离散型随机变量的均值与方差、正态分布

2012届安吉高级中学高三数学（理）计数原理与概率统计复习导学案（主备人：鲍利人 ）

10．8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

班级 姓名

一、学习目标：

1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、学习建议：

1．把握基本题型； 2．强化方法选择．

三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题） 1．某学习小组的一次数学考试成绩为： 分 数 频 数 频 率 分数×频率 95 2 96 4 97 3 98 1 填写表格的三、四两行，并求出①该学习小组这次考试的平均分；②表格的第四行的4个数据之和。 根据你的结果，解析你的发现。

知识链接1．

1．离散型随机变量的均值与方差的概念

若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

(2)方差：称D(X)＝____________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的________________，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

2．离散型随机变量的均值与方差的性质

E(aX＋b)＝ ，D(aX＋b)＝ ．

3．几个重要分布的均值和方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝ ； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ ；

nk

CknMMCN－M

(3)若X服从超几何分布P(X＝k)＝，则E(X)＝N nCN

－

这是最贴近生活的一个章节，每一个认真学习的人都会从中得到乐趣！ 1

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2． 某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队(简称“青志队”)，他们活动次数统计如表所示． 活动次数 参加人数 1 5 2 15 3 20 (1)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加 活动次数恰好相等的概率；

(2)从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝

对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)与方差．

3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )

A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977

知识链接2．正态曲线与正态分布

x－μ1

正态曲线：如果一条曲线就是(或近似地是)下列函数的图象：φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，

2σ22πσ

其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

正态分布：如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量x满足P(a＜x≤b)＝?bφμ，σ(x)dx，则称x服从正

2

?a

态分布，记为x～N(μ，σ2)．

5．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，______________；(2)曲线是单峰的，它关于______________； (3)曲线在x＝μ处达到峰值__________； (4)曲线与x轴之间的面积为____； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿______平移；

(6)当μ一定时，曲线的形状由____确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______． 6．3σ原则

(1)3σ原则的含义：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取 __________________之间的值，并简称之为3σ原则． (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： 若X～N(μ，σ2)，则有

P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974. (3)正态总体在(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率：

正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

这是最贴近生活的一个章节，每一个认真学习的人都会从中得到乐趣！

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四、课堂互助区

例1．甲、乙、丙三名应届大学毕业生参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要

面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合1

格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

2

(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数X的分布列和数学期望及方差D(X)．

变式：甲、乙、丙三名应届大学毕业生参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，三人都表示

1

只要面试合格就签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

2签约人数X的分布列和数学期望及方差D(X)

[点评]求数学期望或方差要注意观察随机变量的概率分布特征，若是 ，用 的期望与方差公

式计算，则更为简单。

例2．某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，

每提前一天送到，将多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．

统计信息 堵车的 运费 不堵车的情况下到达所需时间(天) 堵车的情况下到达所需时间(天) 汽车行驶路线 概率 (万元) 公路1 公路2 2 1 3 4 1 101 21.6 0.8 (1)记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ(万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ； (2)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ (注：毛利润＝销售收入－运费)

[点评]在实际问题中，由数学期望判断随机变量的 大小，由方差判断随机变量取值的 情况．

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练一练：上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成

的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师的年龄情况如下表所示

分组(单位：岁) 频数 频率 (1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并补全频率分布直方图)，

[20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40.45) 合计

例3．据抽样统计，某省高考数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为20，全省考生有10万人．若

一考生的数学成绩为140分，估计该生的数学成绩在全省的名次是第________名．

1．求均值、方差的基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；

(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；

(3)如能分析出所给的随机变量是服从常用的分布(如 、 等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解，在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式．

2．均值、方差的应用

对于应用问题，①求出 ，②按定义计算出随机变量的 ，③再根据求得的数值先比较 ， 相同或相差无几的条件下，再比较方差，作出结论．

3．正态分布中的概率计算的常用方法

一是利用正态曲线的对称性求解；二是利用3σ原则，将随机变量的取值转化到三个特殊区间中．

这是最贴近生活的一个章节，每一个认真学习的人都会从中得到乐趣！

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5 ① 35 30 10 100 0.050 0.200 ② 0.300 0.100 1.00 再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[30,35)岁的人数(结果取整数)； (2)求画师的平均年龄．

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10．8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

班级 姓名

一、学习目标：

1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、学习建议：

1．把握基本题型； 2．强化方法选择．

三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题） 1．某学习小组的一次数学考试成绩为： 分 数 频 数 频 率 分数×频率 95 2 96 4 97 3 98 1 填写表格的三、四两行，并求出①该学习小组这次考试的平均分；②表格的第四行的4个数据之和。 根据你的结果，解析你的发现。

知识链接1．

1．离散型随机变量的均值与方差的概念

若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

(2)方差：称D(X)＝____________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的________________，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

2．离散型随机变量的均值与方差的性质 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．

3．几个重要分布的均值和方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)；

nk

CknMMCN－M

(3)若X服从超几何分布P(X＝k)＝，则E(X)＝N nCN

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这是最贴近生活的一个章节，每一个认真学习的人都会从中得到乐趣！ 5

2012届安吉高级中学高三数学（理）计数原理与概率统计复习导学案（主备人：鲍利人 ）

2． 某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队(简称“青志队”)，他们活动次数统计如表所示． 活动次数 参加人数 1 5 2 15 3 20 (1)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加 活动次数恰好相等的概率；

(2)从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝

对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)与方差．

11

C14195C15C20[解答] (1)这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率为P＝1－＝. 3C40494221111

C2C16125C155＋C15＋C205C15＋C15C205C20(2)由题意知，X＝0,1,2，P0＝＝，P1＝＝，P2＝2＝， 22C40156C4052C4039

X的分布列为 x P(X＝x) 0 61 1561 25 522 5 39

3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )

A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977

(1)因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(ξ>0)＝0.023，所以P(ξ<－2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C. 知识链接2．正态曲线与正态分布

x－μ1

正态曲线：如果一条曲线就是(或近似地是)下列函数的图象：φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，

2σ22πσ其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

正态分布：如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量x满足P(a＜x≤b)＝?bφμ，σ(x)dx，则称x服从正

2

61255115

X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

1565239156

?a

态分布，记为x～N(μ，σ2)．

5．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，______________； (2)曲线是单峰的，它关于______________； (3)曲线在x＝μ处达到峰值__________； (4)曲线与x轴之间的面积为____；

(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿______平移；

(6)当μ一定时，曲线的形状由____确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______．

6．3σ原则

(1)3σ原则的含义：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取__________________之间的值，并简称之为3σ原则．

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：

这是最贴近生活的一个章节，每一个认真学习的人都会从中得到乐趣！

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2012届安吉高级中学高三数学（理）计数原理与概率统计复习导学案（主备人：鲍利人 ）

若X～N(μ，σ2)，则有 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.

(3)正态总体在(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率：

正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

四、课堂互助区

例1．甲、乙、丙三名应届大学毕业生参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要

面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合1

格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

2

(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数X的分布列和数学期望及方差D(X)．

[思路] 求X的分布列和数学期望的一般方法是首先确定X的所有可能的取值，再求各个取值的概率. 由于面试是否合格互不影响，因此，可利用独立事件的性质求概率并进一步求出分布列和数学期望． [解答] 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立， 1且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.

2

1?37

(1)至少有1人面试合格的概率是1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－??2?＝8. (2)X的可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝P(ABC)＋P(A BC)＋P(A B C) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C) 1?3?1?3?1?33＝??2?＋?2?＋?2?＝8. P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(AB C) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C) 1?3?1?3?1?33＝??2?＋?2?＋?2?＝8. 11P(X＝2)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝.

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所以X的分布列是 X P

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0 3 81 3 82 1 83 1 83311

X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.

8888

3311

X的方差D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(3－1)2×＝1

8888

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求数学期望，关键在于正确求出随机变量的分布列．

变式：甲、乙、丙三名应届大学毕业生参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，三人都表示

1只要面试合格就签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

2签约人数X的分布列和数学期望及方差D(X)

[点评]求数学期望或方差要注意观察随机变量的概率分布特征，若是二项分布，用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单。

例2．某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，

每提前一天送到，将多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．

统计信息 堵车的 运费 不堵车的情况下到达所需时间(天) 堵车的情况下到达所需时间(天) 汽车行驶路线 概率 (万元) 公路1 公路2 2 1 3 4 1 101 21.6 0.8 (1)记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ(万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ； (2)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ (注：毛利润＝销售收入－运费)

[思路] 确定随机变量→写出随机变量的分布列→计算数学期望→比较数学期望的大小→作出结论． [解答] (1)汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润ξ＝30－1.6＝28.4万元， 堵车时公司获得的毛利润ξ＝30－1.6－1＝27.4万元． ∴汽车走公路1时获得的毛利润ξ的分布列为

28.4 27.4 91

∴Eξ＝28.4×＋27.4×＝28.3万元．

1010(2)设汽车走公路2时获得的毛利润为η万元， 不堵车时获得的毛利润η＝30－0.8＋1＝30.2万元，

堵车时的毛利润η＝30－0.8－2＝27.2万元，∴汽车走公路2时获得的毛利润η

的分布列为 ξ P 30.2 1 227.2 1 211

∴Eη＝30.2×＋27.2×＝28.7万元，∴Eξ

22∴选择公路2可能获利更多

[点评] 本题考查概率与期望及学生识表能力．对图表的识别能力，是近

年高考突出考查的热点．图表语言与其数学语言的相互转化，已成为数学学习的一个重点，应引起高度重视．解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率．在

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η P 错误!错误!

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实际问题中，由数学期望判断随机变量的平均值大小，由方差判断随机变量取值的稳定与波动情况．

练一练：上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成

的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师的年龄情况如下表所示

(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并补全频率分布直方分组(单位：岁) 频数 频率 [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40.45) 合计

[解答] (1)①处填20，②处填的人数为0.35×507≈177人．

补全频率分布直方图如图所示

例3．据抽样统计，某省高考数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为20，全省考生有10万人．若

一考生的数学成绩为140分，估计该生的数学成绩在全省的名次是第________名． P(μ－3σ

1．求均值、方差的基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；

(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；

(3)如能分析出所给的随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解，在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式．

2．均值、方差的应用

对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差或标准差，再根据求得的数值先比较均值，均值相同或相差无几的条件下，再比较方差，作出结论．

3．正态分布中的概率计算的常用方法

一是利用正态曲线的对称性求解；二是利用3σ原则，将随机变量的取值转化到三个特殊区间中．

这是最贴近生活的一个章节，每一个认真学习的人都会从中得到乐趣！

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5 ① 35 30 10 100 0.050 0.200 ② 0.300 0.100 1.00 图(如图K64－1)，再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[30,35)岁的人数(结果取整数)；

(2)求画师的平均年龄．

0.35；507个画师中年龄在[30,35)

1－0.9974

＝0.0013，大于或等于140分的人数共130人． 2

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