2012年高考真题理科数学解析汇编立体几何参考答案1

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案1

一、选择题

错误！未找到引用源。 【解析】选A

?ABC的外接圆的半径r?3622,点O到面ABC的距离d?R?r? 3326 3SC为球O的直径?点S到面ABC的距离为2d?此棱锥的体积为V?113262 S?ABC?2d????33436另:V?13排除B,C,D S?ABC?2R?3611??6?3?3?9 32错误！未找到引用源。 【解析】选B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3

此几何体的体积为V?错误！未找到引用源。 【答案】B

【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项B是正确的. 错误！未找到引用源。 【答案】A

【解析】BE?1?(222)?,BF?BE,AB?2BF?2. 22【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间相象力,极限思想的运用,是中档题.

错误！未找到引用源。 [答案]A

[解析] 以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴,

????????AO?PO22213?则?cos?AOP?,A(R,0,R),P(R,R,0) 22222R4?22??AOP?arccos,?AP?R?arccos

44[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了

一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功. 错误！未找到引用源。 [答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.

错误！未找到引用源。 D

错

误

！

未

找

到

引

用

源

。

解析:不妨设

CA?CC1?2CB?2,则

????????????????????????AB1×C1B(-2)?02?(2)+1?15,直线=-AB1=(-2,2,1),C1B=(0,-2,1),cos=????????=59′5AB1C1BBC1与直线AB1夹角为锐角,所以余弦值为

5,选A. 5错误！未找到引用源。 A【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式,线面垂直,同时考查了函数的思想,导数法解决几

何问题等重要的解题方法. (定性法)当0?x?11时,随着x的增大,观察图形可知,V?x?单调递减,且递减的速度越来越快;当?x?1时,

22随着x的增大,观察图形可知,V?x?单调递减,且递减的速度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有A图象符合.故选A.

【点评】对于函数图象的识别问题,若函数y?f?x?的图象对应的解析式不好求时,作为选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题

也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且准确节约时间.

错误！未找到引用源。 【答案】D

【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 错误！未找到引用源。考点分析:考察球的体积公式以及估算.

解析:由V?a6b6?94?d36V?3.375,B中代入得,设选项中常数为,则??;A中代入得??()?d?3ba1632???6?16?1576?11?3,C中代入得???3.14,D中代和主得???3.142857,由于D中值最接近?的真实230021值,故选择D.

错误！未找到引用源。考点分析:本题考察空间几何体的三视图.

解析:显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个1/2的圆柱体,底面圆的半径为1,圆柱体的高为6,则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.

2错误！未找到引用源。解析:C.该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为V???3?5?45?,上部分是半径

为3,高为4的圆锥,体积为V????32?4?12?,所以体积为57?.

错误！未找到引用源。 【答案】D

13【解析】分别比较ABC的三视图不符合条件,D符合.

【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图,考查空间想象能力、逻辑推理能力. 错误！未找到引用源。答案D

【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解.体现了转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可.

【解析】连结AC,BD交于点O,连结OE,因为O,E是中点,所以OE//AC1,且OE?1AC1,所以2AC1//BDE,即直线AC1 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离,过C做CF?OE于F,则CF即为所

求距离.因为底面边长为2,高为22,所以AC?22,OC?2,CE?2,OE?2,所以利用等积法得

CF?1,选D.

错误！未找到引用源。 【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式,可得:S底?10,S后?10,S右?10,S左?65,因此该几何体表面积S?30?65,故选B. 【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题,原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积,因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力. 错误！未找到引用源。 【解析】选A

①???,b?m?b???b?a ②如果a//m;则a?b与b?m条件相同

二、填空题

错误！未找到引用源。 【答案】18+9?

【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.

【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其体积为:V=3?6?1+2???(4333)=18+9?m3. 2错误！未找到引用源。 【答案】1

【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 11形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于?3?1?2??1.

23错误！未找到引用源。 [答案]90o

[解析]方法一:连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M,

所以,DN⊥平面A1MD1,

又A1M?平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为90o

方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴,建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故,DN? （0,2,1），MA1?（2，?1,2）所以,cos

|DN||MA1|[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.

错误！未找到引用源。 [解析] 作BE⊥AD于E,连接CE,则AD⊥平面BEC,所以CE⊥AD, 由题设,B与C都是在以AD为焦距的椭球上,且BE、CE都 D 垂直于焦距AD,所以BE=CE. 取BC中点F,

E B A C

连接EF,则EF⊥BC,EF=2,S?BEC?1BC?EF?BE2?1, 2AD?S?BEC?四面体ABCD的体积V?132c3BE2?1,显然,当E在AD中点,即

2c3B是短轴端点时,BE有最大值为b=a2?c2,所以Vmax?a2?c2?1.

[评注] 本题把椭圆拓展到空间,对缺少联想思维的考生打击甚大!当然,作为填空押轴题,区分度还是要的,不过,就抢分而言,胆大、灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD(同时AC=CD),从而致命一击,逃出生天!

错误！未找到引用源。 [解析] 如图,1?l22l=2??r=1, ?2??l=2,又2?r2=?P l h r O P l 所以h=3,故体积V?1?r2h?333?.

2?r 错误！未找到引用源。 【解析】因为E点在线段AA1上,所以S?DED1?点F到平面DED1的距离为1,即h?1,所以VD1?EDF?VF?DED1【答案】

11?1?1?,又因为F点在线段B1C上,所以221111??S?DED1?h???1?. 33261 6错误！未找到引用源。 【答案】

3 3以把该球,正的

【解析】因为在正三棱锥P?ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,所以可正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如图所示),此正方体内接于方体的体对角线为球的直径,球心为正方体对角线的中点.

球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P?ABC在面ABC上高.已知球的半径为3,所以正方体的棱长为2,可求得正三棱锥

P?ABC在面ABC上的高为

23,所以球心到截面ABC的距离为33?233 ?33【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想,该题灵

活性较强,难度较大.该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了.

错误！未找到引用源。 【答案】38

【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为

2(3?4?4?1?3?1)?2??1?1?2??38

【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积. 错误！未找到引用源。 【答案】6.

【考点】正方形的性质,棱锥的体积.

【解析】∵长方体底面ABCD是正方形,∴△ABD中BD=32 cm,BD边上的高是32cm(它也是A?BB1D1D中2

BB1D1D上的高).

∴四棱锥A?BB1D1D的体积为?32?2?1332=6. 2错误！未找到引用源。 答案6 6【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解.用空间向量进行求解即可.

?????????????????????【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有ABA?B,1AA1?BC?ACA1?1?,A则

????2????????2????2????????????2|AB1|?(AB?AA1)?AB?2AB?AA1?AA1?2?2cos60??3

?????????????????????2????2????2????????????????????????|BC1|2?(AC?AA1?AB)2?AC?AA1?AB?2AC?AA1?2AC?AB?2AA1?AB?2而

?????????????????????????????AB1?BC1?(AB?AA1)?(AC?AA1?AB) ?????????????????????????????????????????????????AB?AC?AB?AA1?AB?AB?AA1?AC?AA1?AA1?AA1?AB1111???1??1??12222??????????????????AB?BC116???cos?AB1,BC1??????1?????

6|AB1||BC1|2?3错误！未找到引用源。 【答案】92

【解析】由三视图可知,原几何体是一个底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,其底面积为2?积为(4?2?5?5)?4?64,故表面积为92. 【考点定位】考查三视图和表面积计算.

三、解答题

(2?5)4?28,侧面2错误！未找到引用源。 【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与

平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

????????????方法一:（1）以AD,AC,AP为x,y,z正半轴方向，建立空间直角左边系A?xyz

则D(2,0,0),C(0,1,0),B(?,,0),P(0,0,2)

1122????????????????PC?(0,1,?2),AD?(2,0,0)?PC?AD?0?PC?AD

?????????PCD（2）PC?(0,1,?2),CD?(2,?1,0)，设平面的法向量n?(x,y,z)

????????y?2z?0?y?2z?n?PC?0????则????? 取z?1?n?(1,2,1) ?2x?y?0x?zCD?0????n?????AD?(2,0,0)是平面PAC的法向量

???????????????AD?n630 cos?AD,n?????????sin?AD,n??66ADn得：二面角A?PC?D的正弦值为

30 6????11????????（3）设AE?h?[0,2]；则AE?(0,0,2)，BE?(,?,h),CD?(2,?1,0)

22????????????????BE?CD331010 即AE? cos?BE,CD???????h???????210210BECD10?20h方法二:(1)证明,由PA?平面ABCD,可得PA?AD,又由

AD?AC,PA?AC?A,故AD?平面PAC,又PC?平面A.

(2)解:如图,作AH?PC于点H,连接DH,由P?CPAC,所以

PC?AD,PC?AH,可得PC?平面ADH.因?AHD为二面角A?PC?D的平面角.

在Rt?PAC中,PA?2,AC?1,由此得AH?此,DH?PC,从而

2,由(1)知5AD?AH,故在

R?tDAHDH?AD2?AH2?中,

230AD30,因此sin?AHD?,所以二面角A?PC?D的正弦?5DH6值为30. 6

【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题相似,但底面是非特殊

的四边形,一直线垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的,需要学生根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好. 错误！未找到引用源。 【解析】(1)在Rt?DAC中,AD?AC

得:?ADC?45

??同理:?A DC?45??CDC?90111?得:DC1?DC,DC1?BD?DC1?面BCD?DC1?BC (2)DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1?BC?AC 取A1B1的中点O,过点O作OH?BD于点H,连接C1O,C1H

AC11?B1C1?C1O?A1B1,面A1B1C1?面A1BD?C1O?面A1BD OH?BD?C1H?BD 得:点H与点D重合

且?C1DO是二面角A1?BD?C1的平面角 设AC?a,则C1O?2a,C1D?2a?2C1O??C1DO?30? 2?既二面角A1?BD?C1的大小为30

错误！未找到引用源。 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点.

(Ⅰ)如图连接BD.

∵M,N分别为PB,PD的中点, ∴在?PBD中,MN∥BD. 又MN?平面ABCD,

∴MN∥平面ABCD; (Ⅱ)如图建系:

A(0,0,0),P(0,0,26),M(?N(3,0, 0),C(3,3,0). ????33,,0), 22????设Q(x,y,z),则CQ?(x?3，y?3，z)，CP?(?3，?3，26). ????????∵CQ??CP?(?3?，?3?，26?),∴Q(3?3?，3?3?，26?).

????????由OQ?CP????????12326?OQ?CP?0,得:??. 即:Q(，2，).

333?对于平面AMN:设其法向量为n?(a，b，c).

?????????33∵AM?(?，，0)，AN=(3，0，0).

22?3?a?3??311?. ∴n?(，，0). b??333??c?0?????????AM?n?0?则????????AN?n?0?33a?b?0????22?3a?0???同理对于平面AMN得其法向量为v?(3，，1?6).

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为?,

??n?v10则cos?????.

5n?v∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 10. 510. 5

33. 3错误！未找到引用源。 【考点定位】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面垂直的关系,二面角的求

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 法及空间向量在立体几何中的应用,解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征,熟练进行线线垂直与线面垂直的转化,主要考查学生的空间想象能力与推理论证能力.本题可以利用空间向量来解题,从而降低了题目的难

度.

解:(1)由AC?BC,D为AB的中点,得CD?AB,又CD?AA1,故CD?面A1ABB1,所以点C到平面

A1ABB1的距离为CD?BC2?BD2?5 (2)如图,取D1为A1B1的中点,连结DD1,则DD1∥AA1∥CC1,又由(1)知CD?面A1ABB1,故

CD?A1DCD?DD1,所以?A1DD1为所求的二面角A1?CD?C1的平面角.

因A1D为AC在面A,由三垂线定理的逆定理得AB1?A1D,从而11ABB1上的射影,又已知AB1?AC1都与?B1AB互余,因此?A?A1AB1,?A1DA1AB1??A1DA,所以Rt?A1AD?Rt?B1A1A,因此,

2即AAA1B1?8,得AA1?22. 1?AD?AA1A1B1,?ADAA1从而A1D?AA12?AD2?23,所以,在Rt?A1DD1中,cosA1DD1?DD1AA16 ??A1DA1D3错误！未找到引用源。 [解析](1)连接OC.由已知,?OCP为直线PC与平面ABC所成的角

设AB的中点为D,连接PD、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD?AB.

因为?APB?90?，?PAB?60?，所以?PAD为等边三角形, 不妨设PA=2,则OD=1,OP=3,AB=4.

所以CD=23,OC=OD2?CD2?1?12?13. 在Rt?OCP中，tan?OPC?OP339. ??OC131339 13故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan(2)过D作DE?AP于E,连接CE. 由已知可得,CD?平面PAB. 根据三垂线定理可知,CE⊥PA,

所以,?CED为二面角B—AP—C的平面角. 由(1)知,DE=3

在Rt△CDE中,tan?CED?CD?2 DE故二面角B—AP—C的大小为arctan2

[点评]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查思维能力、空间想象能力,并

考查应用向量知识解决数学问题的能力.

错误！未找到引用源。 [解](1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,

从而CD⊥PD

z 22因为PD=2?(22)?23,CD=2, P 所以三角形PCD的面积为1?2?23?23 2(2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系,

x B A C E D y

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