固体理论读书笔记

读书笔记

第二章 声子--- ---第七节 极化激元

1、极化激元的定义是什么？

答：当光子的频率ω=kc与横波光学模声子（TO声子）的频率ωT（约1013s-1）相近时，两者的耦合很强，其结果将使光子与TO声子的色散曲线都发生很大的改变，形成光子-横光学模声子的耦合模式，其量子称为极化激元，是离子晶体中的元激发。 2、研究极化激元有什么意义？

答：极化激元对于解释晶体中的光学现象起重要作用。（判据）

3、如何理解：极化激元称为长波长横向光频支振动与电磁场耦合模量子？

答：由于ω=ωT时对应光子波数k=ω/c=ωT/c(约103cm-1)与布里渊区的尺寸（约108 cm-1)相比为小量，属于长波范围，因此激化激元是长波长横向光频支振动与电磁场耦合模量子。

第二章 声子--- ---第八节 态密度

1、 格波模式的态密度：平均每个元胞内的格波模式的态密度g(ω)的定义是什么？ 答：单位频率间隔内的格波模式数被总元胞数N除 2、 求出格波模式的态密度能用来算什么问题？

答：态密度是计算晶格热力学特性的重要物理量（内能U， 热容量Cv和熵S） 3、 格波模式的态密度如何导出？

答：声子系统总振动能量---晶格振动的配分函数---晶格振动的自由能---格波模式的态密度 4、 格波模式的态密度中的奇点出现的原因是什么？ 答：求和化积分

5、 范霍夫奇点的定义式如何引出？

答：将求和化积分和后的态密度公式沿等能面积分得到态密度的另一表达式，式中存在被积发散点，此点称为范霍夫奇点。

第二章 声子--- ---第九节 范霍夫奇点

1、 研究范霍夫奇点的物理意义是什么？

答：如果定出了霍夫奇点的位置，就能作出这些点附近的态密度曲线，因此利用霍夫奇异性可以简化态密度的计算

2、 通过什么来划分范霍夫奇点的种类，范霍夫奇点分为哪几类？ 答：（1）极值点（2）1极小、1极大、2鞍点

3、 如何计算并分析四类范霍夫奇点附近态密度曲线？

答：ω在极值附近展开---标度变换---ω(k)在霍夫奇点附近展开---利用态密度等效表示确定ω(k0)附近g(ω)---分类计算---极值点附近的态密度---作图

第二章 声子--- ---第十节 晶格振动的局域模

1、 局域模出现原因是什么？

答：含有杂质和缺陷的晶体，由于平移对称性被破坏，其声子谱将不同于完整晶格，会产生以杂质或缺陷为中心的局域振动模式。

2、晶体中轻杂质和重杂质局域模的主要结论是什么？

答：“轻杂质”将使简正模频率向上稚移，并在许可带上分裂出一个局域模。增大杂质与基体原子的质量差（ε），局域模与许可频带上边界的距离也就拉开的越开。

“重杂质”的效应是使本征频率向下移动，对于声频支振动许可频带的下界在ω=0处，因此不可能地下界之外分裂出局域模。但是对于光频支振动，其许可频带的下界为非零值，在这种情况下“重杂质”就可以在频带之下产生一个分立的能级---局域模

3、定性作出一维简单晶格轻掺杂和重掺杂的声子色散关系图（略） 4、定性作出二维复式晶格轻掺杂和重掺杂的声子色散关系图（略）

5、含缺陷系统的运动学方程如何导出？

答：含缺陷晶格振动的哈顿量---振动位移的傅里叶变换---哈密顿正则方程---含缺陷系统的运动学方程 6、含缺陷系统的本征频率方程如何导出？

答：含缺陷系统的运动学方程---求含缺陷系统的运动学方程的非零解---含杂质系统的本征频率方程 7、局域模的格波解和局域晶格振动解如何导出？

答：运动方程---试探解（对称解和反对称解）---求出有解的条件---按条件分类---分区间讨论局域模的格波解和局域晶格振动解

第三章 磁振子（自旋波量子）--- ---第一节 自旋波图象

1、自旋晶格系统的基态的定义是什么？

答：磁性离子自旋排列的有序状态称为自旋晶格系统的基态 2、自旋波的定义是什么？

答：由于各格点上进动自旋的方位角不同，磁激发具有类似波动的特性，这个波称为自旋波 3、磁振子的定义是什么？

答：通过交换作用耦合的晶格离子系统的低激发态以自旋波的形式出现，自旋波的量子称为磁振子 4、定性给出自旋波的图象（略）

第三章 磁振子（自旋波量子）--- ---第二节 海森伯模型及其严格推导

1、自旋-自旋相互作用的哈密顿量如何表示？（略） 2、海森伯模型的基本假定有哪些？

答：（1）两个格点离子上各有一自旋未配对的d电子（2）同一格点的离子上的电子间交换作用可以忽略不计（3）两格点间所有电子具有相同的交换积分（4）计入格点间的交换作用推广到整个固体 3、什么叫电子间交换能？

答：两个电子的最低能量状态是分占不同轨道且自旋平行，这种稳定状态是由于产生了交换能。 4、定性推导自旋—自旋相互作用系统的海森伯哈密顿量（模型推导）

答：两个电子间交换能---引入两格点间的组合自旋量子数（自旋等于1/2）---两格点间的交换能的算符表示---化简---推广（自旋大于1/2）---两格点间的交换能算符表示---计入所有格点的交换作用推广到整个固体---海森伯哈密顿量

4、 定量推导自旋—自旋相互作用系统的海森伯哈密顿量（理论推导）

答：模型---二次量子化对库仑势求平均---交换作用哈密顿量---具体写出交换作用哈密顿量的自旋求和形式—泡利化简---自旋相互作用系统的海森伯哈密顿量

第三章 磁振子（自旋波量子）--- ---第三节 铁磁自旋波理论

1、铁磁体的哈密顿量如何表示（用自旋上升和下降算符表示）？（略） 2、铁磁体的基态如何表示？（略）

3、铁磁体哈密顿量的本征方程如何表示？（略） 4、引入霍斯坦因-普里马可夫变换的作用是什么？ 答：推导海森伯哈密顿量的二次量子化形式

5、 如何推倒铁磁体的长波色散关系（低激发态）？

答：铁磁体哈密顿量H---HP变换---低阶近似---傅里叶变换---对角化的哈密顿量H---铁氧体的长波色散关系 6、 自旋波量子与温度的关系式如何表示？（略）

第三章 磁振子（自旋波量子）--- ---第四节 铁磁体的低温磁化强度

1、布洛赫T3/2定律表达式是什么？（略） 2、如何定性理解布洛赫T3/2定律？

答：温度升高，安培电流排列由有序变成无序，磁场减小，磁化强度减小。 3、什么叫平均场理论？

答：把相互作用的自旋系统化为近独立的系统。

4、什么叫自旋间的动力学关联（多体效应）

答：当任一自旋受其它（N-1）个自旋作用而改变取向时，其它自旋的取向也将同时变化，这是海森伯相互作用算符特性表现，称为自旋间的动力学关联 5、磁化强度是如何定义的？ 6、平均场理论失败的原因是什么？

答：平均场理论只考虑了自旋运动的单体效应，它不能反映低温区自旋系统的集体激发特征。忽略了自旋间的动力学关联

7、试导出自旋波的经典图像（略）

答：在准无限小体积V区域内所包含的物质的磁矩m与体积V之比。矢量，符号“M”

第三章 磁振子（自旋波量子）--- ---第五节 反铁磁体自旋波理论

1、简述双子格模型？

答：当海森伯哈密顿量中J<0时，近邻格点上的自旋趋于反平行排列，这时往往可以把晶格分为两个子格，在每个子格中自旋平行排列与铁磁情况一样，但两个子格的自旋取向相反，因此总的自发激化相互抵消，这就是反铁磁体的双子格模型 2、如何求反铁磁体的长波色散关系？

答：反铁磁体哈密顿量H--- HP变换---低温近似---傅里叶变换---玻戈留玻夫正则变换(u-v变换)--- 对角化的哈密顿量H---反铁磁体的长波色散关系 3、什么叫磁场诱生的自旋偏离转变？ 答：反铁磁序转向与Z轴相垂直的方向 4、为什么要引入玻戈留玻夫正则变换？ 答：去掉哈密顿量中的交叉项实现对角化 5、如何理解反铁磁体中磁振子存在零点能？ 答：对比诣振子的零点能理解

第三章 磁振子（自旋波量子）--- ---第六节 铁氧体中的自旋波

1、如何求铁氧体的长波色散关系？

答：铁氧体哈密顿量H---HP变换---傅里叶变换---子格自旋波算符描述的低激发态哈密顿量---玻戈留玻夫正则变换(u-v变换)---对角化的哈密顿量H---铁氧体的长波色散关系 2、如何理解铁氧体色散关系图？ 答：对比一维复式晶格中的声子

2、 铁氧体的低温磁化强度如何表示，铁氧体的低温比热容如何表示？（略）

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第三章 磁振子（自旋波量子）---第七节 一维铁磁链中的孤波

1、包络孤子如何推导？

答：模型（存在外场B）---各向异性一维铁磁链的哈密顿量---霍斯坦因-普里马可夫（变换）---二次量子化的哈密顿量---自旋态产生算符的海森伯运动方程（自旋波模式的运动方程）---利用相干态方法（变换）---自旋运动的概率幅方程---连续模型（连续化手续变换）---非线性自旋运动的概率幅方程---非线性薛定谔方程---标准解---规一化的概率幅---包络孤子 2、什么叫包络孤子？

答：振荡波的包络构成一个稳定的钟型孤波，称为包络孤子 3、为什么一维铁磁链中存在包络孤子解？ 答：是磁振子之间互作用所导致的

第四章 等离激元---第一节 等离激元和准电子

1、什么叫等离激元？

答：系统中电子密度起伏相对于正电背景的振荡量子叫做等离激元（集体激发）

2、什么叫等离子区集体振荡？

答：系统中电子密度起伏相对于正电背景的振荡叫做等离子区集体振荡 3、等离激元的长波频率是如何计算？

答：假设模型---列出电子运动方程（牛顿第二定律）---简谐振动方程---求出频率 4、电子个别激发的色散关系如何计算？

答：电子和空穴对的个别激发能---用波矢划分部分和全部激发---分区间讨论电子个别激发的色散关系 5、什么叫屏蔽效应？

答：屏蔽效应(Screening effect) 由于其他电子对某一电子的排斥作用而抵消了一部分核电荷，从而引起有效核电荷的降低，削弱了核电荷对该电子的吸引，这种作用称为屏蔽作用或屏蔽效应。 6、什么叫准电子？

答：电子+屏蔽电荷的整体叫作准电子

7、库仑作用可分解成几部分，各部分有什么作用？

答：库仑作用=短程部分+长程部分，短程部分（短波部分）代表准电子间的有效互作用，长程部分（长波部分）代表电子系统的集体振荡

第四章 等离激元---第二节 互作用电子系统的哈密顿量

1、什么叫凝胶模型？

答：当讨论金属中电子的元激发特征时，能带效应并不重要，可以把排成晶格的正离子近似当作是均匀抹平了的连续正电荷分布，像凝胶一样，公有化电子则在此正电荷背景上运动，整个系统保持电中性，这种简化的金属模型称为凝胶模型

2、写出电子体系的哈密顿量各项的物理意义？

答：电子体系中各个电子的动能，任意两个电子之间的库仑作用势，正电荷背景的贡献-包括：正电背景自作用能和正电背景与电子的互作用能 3、电子的作用能包括哪两方面？

答：电子的作用能=电子自作用能+互作用能 4、如何推导电子体系哈密顿量的对角形式？

答：电子体系的哈密顿量---库仑作用势的傅里叶展开---电子密度的傅里叶变换---密度起伏表示的电子体系的哈密顿量---简化（消去均匀分布的自作用能和均匀分布正电荷背景）---表象变换（二次量子化表象）---电子体系哈密顿量的对角形式（互作用电子系统的哈密顿量）

第四章 等离激元---第三节 电子集体振荡的经典理论

1、讨论电子集体振荡的经典理论的目的是什么？ 答：是为了介绍求解电子等离子集体振荡和合理近似方法 2、电子密度傅里叶分量的简谐振动方程是如何推导的？

答：电子密度傅里叶分量的表示式---对时间求二次导---经典力学方程中求出加速度（代入二次导结果）---无规相近似---电子密度傅里叶分量的简谐振动方程 3、什么叫无规相近似？

答：相位无规变化的指数项之和，对于平移不变的系统其平均值为零

第四章 等离激元---第四节 量子运动方程的无规相近似

1、如何求电子体系的频率方程？

答：列出电子-空穴对激发的耦合方程：电子-空穴对激发算符的海森伯运动方程和电子-空穴对激发算符的本征方程（对角化条件）---分情况讨论

（1）不存在相互作用时的电子-空穴对激发算符的海森伯运动方程：电子-空穴自由传播

（2）存在互作用时的电子-空穴对激发算符的海森伯运动方程：自由运动+具有相同波矢的所有电子-空穴对间的耦合---线性化（“真空” 态近似）---线性化后的海森伯运动方程---对比电子-空穴对激发算符的本征方程（对角化条件）---线性化的本征方程----频率方程

第四章 等离激元---第五节 线性响应理论

1、响应的概念是什么，研究响应的目的是什么？

答：（1）概念：为了知道给定物理系统的特性，必须以某种方式扰动系统（如加外场或用粒子辐照等方式），然后观察系统的物理量因外加扰动所引起的改变---响应（2）目的：通过扰动与响应的关系可得知系统的元激发信息

2、纯态中系统受扰动时物理量A对外场的响应如何推导？

答：设条件---加外场后系统的薛定谔方程---简化方程---纯态波函数---物理量A在t时刻的量子力学期望值（通过物理量A观察系统对外场的响应）

3、如何推导线性响应理论的基本公式（久保公式）

答：物理量A在t时刻的量子力学期望值---物理量A在t时刻的统计平均值---响应ΔA---假设外场以频率ω振荡---改写后的响应ΔA：性响应理论的基本公式（久保公式） 4、用格林函数表示的改写久保公式的物理意义是什么？

答：可求出一个重要的结论：在线性响应范围内响应与附加的哈密顿量具有相同的时间依赖关系，系统有关物理量将随外扰动以相同频率变化（类比受迫振动）

第四章 等离激元---第六节 介电函数

1、如何推导无规相近似的介电函数（介电函数的林哈德表示式）？

答：作用模型---外场的附加哈密顿量---有外场时电子-空穴对激发算符的海森伯方程---无规相近似---密度起伏算符表示的海森伯方程---引入电子系统中总势能---RPA的响应方程---引出介电函数---无规相近似的介电函数（介电函数的林哈德表示式）---求介电函数的实部和虚部 2、如何推导无规相近似介电函数表示的响应方程？

答：作用模型---外场的附加哈密顿量---有外场时电子-空穴对激发算符的海森伯方程---无规相近似---密度起伏算符表示的海森伯方程---引入电子系统中总势能---RPA的响应方程---引出介电函数（替换）---无规相近似介电函数表示的响应方程

3、无规相近似介电函数表示的响应方程的作用是什么？ 答：可决定互作用电子系统的个别激发与集体激发特征 4、如何推导新作用下无规相近似下介电函数表示的响应方程？

答：新作用模型“电子作为试探电荷”---新作用下无规相近似下介电函数表示的响应方程

第四章 等离激元---第七节 电子系统的元激发谱

1、如何区分无阻尼振荡（本征振荡）和阻尼振荡？

答：ε(q, ω)V(q, t)趋于0 --- 非零的V(q, t)解对应于系统的无激发 ---ε(q, ω)=0, ε=ε1+iε---Reε=0 --- 正实的ω将求出q为实量 --- 本征振荡②ε为复量---阻尼振荡

2、如何通过复介函数系统确定元激发的类别？

答：Reε=0确定元激发的色散曲线 --- 考查Imε是否等于零 --- 确定元激发是否属于有阻尼的一类 3、如何看图分析个别激发区和等离激元？

答：(4.7.1,4.7.2)--- 模型q＜2kF ---个别激发的频率满足:ωkq最小值=0,ωkq最大值=1/2m(q2+2kF q) --- 作图: (1)在ω

kq最小值＜ω

2不等于

2 ---

①ε2=0

0，ε=ε1+iε2=0 --- 正实的ω将求出q

＜ωkq最大值内---ω近似等于ωkq --- 代表电子系统的个别激发 --- Imε(q, ω)不等于零 --- 有阻尼

(受迫振荡,非自发振荡) (2)在ω＞ωkq最大值的频率区域 --- 存在另一支解 --- Imε(q, ω)=0 ---无阻尼 --- 电子气体的集体振荡

4、如何证明在ω＞ωkq最大值的频率区域的另一支解表示电子气体的集体振荡（等离子振荡）？ 答：（4.7.2) --- 展开 --- 取第一项 --- 令q趋于零 --- 解正好是等离子振荡 5、如何推导等离激元的长波色散关系？

答：（4.7.2) --- 展开 --- 取前两项 --- 化简 --- 等离激元的长波色散关系 6、个别激发和等离激元的色散关系图象如何分析？（略）

（4）瓦尼尔函数方程

1、解释瓦尼尔函数为什么不是H的本征函数？

答：瓦尼尔表象中，利用瓦尼尔函数对H求平均值时存在非零对角矩阵元（证明过程略） 2、如何推导瓦尼尔函数方程？ 答：（略，很简单）

3、从瓦尼尔函数方程中得到哪些启示？

答：<1>用瓦尼尔函数计算完整晶体的能带是不方便的 <2>用瓦尼尔表象讨论局域杂质的电子能谱是十分有效的

第八章 能带论 ---第九节 有效哈密顿量

1、如何推导瓦尼尔表象中的薛定谔方程？

答：单电子系的统的薛定谔方程（8.9.1）---本征波函数按瓦尼尔函数展开（8.9.2）---（8.9.2）代入（8.9.1）再乘上瓦尼尔函数的共轭并对坐标积分---利用瓦尼尔函数的正交归一性和瓦尼尔函数的H矩阵元（8.8.27） ---（8.9.3）瓦尼尔表象中的薛定谔方程（一般求解很复杂，涉及大量的原子集团计算） 2、如何推导瓦尼尔关系式？

答：假设已知完整晶体的能带结构函数

En(k)---将En(k)的宗量k用

?i?代替构造一个算子

En(?i?)---将其作用于连续性函数Fn(r)---得到（8.9.5）瓦尼尔关系

3、如何简化瓦尼尔表象薛定谔方程？

答：变换瓦尼尔表象中的薛定谔方程：利用瓦尼尔关系将瓦尼尔表象中的薛定谔方程（8.9.3）变换为（8.9.7）=（8.9.8）（称为：变换后的瓦尼尔表象薛定谔方程）---假定（1）讨论非简并能带情况（略去带间跃迁）---令（8.9.7）式中势场的非对称矩阵元为零（简化为单带问题）---假定（2）势场在晶格距离上缓慢变化---势场的矩阵元（8.9.4）利用瓦尼尔函数的正交归一性得到势场矩阵元的简化形式（8.9.9）---替换，变换后的瓦尼尔表象薛定谔方程（8.9.8）中的势场矩阵元---得到（8.9.10）简化后的瓦尼尔表象薛定谔方程---含时的简化后的瓦尼尔表象薛定谔方程（8.9.11） 4、如何推导有效质量方程？

答：用能带论解出完整晶体的能带结构函数En(k)---Ge,Si为例：等能面为旋转椭球，能带结构函数形式为（8.9.12）（引入有效质量）---换能量零点，选转轴---得到简单的有效哈密顿量---代入简化后的瓦尼尔表象薛定谔方程（8.9.10）变为（8.9.13）有效质量方程

5、Ge,Si为例：如何将求解有效质量方程看成是求解氢原子问题？

答：当半导体中杂质含量很少时，势场可以取单杂质势---代入有效质量方程（8.9.13）---简化后的有效质量方程（F方程）与氢原子问题中的薛定谔方程相似（差别仅在于F方程中用了介电常数和各向异性的有效质量）

6、如何求解：各向同性有效质量，球形等能面系统的有效质量方程？

答：各向同性有效质量（8.9.15）---代入有效质量方程（8.9.13）---简化为类氢原子问题---可以直接搬用氢原子的结构求得基态能量和波函数（8.9.17） 7、浅杂质能级和深杂质能级的概念？ 答：（略）

8、如何求浅杂质能级和深杂质能级？

答：（1）浅杂质能级（有效质量方法适用于浅能级问题）：[1]各向同性：求解有效质量方程（8.9.16）[2]各向异性：求解各异性有效质量方程（8.9.18）（2）深杂质能级（电子受到强束缚，其空间尺度很小，在效哈密顿量方法不能成立）：对于深能级问题，目前尚无简便有效的理论方法 9、如何用有效哈密顿方法推导玻耳兹曼方程？

答：（刘维定理，略）

第八章 能带论 ---第十节 紧束缚近似法及二次量子化表示

1、紧束缚能带波函数是如何建立起来的？

答：布洛赫函数（能带电子波函数）是倒点阵的周期性函数---可按正格矢展开为傅里叶级数（即用瓦尼耳函数表示布洛赫函数）---因为瓦尼尔函数具有定域特性，当晶体中的原子间距较大时，近似（紧束缚近似）用格点上的原子轨道波函数代替瓦尼尔函数---得到紧束缚近似的布洛赫函数（能带电子波函数）（8.10.1） 2、如何利用紧束缚能带波函数求紧束缚近似能带？

答：引入正交关系（不同格点的原子轨道函数近似正交）（8.10.2）---把瓦尼尔函数的H矩阵元（8.8.27）近似用原子轨道波函数的H矩阵元表示为（8.10.3）---代入到按正格矢展开的能带函数（8.8.25）---新的按正格矢展开的能带函数（8.10.4）---分别求解出矩阵元（8.10.6），（8.10.8）---得到紧束缚近似能带 3、如何推导紧束缚近似哈密顿量的二次量子化表示？

答：给出瓦尼尔表象下，刚性晶格中无相互作用系统的任意波函数---略去带指标和自旋指标（限于讨论能谱与自旋取向无关的单带问题）---给出系统中单电子的哈密顿量---按标准量子化方法，将系统的哈密顿量写为（8.10.18）---根据紧束缚近似，用原子轨道函数代替瓦尼尔函数---求得H的紧束缚近似表示（8.10.19） ---采用两种等效方法对紧束缚近似的H进行对角化：（1）利用两表象算符变换公式和平移群不可约表示的正交关系式---得到关系式（8.10.22）代入紧束缚近似的H（8.10.19）---得到紧束缚近似能带曲线（2）利用布洛赫态和瓦尼尔态的间的变换关系（8.10.24）---直接对H求平均得到紧束缚近似能带曲线（8.10.25）

第八章 能带论 ---第十一节 单电子近似的理论基础---密度泛函理论

1、如何推导哈特利-福克方程方程？

答：模型（含有N个电子的多体系统）---系统中任意电子需要计入N-1个电子的关联性---H可写成（8.11.3） ---选取的波函数满足斯莱特行列式---简化模型（离子实的正电荷数Z=1）---对H求平均---整理后能量E的表示式（8.11.7）---利用能带波函数的正交关系（8.11.5）作为约束条件对能量E（8.11.7）进行变分---得（8.11.8a）能带波函数满足此单电子方程（哈特利—福克方程）

2、如何将多电子系统的哈特利—福克方程简化为单电子有效势方程？

答：哈特利-福克方程方程（8.11.8a）---定义两个密度函数：（1）r点电子数密度（由所有已占据单电子波函数表示）（8.11.9 a）（2）非定域交换密度分布（仍然与所考虑的电子状态有关）（8.11.9 b）---哈特利-福克方程方程改写成为（8.11.8b）（求解困难）---斯莱特：采用对非定域交换密度分布取平均（8.11.10）---代入非定域交换密度分布（8.11.9 b）---再代入改写后的哈特利-福克方程方程（8.11.8b）---定义两个势函数（8.11.11 b），（8.11.11c）---哈特利—福克方程近似写为（8.11.11 a）---变换成（8.11.12）单电子有效势方程 （说明：单电子有效势方程是传统物理学中单电子近似的来源，它是建立在哈特利—福克方程基础上的一种近似）

3、库普曼斯定理内容是什么，如何证明库普曼斯定理，库普曼斯定理的一个推论的内容是什么？ 答：（1）库普曼斯定理内容：单电子有效势方程（8.11.12）中的?i代表在多电子系统中移走一个i电子而

同时保持所有其它电子的状态不变时，系统的能量改变（拉氏乘子?i代表在能带波函数状态上的“单电子能量”）

（2）证明库普曼斯定理：（略，?E??i）

j态所需能量为(?j??i)，固体中能带原则上可由哈

（3）库普曼斯定理推论：将一个电子从i态移至

特利—福克方程确定并通过库普曼斯定理作出能带的物理解释

4、哈特利—福克方程的缺点，哈特利—福克方程作为推导单电子近似（即能带论）的理论的缺点是什么？ 答：（1）哈特利—福克方程的缺点：哈特利—福克方程只计及了电子的交换作用，完全忽略了自旋反平行

电子之间的相关能，这是哈特利—福克方程作为单电子近似（即能带论）的理论基础的本质欠缺

（2）哈特利—福克方程作为推导单电子近似（即能带论）的理论的缺点：当一个电子状态发生改变时，

很难说总是能够保持其它（N-1）个电子状态不变

5、如何计算自由电子气情形的定域交换势Vex？

答：给出自由电子波函数---写出非定域交换密度（非定域）---计算平均的交换密度（定域）---写出交换势

（定域）---两种情况：均匀电子气体的交换势，非均匀系的交换势

6、霍亨伯格—孔恩定理引入的意义是什么，主要内容是什么，如何证明？

答：（1）意义：霍亨伯格—孔恩定理（HK定理）的核心是认为，相互作用多体系统的粒子数密度是决定

该系统基态物理性能的基本变量

（2）内容：作用在多体系统中每个电子上的定域外势与系统的基态电子数密度之间存在着一一对应关

系，即一个外势仅仅对应于一个基态密度

（3）证明：（略）问题---条件---方法---证明

7、HK能量泛函的表示形式和HK定理告知的一些重要信息是什么？ 答：（略）

8、孔恩-沈吕九方程求解的基本思想是什么，孔恩-沈吕九方程用能用来干什么？

答：（1）求解的基本思想：孔恩-沈吕九方程原则上由HK能量泛函对多体系统的粒子数密度求变分 （2）方程的用途：多体问题转化为单电子问题

9、如何推导无相互作用和有相互作用电子系统的等效单电子方程？

答：无相互作用等效单电子方程：库普曼斯定理在独立电子系统中严格成立（略）

有相互作用电子系统的等效单电子方程：库普曼斯定理在有相互作用电子系统中不成立（略） 10、局域密度近似方法？答：（略）

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第十章 激子理论---第二节 瓦尼尔-莫特激子

1、瓦尼尔-莫特激子研究的激子的模型是什么？ 答：研究大半径的激子

2、瓦尼尔-莫特激子的形成条件是什么？ 答：（1）形成条件：晶体的介电常数???1且折合质量M?me，可形成瓦尼尔-莫特激子

（2）不能形成的条件：晶格常数较大且介电常数较小，其激子半径可能比晶格常数小不能形成瓦尼尔-

莫特激子

3、瓦尼尔-莫特激子的H求解？

答：假定电子与空穴的静电库仑势形式（10.2.1）---写出电子与空穴系统的二体运动方程（薛定谔H方程，10.2.2）---公式变换（利用质心坐标和相对坐标代替电子和空穴的坐标）---引入折合质量---有效质量方程化为（10.2.4和10.2.5）---（10.2.4，质心运动方程）：激子（质心）有平面波解，（10.2.5，相对坐标运动方程）：能解出激子能级

4、瓦尼尔-莫特激子H各项的物理意义，激子能级各项的物理意义？

答：（1）H=电子的有效动能+空穴的有效动能+电子与空穴的相互作用能（静电库仑势） （2）E=能带宽度+激子的平移动能+形成电子—空穴束缚对时所降低的能量 5、瓦尼尔-莫特激子半径如何计算？

答：形成电子—空穴束缚对时所降低的能量（10.2.10）---定义激子半径---根据氢原子玻尔半径---得到激子半径

第十章 激子理论---第三节 夫伦克耳激子

1、夫伦克耳激子模型是什么，如何理解夫伦克耳激子的运动问题

答：（1）研究小半径激子（原子模型）（2）同一原子内电子的激发态从一个原子向另一个原子的转移问题 3、 N个电子系统中某个原子的激发能如何表示，N个电子系统的基态，激发态如何表示？ 答：（1）某个原子的激发能（S态—P态）=原子内电子P态的能量-S态的能量

（2）N个电子系统的基态（略去电子的自旋和不同格点间原子波函数的重叠）=各个原子轨道波函数（S

态）的乘积

（3）N个电子系统的基发态=某个被激发的原子轨道波函数（P态）乘上其它N-1个电子的波函数（S

态）

4、N个电子系统的总哈密顿量H如何表示？

答：电子系统的总哈密顿量H=N个原子的哈密顿量+N个原子之间的相互作用 5、N个电子系统的局域激发能量如何表示？

答：局域激发能量=系统的激发态对H的平均（对角矩阵元）-系统的基态对H的平均（对角矩阵元） （注意：在平移对称系统中，系统的激发能近似等于原子中电子的激发能，局域激发可在任何格点产生，系统的激发能，不能与某一确定的原子中电子的激发能对应） 6、N个电子系统的激发转移互作用如何表示？

答：激发转移互作用=系统状态对H的平均（非对角矩阵元）

7、哈密顿量H的单电子激发本征函数（夫伦克尔激子的波函数）如何表示，激发能如何表示？ 答：（1）系统的单电子激发本征函数=各格点上产生局域激发波函数的线性组合（10.3.6）

（注意：与紧束缚近似的能带波函数相似）

（2）夫伦克尔激子的激发能=H对夫伦克尔激子波函数的平均-H对系统基态的平均（10.3.7）---简化---（10.3.8）夫伦克尔激子的能带公式

8、激发转移互作用Hnm的贡献是什么？

答：激发转移互作用Hnm=D（ Rnm）（10.3.5）---变数变换---（10.3.9）---小量展开--- 简化后的Hnm=D（ Rnm）（10.3.11）--- D（ Rnm）的傅里叶变换（10.3.13）---球体简化---最后的D（ Rnm）的傅里叶变换结果（10.3.17） ---结论：当倒格矢K趋于0时，纵向和横向激子状态存在能级差，说明：纵向和横向激子态间的能级分裂是激子问题中的普遍现象，并非夫伦克尔激子的独特性质

第十章 激子理论---第四节 电子—空穴互作用的多体理论

1、多电子系统在二次量子化表象中哈密顿量的表示，单电子近似范围内系统的基态和激发态表示及物理意义是什么？（标准二次量子化过程）

答：（1）多电子系统在二次量子化表象中哈密顿量的表示（10.4.2）：第一项，总的单电子的哈密顿量，第二项，总的电子间的相互作用势能（2）单电子近似范围内系统的基态（10.4.9）（3）单电子近似范围内系统的激发态---布洛赫表象形式---展开系数f(k)（10.4.10）和瓦尼尔表象形式---展开系数F(Rl)（10.4.11） 2、求二体运动的概率振幅（f(k)，F(Rl)）的运动方程有什么意义，如何导出？ 答：（1）如果能求得F(Rl)或f(k)所满足的运动方程，那么N粒子问题就简化为二体问题

（2）单电子近似范围内系统的激发态的本征方程（10.4.10）--- f(k) 的运动方程（10.4.19）---R表象F(R)

的运动方程（10.4.24）---整理电子空穴对的有效哈密顿量（10.4.37）---代入（10.4.24）---最终的F的运动方程

3、如何推导瓦尼尔-莫特激子的相对运动方程？

答：电子空穴对的有效哈密顿量（10.4.37）中的库仑项写为近似形式（10.4.38）--代入R表象F(R) 的运动 方程（10.4.24）---激子运动方程（10.4.39）---变换（10.4.41）---利用有效质量近似（10.4.40）---再变换（10.4.44） ---瓦尼尔—莫特激子的相对运动方程（10.4.45）

4、如何推导夫伦克尔激子的能带公式？（包括夫伦克尔激子的运动方程）

答：直接给出夫伦克尔激子运动方程（10.4.46）---技巧变换并利用归一化条件---激发能公式（10.4.47）--- 小半径近似（10.4.48）---小半径激子的激发能（10.4.49）---技巧变换---夫伦克尔激子的能带公式（10.4.50） 5、如果能求得F(Rl)或f(k)所满足的运动方程，N粒子问题就简化为二体问题，体现在哪？

答：电子与空穴之间的库仑作用为二体形式

第十一章 强关联电子体系 第一节 赫伯德模型

1、赫伯德模型是用来干什么的？

答：考虑晶格系统中电子的强关联效应，计算紧束缚近似的电子的能带 2、什么叫赫伯德模型？

答：略去互作用项中所有的多中心积分，只取单中心积分项 3、如何得到赫伯德哈密顿量并计论各项的物理意义？

答：（1）模型N个电子组成的简单体系---多体系统的总哈密顿量（11.1.1）=各个单电子在周期场中的哈密顿量之和+各个电子之间的相互作用能---只考虑单个未填满的能带---布洛赫表象中互作用哈密顿量的二次量子化表示式（11.1.2）=能带电子能量+相互作用能---变换到瓦尼表象（讨论窄带中关联问题）---瓦尼表象互作用哈密顿量的二次量子化表示式（11.1.6）=单粒子项（11.1.7）+互作用项（11.1.8）---其中互作用项一般为多中心积分---赫伯德模型---互作用项近似用单中心积分表示（11.1.10）---代入（11.1.6）---赫伯德哈密顿量（11.1.13）

4、如何得到紧束缚近似的能带电子的能量？

答：瓦尼表象互作用哈密顿量的二次量子化表示式=单粒子项+互作用项中的单粒子项（11.1.7）---单粒子项的紧束缚近似哈密顿量（11.1.15）=能带电子的平均动能+---布洛赫表象单粒子哈密顿量（11.1.16）---紧束缚近似的能带电子的能量

5、如何利用双时格林函数求解赫伯德哈密顿量的能级和态密度？

答：定义推迟格林函数的定义式（11.1.18）---推迟格林函数的傅里叶变换（11.1.20）---巨正则系综的力学量平均（11.1.19）---平均量与格林函数采用巨正则系综时的关系（11.1.21）（谱定理）---只要求出格林函数---利用谱定理可以确定力学量的平均值（包括粒子数算符）---利用海森伯运动方程---格林函数的运动方程可写为（11.1.23）---傅里叶变换（11.1.24）---求解格林函数转向求解格林函数的海森伯运动方程傅里叶变换式（11.1.24）中的格林函数---进而求求解赫伯德哈密顿量的能级和态密度 6、如何求解在零能带宽度时赫伯德模型的态密度和电子的平均数？

答：定义单粒子的格林函数（11.1.27）---其格林函数的海森伯运动方程的傅里叶变换式为（11.1.28）---能带宽度为零时，建立用高阶格林函数表示的运动方程---求出高阶格林函数---求得单粒子格林函数（11.1.37）---利用谱定理---求得电子的平均数（费密分布函数*局域态密度积分）---讨论（略） 7、如何求解在非零能带宽度时赫伯德模型的态密度？

答：格林函数运动方程---非零能带宽度时，建立用高阶格林函数表示的运动方程—切断近似----给出近似封闭的格林函数组---求出高阶格林函数---求得单粒子格林函数方程（11.1.45）---解出单粒子格林函数（11.1.50）---给出局域态密度的格林函数表示（一般表示U不确定）（11.1.57）---分情况讨论（1）不计电子间的关联作用---单粒子格林函数---态密度（11.1.59）（2）窄带中强关联情况---单粒子格林函数（11.1.63）---态密度（11.1.64）---图象分析（略）

8、讨论半满带中的金属—绝缘体转变？ 答：（略）

第十一章 强关联电子体系 第二节 局域磁矩理论

1、局域磁矩（杂质局域）讨论的问题是什么？

答：（过渡族磁性原子）磁性原子溶入非磁性金属基体后，讨论是否还保持原子的固有磁矩，用理论解释什么条件下金属中可形成局域磁矩

2、满足什么条件的过渡族原子具有磁性，形成磁性的原因是什么？

答：（1）具有磁性：具有未填满d壳层的过渡元素（2）形成磁性的原因：由于电子间的库仑排斥作用，d电子自旋磁矩按照洪德定则排列，从而形成自由原子的固有磁矩

3、安德逊S-d混合模型是如何形成的，s—d混合模型的系统的哈密顿量满足形式？

答：（1）在讨论非磁性的金属中讨论过渡族杂质原子形成局域磁矩必须同时考虑两方面因素：<1>和自由原

子形成固有磁矩相似，杂质原子中d壳层电子的库仑作用对晶体形成局域磁矩有重要的影响<2>晶体中的杂质的自由原子d轨道状态不是严格的本征态，金属晶体中存在着电子退局域化为布洛赫轨道态的倾向，两态之间存在电子的相互转移，称为s—d混合作用

（2）S-d混合模型的系统总的哈密顿量=金属中能带电子的哈密顿量+杂质原子的未微扰d态哈密顿量+关联作用项+s—d混合项---计入外加均匀磁场后得到总的哈密顿量表示（11.2.5）此式为轨道非简并的安德逊S-d混合模型

4、如何在安德逊s—d混合模型下用双时格林函数法求电子的格林函数解？

答：建立单粒子（能带电子和杂质原子d态原子）的格林函数的运动方程（11.2.12），（11.2.13）中高阶格林函数作切断近似（11.2.16）（哈特利-福克近似）---（11.2.17）---建立混合格林函数的运动方程（11.2.14）（11.2.15）---方程（11.2.12）（11.2.14）（11.2.15）（11.2.17）构成近似封闭的格林函数方程组（哈特利-福克近似）---d电子的格林函数的哈特利福克近似解（11.2.23）（11.2.24）---求出布洛赫电子格林函数近似解 5、如何求安德逊S-d混合模型下系统的静态磁化率？

答：系统的静态磁化率=布洛赫能带态电子的磁化率+局域态d电子的磁化率（11.2.25）---谱定理简化---（11.2.27）=自由电子的泡利磁化率+d电子的对磁化率的贡献---求d电子的平均占据数（11.2.33）---当自旋向上的d电子不等于自旋向下的d电子时说明有局域磁矩，反之无局域磁矩---在外场等于0时，自旋向上的d电子平均占据数等于自旋向下的d电子平均占据数，有非磁解---在存在弱磁场时，系统的顺磁化率=自由电子的泡利磁化率+杂质上d电子磁化率---杂质上d电子磁化率表示为（11.2.41）---讨论：<1>d电子关联能小于1时上式成立，这时d电子磁化率大于1，自由能极小，有稳定的非磁解<2>反之d电子关联能大于1时，有磁性解---d电子磁化率的发散点出现在（11.2.42） 6、如何证明局域磁矩的存在？

答：外场为零时---改写d电子的平均占据数方程（两个方程，自洽方程）---求解自洽方程---当满足条件：费密能级与d态单占据能量之间的关系（11.2.45）---条件（1）：解自旋向上的d电子平均占据数等于自旋向下的d电子平均占据数，非磁解稳定---导出d电子关联能小于1---条件（2）：非磁解不稳定，d电子关联能大于1

7、如何理解局域磁矩？ 答：d态电子的净磁矩

第十一章 强关联电子体系 第三节 s—d交换模型

1、给出局域磁矩与传导电子相互作用哈密顿量的物理意义？ 答：（略）

2、糟谷如何证明局域磁矩与传导电子相互作用哈密顿量形式？ 答：（略）

3、如何推导s—d模型下域磁矩与传导电子相互作用哈密顿量的泡利形式，并说明其物理意义？ 答：（1）：略（2）：s—d互作用是局域自旋算符与传导电子泡自旋算符之间的短程交换作用

第十一章 强关联电子体系 第四节 RKKY互作用

1、推导RKKY互作用（局域磁矩之间的互作用）的主要步骤？

答：给出局域磁矩通过传导电子产生的间接交换作用和哈密顿量（11. 4. 1）---将s—d互作用当成2阶微扰处理---微扰哈密顿量为（11. 4. 3）---化简计算--- RKKY互作用哈密顿量（11. 4. 10）

第十一章 强关联电子体系 第五节 近藤效应

1、什么叫近藤效应？

答：近藤的工作促进了实验工作者对稀磁合金低温特性的进一步研究，发现除电阻极小现象（又称反常现象）外，还有磁化率、比热容等一系列低温反常现象，通称为近藤效应，近藤效应的本质是金属中单个杂质从磁性状态向非磁性状态的一种连续过渡

2、近藤的工作研究的是什么，用到的模型假设是什么并分析其合理性？ 答：（1）研究：解释稀磁合金低温电阻极小现象，并讨论产生极小现象的条件

（2）假设：实验发现稀磁合金低温存在电阻极小现象，1964年近藤指出必须用s—d交换模型处理问题，当电子被磁杂质散射时，不仅电子的自旋状态发生变化，同时杂质本身的自旋状态也要发生相应的变化，这是一种多粒子计算

（3）合理性：电阻极小现象可以在杂质浓度非常低的情况下被观察到，因此电阻极小现象不是磁杂质之间的相互作用造成的

3、理论证明稀磁合金低温特性（电阻极小现象）的过程？

答：<1>近藤用多体理论对电子—磁杂质散射问题作微扰计算，很自然地求得了杂质电阻随温度降低的对数式增长规律从而解释了稀磁合金低温存在电阻极小现象

<2>证明：模型，近藤采用单个磁性杂质与传导电子之间的s—d交换模型稀磁合金问题（假定磁性杂位于原点，具有确定的自旋）---系统的总哈密顿量可以写为（11. 5. 2）（近藤哈密顿量）--其中包括s—d交换作用哈密顿量=非自旋倒逆互作用+自旋倒逆互作用（涉及自旋上升或下降与杂质下降或上升同时发生的散射过程---散射概率---跃迁矩阵元---一级近似---用跃迁矩阵元的平方求出玻恩近似散射概率正比于（11. 5. 7）---剩余电阻（与温度无关）（11. 5. 8）---与声子电阻组合不能说明电阻极小---二级近似---散射要通过中间态进行---二级散射振幅（与温度有关）（11. 5. 11）=电子中间态过程的二级散射振幅（11. 5. 9）+空穴中间态过程的二级散射振幅（11. 5.10）---总的杂质电阻正比于费米面上电子被杂质散射振幅的模方---正比于（11. 5.15）---近藤算得的磁性杂质电阻为（11. 5.16）---讨论：电阻极小现象根交换积分的正负有关，多数稀磁合金属于交换积分小于0情况，普遍能观察到电阻极小 4、近藤效应：磁化率反常和比热容反常 答：（1）磁化率反常

定义：磁化率反常是指磁化率在温度降低时与居里定律有偏离，形式上与居里定律相同，磁矩换为有效磁矩是温度的函数

特征：实际上是杂质有效磁矩随温度降低逐渐减小最后消失的过程，宏观测量表现为：杂质从高温有确定的磁矩到向零温度时无磁矩状态的连续变化

T=0K时：杂质具有非磁特性，传导电子对杂质磁矩起屏蔽作用（反铁磁性s—d耦合效应） （2）比热容反常

T=0K时：总自旋的单重态S=0（杂质T=0K熵为0，比热） 近藤单态：单个磁杂质与传导电子互作用系统的基态 5、芳田奎的近藤单态的研究过程和结论是什么？ 答（1）（略）

（2）系统的基态是近藤单态（粗糙的结果）

读书笔记

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