两人与这颗古树所

910故所求的直线解析式可进一步表示为：y??处的位置恰好在一条直线上.

练习答案 1、C；2、

120300?120??30； x(1?20%)x3（1?x)?2187. 3、解：设平均每次降价的百分率为x.根据题意，得3000729，1?x?0.9，x?0.1?10%.答：平均每次降价10%. 10004、解：设正方体模型的棱长为x（x?0）厘米，根据题意，可列出方程

解这个方程：（1?x)?396x3?128?64?48， 化简，得 2x3?128?64，x3?64?64，x3?43?43.解得

x?16.

已知长方体木材的长为128厘米、宽64厘米、高48厘米，当正方体的棱长为16厘米时，因为16是128、64、48的公因数，所以可以下料.

答：每个正方体模型的棱长是16厘米. 5、解：（1）设完成此项工程原计划每个月需掘进x米，则现在每个月掘进（x+60）米．

根据题意，得

24002400??2．整理，得 x2?60x?72000?0． xx?60解得 x1?240，x2??300．

经检验：x1?240，x2??300都是原方程的解，但x2??300不符合题意，舍去． （2）

2400?2.5?30?600．答略.

240?606、解：设甲单位平均每人的捐款x元，则乙单位平均每人的捐款(x?100)元 根据题意得，

6000112000解得， x?200. ??x4x?100 所以甲单位平均每人的捐款200元，乙单位平均每人的捐款100元.进而可以求得

甲单位 30人，乙单位120人.

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因此，这两个单位总的平均每人捐款数=

6000?12000?120元.

30?120答：这两个单位总的平均每人捐款数为120元. 7、解：（1）设甲种水果购进了x千克，则乙种水果购进了(x?10)千克． 根据题意，得

10010012??．整理后，得x?10x?2000?0， xx?102 解得 x1?40，x2??50（不合题意，舍去）．

经检验：x?40原方程的根，且符合题意． ∴x?10?40?10?50．

答：甲种水果购进了40千克，乙种水果购进了50千克． （2）乙种水果的利润：w1?50?2.8?100?40（元）．

32甲种水果的利润：w2?40??2.8?40??2.8?50%?100??10.4（元）．

55所以，甲、乙两种水果的总利润：w?w1?w2?29.6（元）． 所以，由w?0，得这一天的水果买卖共赚了29.6元．

8、解：设这批香蕉的批发价是每斤x元由题意可得 ??20??x?1??1000?440.

?x?整理得x2?23x?50?0. ∴x1?2,x2??25（不合题意，舍去），经检验x=2是方程的解. 答 这批香蕉的批发价是每斤2元.

9、解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，

?1000??2424?x?y?1,?由题意得方程组：?， 解之得：x=40，y=60．

181810????1?yx?x（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，

根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成． 由（1）知，乙工程队30天完成工程的∴甲工程队需施工

301?， 60211÷=20（天）． 240最低施工费用为0．6×20＋0．35×30=2．25（万元）．· 答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工

费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是2．25万元． 10、解：（1）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建（x-6）米．

360360??10．整理，得 x2?6x?216?0． x?6x解得 x1=18，x2=-12．经检验：x1=18，x2=-12都是原方程的根，但x2=-12不符合题意，舍去．∴x=18．

根据题意，得

7

（2）甲工程队修建时间为：修建时间为：

360，需花费：30?2?60（万元）．乙工程队?30（天）

12360，需花费：20?3.2?64（万元）． ?20（天）

18答：甲工程队每天修建12米，乙工程队每天修建18米．甲、乙两工程队都能在规定的35天时间内完成任务，但甲工程队所需的费用较少，所以根据题意，应请甲工程队修建这段高速公路．

11、解：设李师傅的平均速度为x千米/时，则张师傅的平均速度为（20-x）千米/时，

根据题意，得

400400??1，去分母，整理，得x2?20x?8000?0

x?20xx1?100,x2??80，经检验，x1?100,x2??80都是所列方程的根，但x2=-80不符合题

意，舍去. ∴ x=100.

∴李师傅的最大时速是：100（1+1000）=110.∴李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法.

311或t?； 4437 （2）当t?1或t?时，?DPQ?90?；当t?时，?DQP?90?；

4412、解：（1）t? （3）当t?1时，DP?PQ；当t?

7?34时，PQ?DQ. 5 8

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