《概率论与数理统计》期末考试试题及解答(DOC)

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发

生的概率为__________. 答案：0.3

解：

P(AB?AB)?0.3

即

0.3?P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB)

所以

P(AB)?0.1

P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.9.

2． 设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.

答案：

1?1e6

解答：

P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e????e,??P(X?2)??22e??

????2?? 由 P(X?1)?4P(X?2) 知 e??e?2?e 2 即 2????1?0 解得 ??1，故

P(X?3)?1?1e 6

23． 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率

密度为fY(y)?_________. 答案：

?1,0?y?4,1?fY(y)?FY?(y)?fX(y)??4y

2y?0,其它.? 解答：设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则

FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?P(?y?X?)yX?F()Xy? F(?)y 因为X~U(0,2)，所以FX(?y)?0，即FY(y)?FX(y) 故

1

?1,0?y?4,1?fY(y)?FY?(y)?fX(y)??4y

2y?0,其它.? 另解 在(0,2)上函数y?x2严格单调，反函数为h(y)?y 所以

?1,0?y?4,1?fY(y)?fX(y)???4y

2y??0,其它.

?24． 设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?e，则

??_________，P{min(X,Y)?1}=_________. 答案：??2，P{min(X,Y)?1}?1?e-4

解答：

P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2，故 ??2 P{min(X,Y)?1}?1?P{min(X,Y)?1}

?1?P(X?1)P(Y?1) ?1?e?4.

5． 设总体X的概率密度为

???(??1)x,0?x?1, f(x)?? ???1.

?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.

答案：

??11nlnxi?ni?1?1

解答： 似然函数为

L(x1,,xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1,,xn)?

i?1n lnL?nln(??1)??n?lnxi?1ni

解似然方程得?的极大似然估计为

dlnLn???lnxid???1i?10

2

??11n?lnxini?1?1.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若P(C)?1，则AC与BC也独立. （B）若P(C)?1，则A （C）若P(C)?0，则AC与B也独立. C与B也独立.

（D）若C?B，则A与C也独立. （ ）

答案：（D）.

解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.

事实上由图 可见A与C不独立.

S A B C

2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为 （A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.

（C）2??(2). （D）1?2?(2). （ ）

答案：（A）

解答： X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2)

(2)??(?2)?1?[2?(2?) ?1??

1]?2?[1 ? 应选（A）.

3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是

（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.

（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （ ）

3

答案：（B）

解答：由不相关的等价条件知，?xy?0?cov（x，y）?0 D(X?Y)?DX?DY+2cov（x，y） 应选（B）.

4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

P1111 69183?? 若X,Y独立，则?,?的值为

（A）??29,??19. （A）??129,??9.

（C） ??16,??16 （D）??518,??118. 4

） （ 答案：（A）

解答： 若X,Y独立则有

??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2)

12311111121 18 3 ?(????)(??)?(??) 6 93939112??????2133 ???， ?? 99111????29181 故应选（A）.

5．设总体X的数学期望为?,X1,X2, 正确的是

（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量. （C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （ ）

答案：（A） 解答：

EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为

0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02， 求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；

（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B?‘任取一产品确是合格品’

则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)

?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857. （2） P(B|A)?

四、（12分）

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数， 求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.

5

,Xn为来自X的样本，则下列结论中

P(AB)0.9?0.95??0.9977. P(A)0.857

二、填空题(每空3分 共15分) ?xe?x1.P(B) 2. f(x)???0x?0x?0, 3e?2 3. ?1 4. t(9) 三、(6分) 设 A,B相互独立，P(A)?0.7，P(A?B)?0.88，求P(A?B). 解： 0.88=P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) =P(A)?P(B)?P(A)P(B) (因为A,B相互独立)……..2分 =0.7?P(B)?0.7P(B) …………3分 则 P(B)?0.6 ………….4分 P(A?B)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B) ?0.7?0.7?0.6?0.28 …………6分 四、（6 分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在 运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。 解：用X表示时刻T运行的电梯数， 则X~b(4,0.7) ………...2分 所求概率 P?X?1??1?P?X?0? …………4分 0 ?1?C4(0.7)0(1?0.7)4=0.9919 ………….6分 ?e?x,五、（6分）设随机变量X的概率密度为f(x)???0,x?0其它 ， 求随机变量Y=2X+1的概率密度。 解：因为y?2x?1是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分 当X?0时，Y?1 ………….2分 y?11,x'? …………4分 由y?2x?1， 得x?22?y?11y?1?f(2)?2?从而Y的密度函数为fY(y)?? …………..5分 ?0y?1?? 11

?1?1?y2??e?2=??0??y?1 …………..6分 y?1 12

?e?x,五、（6分）设随机变量X的概率密度为f(x)???0,x?0其它 ， 求随机变量Y=2X+1的概率密度。 解：因为y?2x?1是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分 当X?0时，Y?1 ………….2分 y?11,x'? …………4分 由y?2x?1， 得x?22?y?11y?1?f(2)?2?从而Y的密度函数为fY(y)?? …………..5分 ?0y?1???1?1?y2??e?2=??0??y?1 …………..6分 y?1六、（8分） 已知随机变量X和Y的概率分布为 012 X ?1 P 1 Y 011 P 4211 2 14而且P{XY?0}?1. (1) 求随机变量X和Y的联合分布; (2)判断X与Y是否相互独立? 解：因为P?XY?0??1，所以P?XY?0??0 (1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出 Y-1 0 1 X 110 0 1 44 21 0 0 111 42413

1 21 2

………….4分 111(2) 因为 P?X?0,Y?0??0?P?X?0?P?Y?0???? 224所以 X与Y不相互独立 …………8分 七、（8分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?12e?(3x?4y), x?0,y?0,? f(x,y)???0, 其他.?求：（1）P(0?X?1,0?Y?2)；（2）求X的边缘密度。 12解：（1）P(0?X?1,0?Y?2)??dx?12e?(3x?4y)dy …………..2分 00 ??3e?3xdx??4e?4ydy=?e?3x0012????e? 10?4y20 =[1?e][1?e?8] ………….4分 ?3 （2） fX(x)??12e?(3x?4y)dy …………..6分 ?????3e?3x???0八、（6x?0 ……………..8分 x?014布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。 分）一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从参数为的指数分 1?x?141?x?0 ………….2分 解： 因为X~e() 得f(x)??4e4??0x?0用Y表示出售一台设备的净盈利 X?1?100 …………3分 Y???100?3000?X?1

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则 P(Y?100)????1?1?4edx?e4 4x1x1?1?4P?Y??200???edx?1?e4 ………..4分 041所以 EY?100?e?300e九、（8?14?14?(?200)?(1?e) ?14?200?33.64（元） ………..6分 分）设随机变量X与Y的数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5，求E(2X?Y),D(2X?Y)。 解：已知EX??2,EY?2,DX?1,DY?4,?XY??0.5 则 E(2X?Y)?2EX?EY?2?(?2)?2??6 ……….4分 D(2X?Y)?D(2X)?DY?2cov(2X,Y) ……….5分 ?2DX?DY?4cov(X,Y) ……….6分 ?2DX?DY?4DXDY?XY=12 …………..8分 十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数?(x)的值表示）. 解：用Xi表示第i户居民的用电量，则Xi~U[0,20] 0?20(20?0)2100EXi??10 DXi?? ………2分 2123则1000户居民的用电量为X??Xi，由独立同分布中心极限定理 i?11000??1?P?X?10100? ………3分 P?X?10100 15

???X?1000?1010100?1000?10???=1?P??? ………4分 100??1000?1001000???33???1??(10100?1000?101000?1003) ……….6分 =1??(十一、（73) ………7分 10分）设x1,x2,?,xn是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为 ?(??1)x?, 0?x?1,f(x)?? 其他,?0, 其中??0未知，求?的最大似然估计。 解: 最大似然函数为 L(x1,?,xn,?)??f(xi)??(??1)xi? ……….2分 i?1i?1nn=(??1)n(x1,?,xn)? ……… .3分 则 lnL(x1,?,xn,?)?nln(??1)??ln(x1,?,xn) 0?x1,?,xn?1 ………..4分 dlnLn??ln(x1,?,xn)?0 ………..5分 d???1于是?的最大似然估计： 令 ???1?? 十二、（5n。 ……….7分 lnln(x1,?,xn)分）某商店每天每百元投资的利润率X~N(?,1)服从正态分布，均值为?，长期以来方差?2 稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为x?5，试求?的置信水平为95%的置信区间。（t0.05(100)?1.99, ?(1.96)?0.975） 16

解： 因为?已知，且X???n~N(0,1) …………1分 ???X???故 P??U???1?? …………2分 2???n??依题意 ??0.05,U??1.96,n?100,??1,x?5 2则?的置信水平为95%的置信区间为 [x?U??2?n,x?U??2?n] …………4分 即为 [4.801,5.199] …………5分

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《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）

专业、班级： 姓名： 学号： 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩 一、单项选择题(每题（1） 3分 共15分) 若事件A、B适合P(AB)?0,则以下说法正确的是( ).(A)A与B互斥(互不相容);(B)P(A)?0或P(B)?0;(C)A与B同时出现是不可能事件;(D)P(A)?0,则P(BA)?0.（2） 离散型随机变量X的分布律为P?X?k??b?k,(k?1,2,…)的充分必要条件是( ).(A)b>0 且0 0.1?b0?x?11?x?2 其它1??1且?<1 ; ?x,?连续随机变量X的概率密度为 f(x)??2?x,?0,?则随机变量X落在区间 (0.4, 1.2) 内的概率为( ). (A) 0.64 ; (B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42. （4） 设随机变量X~N(?3,1),Y~N(2,1),且X与Y相互独立,令Z?X?2Y?7,则Z~((A)N(0,5);(B)N(0,3);).(D)N(0,54). (C)N(0,46); 18

（5） 设(?1,?2)是参数?的置信度为1??的区间估计,则以下结论正确的是( ).(A)参数?落在区间(?1,?2)之内的概率为1??;(B)参数?落在区间(?1,?2)之外的概率为?;(C)区间(?1,?2)包含参数?的概率为1??;(D)对不同的样本观测值,区间(?1,?2)的长度相同.二、填空题(每空（1） 2分 共12分) 设总体X与Y相互独立,且都服从正态分布N(0,1).(X1,?,X9)是从总体X中抽取的一个样本,(Y1,?,Y9)是从总体Y中抽取的一个样本,则统计量U?X1???X9Y12??Y92 服从______分布,参数为_______.（2） ?,??,??是总体分布中参数?的无偏估计量,???a???2???3??,设?123123?也?是的无偏估计量.当a?________时,?（3） 设总体X~N(?,1),?是未知参数,X1,X2是样本,则?1?2111X1?X2及?2?X1?X23322 都是?的无偏估计,但_______有效.（4） 设样本(X1,X2,?,Xn)抽自总体X~N(?,?2).?,?2均未知.要对?作假设检验, 统计假设为H0:???0,(?0已知),H1:???0,则要用检验统计量为______,给定显著水平?,则检验的拒绝区间为________. 19

三、(7 四、(9分) 已知P(A)?0.5,P(B)?0.6，条件概率P(BA)?0.8,试求P(AB).. x, ???x???， 分) .设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctan求:（1）常数A,B；（2）P(X?1)；（3）随机变量X的密度函数。 20

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