含参数的导数问题

应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题.

一．含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.）

2ax a2 1

例1（2012西2）已知函数f(x) ，其中a R． 2

x 1

（Ⅰ）当a 1时，求曲线y （Ⅱ）求

f(x)在原点处的切线方程；

f(x)的单调区间．

f(x)

（Ⅰ）解：当a 1时，

(x 1)(x 1)2x

f(x) 2，． ………………2分 222

x 1(x 1)

由

f (0) 2， 得曲线y f(x)在原点处的切线方程是2x y 0．…………3分

f (x) 2

(x a)(ax 1)

． ………………4

x2 12x

．所以f(x)在(0, )单调递增，在( ,0)单调递2

x 1

（Ⅱ）解：分

① 当a 0时，f (x)

减． ………………5分

1

(x a)(x )

．当a 0，f (x) 2a2

x 1

② 当a 0时，令

故

1

f (x) 0，得x1 a，x

2 ，f(x)与f (x)的情况如下：

11

f(x)的单调减区间是( , a)，(, )；单调增区间是( a,)． ………7分

aa

③ 当a 0时，f(x)与f (x)的情况如下：

所以

11

f(x)的单调增区间是( ,)；单调减区间是( , a)，( a, )． ………………

aa

9分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， a 0时不合题意． ………………10分

当a 0时，由（Ⅱ）得，f(x)在(0,

11

)单调递增，在(, )单调递减，所以f(x)

aa

在(0, )上存在最大值

1

f() a2 0． a

1 a21

设x0为f(x)的零点，易知x0 ，且x0 ．从而x x0时，f(x) 0；x x0

2aa

时，若

f(x) 0．

f(x)在[0, )上存在最小值，必有f(0) 0，解得 1 a 1．

f(x)在[0, )上存在最大值和最小值，a的取值范围是

所以a 0时，若

(0,1]．…………12分

当a 0时，由（Ⅱ）得，f(x)在(0, a)单调递减，在( a, )单调递增，所以在(0, )上存在最小值若

f(x)

f( a) 1．

f(x)在[0, )上存在最大值，必有f(0) 0，解得a 1，或a 1．

f(x)在[0, )上存在最大值和最小值，a的取值范围是( , 1]．

所以a 0时，若

综上，a的取值范围是( , 1] (0,1]． ………………14分 例2 设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间. 【解析】由已知得函数f(x)的定义域为( 1, )，且f'(x) ax 1(a 1),

x 1

（1）当 1 a 0时，f'(x) 0,函数f(x)在( 1, )上单调递减， （2）当a 0时，由f'(x) 0,解得x 1.

a'

、随x的变化情况如下表

从上表可知 当x ( 1,1)时，f'(x) 0,函数f(x)在( 1,1)上单调递减.

aa

当x (1, )时，f'(x) 0,函数f(x)在(1, )上单调递增.

aa

综上所述：当 1 a 0时，函数f(x)在( 1, )上单调递减.当a 0时，函数f(x)在( 1,1)上

a单调递减，函数f(x)在(1, )上单调递增.

a

2a3

已知函数f(x) x 1,其中a 0.

x

2

（I）若曲线y f(x)在(1,f(1))处的切线与直线y 1平行，求a的值； （II）求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.

2a32(x3 a3)

解：f (x) 2x ，x 0. .........................................2分

xx（I）由题意可得f (1) 2(1 a3) 0，解得a 1， ........................................3分

此时f(1) 4，在点(1,

f(1))处的切线为y 4，与直线y 1平行

故所求a值为1. ........................................4分 （II）由f (x) 0可得x a，a 0， ........................................ 5分 ①当0 a 1时，f (x) 0在增， .......6分

所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(1) 2a3 2 . ........................................7分 ②当1 a 2时，

(1,2]上恒成立 ， 所以y f(x)在[1,2]上递

....................................10分

由上表可得y f(x)在[1,2]上的最小值为f(a) 3a2 1 . ......................................11分 ③当a 2时，f (x) 0在[1,2)上恒成立，

所以y f(x)在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(2) a3 5 . .....................................13分 综上讨论，可知：当0 a 1时， y f(x)在[1,2]上的最小值为f(1) 2a3 2； 当

1 a 2时，y f(x)在[1,2]上的最小值为f(a) 3a2 1；当a 2时，y f(x)在[1,2]上

的最小值为f(2) a3 5.

练习 1 已知函数（Ⅰ）求

11

f(x) alnx x2 (a R且a 0). (2012海淀一模）

22

f(x)的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的x 取值范围；若不存在，请说明理由.

2（2012顺义2文）（.本小题共14分） 已知函数

1, ，都有f(x) 0？若存在 ，求a的

f(x) (a 1)x2 2lnx,g(x) 2ax,其中a 1

f(x)在(1,f(1))处的切线方程; f(x) g(x)，求h(x)的单调区间.

（Ⅰ）求曲线y

（Ⅱ）设函数h(x)

3（2012朝1）18. （本题满分14分） 已知函数

f(x) ax2 1 ex,a R.

f(x)在x 1时取得极值，求a的值；

f(x)的单调区间.

（Ⅰ）若函数

（Ⅱ）当a 0时，求函数

二参数范围

有单调性时分离常数法

例（东2）已知函数（Ⅰ）若a 1，求

1

f(x) x2 2x aex.

2

f(x)在x 1处的切线方程；

（Ⅱ）若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围. 解：1)由a 1， 所以 又

13

f(x) x2 2x ex，f(1) e， ………1分

22

f (x) x 2 ex. …………3分

f (1) 1 e，

3

e) (1 e)(x 1)即2(1 e)x 2y 1 0. …………5分 2

所以所求切线方程为y (

（Ⅱ）由已知f(x) x2 2x aex，得f (x) x 2 aex. 因为函数 所以整

理

得

12

f(x)在R上是增函数，

f (x) 0恒成立，即不等式 x 2 aex 0恒成立.………………9分

a

令

x 2

.

ex

x 2x 3

………………11分 g(x) ,g (x) .

ee x,g (x),g(x)的变化情况如下表：

3

，即a的 由此得a g(3)= e

取值范围是

, e

3

. ………………13分

f(x) ax3 3x2．

（Ⅰ）若x 2是函数y f(x)的极值点，求实数a的值；

x

（Ⅱ）若函数g(x) ef(x)在[0,2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．

2

解：（Ⅰ）f (x) 3ax 6x 3x(ax 2)．

因为x 2是函数y f(x)的极值点，所以f (2) 0，即6(2a 2) 0， 所以a 1．经检验，当a 1时，x 2是函数y f(x)的极值点．

即a 1．----------------------------------------------------------------------------------6分

x'x322

（Ⅱ）由题设，g(x) e(ax 3x 3ax 6x)，又e 0，

322

所以， x (0,2]，ax 3x 3ax 6x 0，

3x2 6x3x 6

2这等价于，不等式a 3对x (0,2]恒成立． 2

x 3xx 3x

3x 6

令h(x) 2（x (0,2]），

x 3x

3(x2 4x 6)3[(x 2)2 2]'

0，---------------------------10分 则h(x) 2222

(x 3x)(x 3x)

所以h(x)在区间（0,2]上是减函数，

6

所以h(x)的最小值为h(2) ．----------------------------------------------------12分

5

66

所以a ．即实数a的取值范围为( ,]．-----------------------------------13分

55

练习1（2012怀柔2）设a R，函数

2（2012石景山1）已知函数

f(x) x2 2alnx．

（Ⅰ）若函数（Ⅱ）求函数

f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值； f(x)的单调区间；

2

f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围． x

1

f(x) lnx ax（a为实数）

x

（Ⅲ）若函数g(x)

分类讨论求参数

例2（2012昌平1）已知函数.（I）当a 0时， 求（II）若

f(x)的最小值；

f(x)在[2, )上是单调函数，求a的取值范围

x 1

…….2分 x2

解：(Ⅰ) 由题意可知：x 0 ……1分 当a 0时

f (x)

当0 x 1时，故

f (x) 0 当x 1时，f (x) 0 ……..4分

f(x)min f(1) 1. …….5分

11ax2 x 1

(Ⅱ) 由f (x) 2 a

xxx2

① 由题意可知a 0时，

f (x)

x 1

,在[2, )时，f (x) 0符合要求 …….7分 2x

② 当a 0时，令g(x) ax2故此时

x 1

f(x)在[2, )上只能是单调递减

4a 2 11

0 解得a …….9分

44

4a 2 11

0,得a 当a 0时，f(x)在[2, )上只能是单调递增 f (2) 0 即

44

故a 0 …….11分

1

综上a ( , ] [0, ) …….13分

4

f (2) 0 即

根据性质求范围

）

， f(x) 4lnx ax2 6x b（a，b为常数）

（零点例（2012昌平2）已知函数且x 2为

f(x)的一个极值点．

(Ⅰ) 求a的值； (Ⅱ) 求函数

f(x)的单调区间；

(Ⅲ) 若函数y f(x)有3个不同的零点，求实数b的取值范围．

4

2ax 6 ……2分 x

解： (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为（0，+∞）……1分∵ f ′ (x) =∴

f (2) 2 4a 6 0，则a = 1．………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知

f(x) 4lnx x2 6x b

42x2 6x 42(x 2)(x 1)

∴ f ′ (x) = 2x 6 ………6分

xxx

由f ′ (x) > 0可得x >2或x <1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2．

∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，

单调递减区间为 (1 , 2 )． ………9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增． 且当x =1或x =2时，f ′ (x) = 0． ………10分 ∴ f (x) 的极大值为 f (x)的极小值为

f(1) 4ln1 1 6 b b 5 ………11分

f(2) 4ln2 4 12 b 4ln2 8 b ……12分

由题意可知

f(1) b 5 0

则 5 b 8 4ln2 ………14分

f(2) 4ln2 8 b 0

最值 例（2012海2）已知函数（Ⅰ）求函数

f(x)

x a

（a 0，a R）.

x2 3a2

f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a 1时，若对任意x1,x2 [ 3, )，有小值.解：

f(x1) f(x2) m成立，求实数m的最

f'(x)

(x a)(x 3a)

. 222

(x 3a)

令

f'(x) 0，解得x a或x 3a. ……………………………………2分

f'(x)，f(x)随着x的变化如下表

（Ⅰ）当a 0时，

函数

f(x)的单调递增区间是( 3a,a)，函数f(x)的单调递减区间是( , 3a)，(a, ).

……………………………………4分 当a 0时，f'(x)，f(x)随着x的变化如下表

)

函数

f(x)的单调递增区间是(a, 3a)，函数f(x)的单调递减区间是( ,a)，

( 3a, ). ……………………………………6分

（Ⅱ）当a 1时，由（Ⅰ）得又当x 1时，

f(x)是( 3,1)上的增函数，是(1, )上的减函数.

x 1

0. ……………………………………8分 2

x 3

11

所以 f(x)在[ 3, )上的最小值为f( 3) ，最大值为f(1) ……10分

62

2

所以 对任意x1,x2 [ 3, )，f(x1) f(x2) f(1) f( 3) .

3

2

所以 对任意x1,x2 [ 3, )，使f(x1) f(x2) m恒成立的实数m的最小值为.……

3

f(x)

13分

不等式例3（2012房山1）设函数（Ⅰ）当a 1时，求曲线y （Ⅱ）求函数

1

f(x) x3 2ax2 3a2x a(a R).

3

f(x)在点 3,f(3) 处的切线方程；

f(x)的单调区间和极值；

f(x) a 1，求a的取值范围.

（Ⅲ）若对于任意的x (3a,a)，都有

极值例4（2012丰台1）已知函数

1

f(x) x3 ax2 1 (a R)．

3

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值； （Ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求a的取值范围； （Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．

（单调性）已知函数

1f(x） x3 mx2 3m2x 1(m 0).

3

（Ⅰ）若m 1，求曲线y （Ⅱ）若函数

f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

f(x)在区间(2m 1,m 1)上单调递增，求实数m的取值范围．

185f(x） x3 x2 3x 1，f(2） 4 6 1 .

333

5

5(x 2)即15x 3y 25 0． ……5分 3

解：（Ⅰ）当m 1时，

4 4 3 5． ………3分 f'(x） x2 2x 3，f'(2）

所以所求切线方程为y （Ⅱ） 令

f'(x） x2 2mx 3m2.

f'(x） 0，得x 3m或x m. ………7分

f (x)，f(x)的变化情况如下表：

由于m 0，

所以函数 要使

f(x)的单调递增区间是( , 3m)和(m, ). …………9分

f(x)在区间(2m 1,m 1)上单调递增，

应有 m 1≤ 3m 或 2m 1≥m，

1

或m≥1． …………11分 4

又 m 0 且m 1 2m 1， …………12分 所以 1≤m 2．

解得m≤ 即实数m的取值范围 三．基本性质

m1 m 2 ． …………13分

2a2

(a 0). （2012朝2）设函数f(x) alnx x

（Ⅰ）已知曲线y （Ⅱ）讨论函数

f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2 3a，求实数a的值；

f(x)的单调性；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f(x) 3 x．

单调区间（2012门头沟2）已知函数f(x) x3 ax2 bx 1在x 1处有极值 1． （I）求实数a，b的值；

（II）求函数g(x) ax lnx的单调区间． （2012东1）已知x 1是函数（Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）当x1，x2 实用

(2012西城一模）如图，抛物线y x2 9与x轴交于两点A,B，点C,D在抛物线上（点

f(x) (ax 2)ex的一个极值点．

0,2 时，证明：f(x1) f(x2) e

C在第一象限），CD∥AB．记|CD| 2x，梯形ABCD面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式； （Ⅱ）若

|CD|

k，其中k为常数，且0 k 1，求S的最大值． |AB|

（Ⅰ）解：依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为

yC x2 9． ………………1分

点B的横坐标

2

9 0，解得xB 3，舍去xB满足方程 xB

xB 3． ……………2分

所以S

11

(|CD| |AB|) yC (2x 2 3)( x2 9) (x 3)( x2 9)． ………4分 22

由点C在第一象限，得0 x 3．

所以S关于x的函数式为 S (x 3)( x

2

9)，0 x 3． ………………5分

0 x 3,

（Ⅱ）解：由 x 及0 k 1，得0 x 3k． ………………

k, 3

6分

记则令

f(x) (x 3)( x2 9),0 x 3k，

f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3)． ………………8分 f (x) 0，得x 1． ………………9分

1

k 1

时，f (x)与f(x)的变化情况如下： ① 若1 3k，即

所以，当x 1时，

f(x)取得最大值，且最大值为f(1) 32． ………………11分

1

时，f (x) 0恒成立， 3

② 若1 3k，即0 k 所以，13分

f(x)的最大值为f(3k) 27(1 k)(1 k2)． ………………

11 k 1时，0 k 时，S的最大值为32；S的最大值为27(1 k)(1 k2)． 33

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