导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题

含参数导数问题的分类讨论问题

1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数f(x)?x3?(a?2)x2?2ax（a>0）,求函数的单调区间

f?(x)?x?(a?2)x?2a?(x?a)(x?2) ★★例1 已知函数f(x)?x?2a?(a?2)lnx（a>0）求函数的单调区间 x1312x2?(a?2)x?2a(x?2)(x?a)? f?(x)? 2xx22ax?a2?1★★★例3已知函数f?x???x?R?，其中a?R。 2x?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f?x?在点2,f?2?处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f?x?的单调区间与极值。

??解：（Ⅰ）当a?1时，曲线y?f?x?在点2,f?2?处的切线方程为6x?25y?32?0。

2a(x2?1)?2（Ⅱ）由于a?0，所以f??x?? ,由

x2?1????1f'?x??0，得x1??,x2?a。这两个实根都在定

a1???2ax?ax?????2a?x?1??2x?2ax?a?1?a??'f?x???义域R内，但不知它们之间 2222?x?1??x?1?22 的大小。因此，需对参数a的取值分a?0和a?0两种情况进行讨论。 (1)当a?0时，则x1?x2。易得f?x?在区间???,???1??，?a,???内为减函数， a??1?f?????a2； ?a?在区间??1?1?,a?为增函数。故函数f?x?在x1??处取得极小值

a?a? 函数f?x?在x2?a处取得极大值f?a??1。

（1） 当a?0时，则x1?x2。易得f?x?在区间(??,a)，(?

1,??)内为增函数，在区间 a

11(a,?)为减函数。故函数f?x?在x1??处取得极小值

aa?1?f?????a2；函数 ?a?f?x?在

x2?a处取得极大值f?a??1。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点

1

的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

★★★(区间确定零点不确定的典例)

例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）

2

的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）万件. （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.

2

解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x),x∈［9,11］.

2

(2)L′(x)=(12-x)-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).

L(x) 218?2a 令L′=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）. x?3X=12 3 ∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤

232328. 3y L?(x) 在x=6+a两侧L′的值由正变负.

9 0 12 29 所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，

32x Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)=9(6-a). ②当9≤6+a≤

23289即≤a≤5时， 323?a?9,2

2

?9(6?a),?222213?Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］=4(3-a).所以Q(a)=?3333?4(3?1a)3,?3?9?a?5.2答 若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）(万元).

9223133

92★★★★（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）

例2、已知f?x??xlnx,g?x??x?ax?x?2

32 (Ⅰ).求函数f?x?的单调区间;

(Ⅱ).求函数f?x?在?t,t?2??t?0?上的最小值;

(Ⅲ)对一切的x??0,???,2f?x??g'?x??2恒成立,求实数a的取值范围. 解：(Ⅰ)f(x)?lnx?1,令f''1??x??0,解得0?x?1, ?f?x?的单调递减区间是??0,?;

e?e?1??），令f'?x??0,解得x?,f(x)的单调递增是（e，e

(Ⅱ)(ⅰ)0

11111，t无解； (ⅱ)0

eeeee

2

(ⅲ)

11?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]单调递增，f(x)min?f(t)?tlnt……9分 ee1?10?t??-e ?f(x)min?e，1?t?tlnt?e22 (Ⅲ)由题意:2xlnx?3x?2ax?1?2在x??0,???上恒成立,即2xlnx?3x?2ax?1

313x1, x?（分离参数）,设h?x??lnx??22x22x?x?1??3x?1?……12分 131' 则h?x??????x22x22x21 令h'?x??0,得x?1,x??(舍)

3 可得a?lnx? 当0?x?1时,h'?x??0;当x?1时, h'?x??0

?当x?1时,h?x?取得最大值, h?x?max=-2……13分.?a??2.

二．求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能

转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。) ★1 已知函数 f(x)?x3?x2?(1?a)x，求函数的单调区间 f?(x)?ax2?x?(1?a)?(1?x)(ax?1?a) ★★例2 已知函数f(x)?(1?a)lnx? f?(x)?a2x（a>0）,求函数的单调区间 2a312ax2?x?(1?a)(x?1)(ax?1?a) ?xx★★★例3 已知a是实数，函数f?x??（Ⅰ）求函数f?x?的单调区间；

x?x?a?

（Ⅱ）设g?a?为f?x?在区间?0,2?上的最小值。 （i）写出g?a?的表达式；

（ii）求a的取值范围，使得?6?g?a???2。

a??3?x??x?a3x?a3?'???解：（Ⅰ）函数的定义域为?0,???，f?x??x??x?0?，由f'(x)?02x2x2x

3

得x?aa。考虑是否落在导函数f'(x)的定义域?0,???内，需对参数a的取值分a?0及a?0两33种情况进行讨论。

'（1） 当a?0时，则f(x)?0在?0,???上恒成立，所以f?x?的单调递增区间为?0,???。 '（2） 当a?0时，由f(x)?0，得x?aa'；由f(x)?0，得0?x?。 33因此，当a?0时，f?x?的单调递减区间为?0,?，f?x?的单调递增区间为?,???。

33（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：

（1） 当a?0时，f?x?在?0,???上单调递增，从而f?x?在?0,2?上单调递增，所以

?a????a???g?a??f?0??0。

（2） 当a?0时，f?x?在?0,?上单调递减，在?,???上单调递增，所以：

33② 当

?a????a???a?a??a?

??0,2?，即0?a?6时，f?x?在?0,?上单调递减，在?,2?上单调递增， 3?3??3?

所以g?a??f?③ 当

2a3a2aa?a?。 ?????339?3?a??2,???，即a?6时，f?x?在?0,2?上单调递减，所以g?a??f?2??2?2?a?。 3?0,a?0??2aag?a????,0?a?6综上所述， 33??2?2?a?,a?~6?（ii）令?6?g?a???2。 ①若a?0，无解； ②若0?a?6，由?6??2aa??2解得3?a?6； 33④ 若a?6，由?6?2?2?a???2解得6?a?2?32。 综上所述，a的取值范围为3?a?2?32。

三.求导后，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。

4

★例1已知函数f(x)?ax2?x 求函数的单调区间 f?(x)?ax?1

12★★例2已知函数f(x)?lnx?ax求函数的单调区间 f?(x)?1?ax?1?a f?(x)? xx?1,x?1? ★★★例3 设k?R，函数f(x)??1?x,F(x)?f(x)?kx,x?R，

??x?1,x?1?试讨论函数F(x)的单调性。

?1,x?1?解：∵f(x)??1?x,F(x)?f(x)?kx,x?R

??x?1,x?1??1?k?1?x?2,x?1??12?kx,x?1,???1?x?,F'(x)?? F(x)?f(x)?kx??1?x。 ??x?1?kx,x?1?1?2kx?1?,x?1??2x?1?考虑导函数F'(x)?0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。

（一）若x?1，则F'(x)?1?k?1?x?2?1?x?2F'(x)?0无实根，F'(x)?0。由于当k?0时，而当k?0时，

有实根，

因此，对参数k分k?0和k?0两种情况讨论。

（1） 当k?0时，F'(x)?0在(??,1)上恒成立，所以函数F(x)在(??,1)上为增函数；

（2） 当k?0时，F'(x)?1?k?1?x?2?1?x???1k2??1????1???k?x??1?x?1???????kk?????????。 2?1?x?由F'(x)?0，得x1??1?1???,x?1??2??，因为k?0，所以x1?1?x2。

k???由F'(x)?0，得1?11?x?1；由F'(x)?0，得x?1?。 kk11)上为减函数，在(1?,1)上为增函数。 kk因此，当k?0时，函数F(x)在(??,1?（二）若x?1，则F'(x)??1?2kx?1。由于当k?0时，F'(x)?0无实根，而当k?0时，

2x?1

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