相似三角形常见模型(总结)
更新时间:2023-03-29 08:07:01 阅读量: 建筑文档 文档下载
第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识
(一)A字型、反A字型(斜A字型)
B(平行)
B
(不平行)
(二)8字型、反8字型
B
C
B
C
(蝴蝶型)(平行)
(不平行)
(三)母子型
B
(四)一线三等角型:
三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景
(五)一线三直角型:
(六)双垂型:
C D
二、相似三角形判定的变化模型
旋转型:由A 字型旋转得到。
8字型拓展
C B E
D A 共享性G B E
F
一线三等角的变形一线三直角的变形
第二部分 相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E . 求证:OE OA OC ?=2
.
例2:已知:如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠.
求证:(1)DA DE DB ?=2; (2)DAC DCE ∠=∠.
A C D E B
例3:已知:如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于
D ,CG ∥AB ,BG 分别交AD 、AC 于
E 、
F .
求证:EG EF BE ?=2
.
相关练习:
1、如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线.求证:FC FB FD ?=2
.
2、已知:AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ,EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证:(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB
3、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F。
求证:EB·DF=AE·
DB
4.在?ABC中,AB=AC,高AD与BE交于H,EF BC
⊥,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点。
求证:∠=?
GBM90
5.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交
边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.
A
B P
D E
(第25题图)
G
M
F
E
H
D
C
B
A
(1)求证:AE=2PE;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.
双垂型
1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高
2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,
DE=62,求:点B到直线AC的距离。
C
D C
共享型相似三角形
1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=?120,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长.
2、已知:如图,在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠DAE =45°.
求证:(1)△ABE ∽△ACD ; (2)CD BE BC ?=22.
一线三等角型相似三角形
例1:如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF =60°
(1)求证:△BDE ∽△CFD
(2)当BD =1,FC =3时,求BE
C A
D B
E F
例2:(1)在ABC ?中,5==AC AB ,8=BC ,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持ABC APQ ∠=∠.
①若点P 在线段CB 上(如图),且6=BP ,求线段CQ 的长;
②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)正方形ABCD 的边长为5(如下图),点P 、Q 分别在直线..CB 、DC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持?=∠90APQ .当1=CQ 时,求出线段BP 的长.
例3:已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2.
(1)如图8,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A .
①求证;△ABP ∽△DPC
A B C 备用图 A B C D A B C D A
B C P Q
A B C 备用图 A B C
D C
②求AP 的长.
(2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP =x ,CQ =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE =1时,写出AP 的长. C
B A D
C B A D
例4:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,6AB CD BC ===,3AD =.点M 为边BC 的中点,以M 为顶点作EMF B ∠=∠,射线ME 交腰AB 于点E ,射线MF 交腰CD 于点F ,联结EF .
(1)求证:△MEF ∽△BEM ;
(2)若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形,求EF 的长;
(3)若EF CD ⊥,求BE 的长.
相关练习:
1、如图,在△ABC 中,8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠.
(1) 求证:△ABD ∽△DCE ;
(2) 如果x BD =,y AE =,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x
的定义域;
(3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE 是什么三角形,并说明理由.
2、如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,联结DE ,并作DEF B ∠=∠,射线EF 交线段AC 于F .
(1)求证:△DBE ∽△ECF ; (2)当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长;
(3)联结DF ,如果△DEF 与△DBE 相似,求FC 的长.
3、已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且BC =6,AB =DC =4,
点E 是AB 的中点.
(1)如图,P 为BC 上的一点,且BP =2.求证:△BEP ∽△CPD ;
B C A B C
D E
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