湖北省重点高中联考协作体2018届高三春季期中考试数学（理）试题

2018年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试

高三数学理科试卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在复平面内，复数满足

，则的共轭复数对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】由2. 已知集合A.

B.

，得

，集合 C.

D.

，则

，即的共轭复数对应的点

，则

位于第一象限.故选A.

（ ）

【答案】A 【解析】A.

3. 根据如下样本数据：

得到回归方程

，则（ ） 3 6 5 7 3 9 2

，所以

，选

A. 变量与之间是函数关系 B. 变量与线性正相关 C. 线性回归直线经过上述各样本点 D. 【答案】D

【解析】变量与之间不是函数关系，变量与线性负相关，线性回归直线不一定经过上述各样本点，因为

，所以

，选D.

4. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）

A. 30尺 B. 150尺 C. 90尺 D. 180尺 【答案】C

【解析】已知等差数列

选C.

5. 已知实数满足，则目标函数的最大值等于（ ）

A. -14 B. -5 C. 4 D. 6 【答案】C

【解析】作可行域，如图，则直线

过点A(1,0)时取最大值4，选C.

6. 已知直线③

，平面；④

，且，，下列命题：①；②

其中正确的序号是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】

，

，

时，而

，

，

时

，而

，所以

，①对；

位置关系不定； ，所以

，③对；

位置关系不定；所以选B.

7. 运行如图所示的程序框图，若输出是126，则①应为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】执行循环得

结束循环，所以

，选D.

8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】根据割补法将几何体补成半个球，所以体积为9. 若双曲线的中心为原点，则双曲线的方程为（ ） A. 【答案】D

【解析】由题意设该双曲线的标准方程为

，

，则

且

，则

B.

C.

D.

，选B.

两点，且

的中点为

，

是双曲线的焦点，过直线与双曲线交于

，即，则，即，则，

所以，即该双曲线的方程为.故选B.

点睛：本题考查双曲线的标准方程、直线和双曲线相交的中点弦问题；在处理直线和圆锥曲线的中点弦问题时，往往利用点差法进行处理，比联立方程过程简单，其主要步骤是（1）代点：

且

；（2）

作差；（3）确定中点坐标和直线斜率的关系.

10. 已知函数最小值为，且将函数A.

B.

（）的图象与直线的某两个交点的横坐标分别为，若的

的图象向右平移个单位得到的函数为奇函数，则函数

D.

的一个递增区间为（ ）

C.

【答案】A 【解析】由题意得

，即

【点睛】函数(1)(2)周期(3)由 (4)由由

11. 已知点是抛物线为，若点恰在以A.

B.

求对称轴

求增区间; 求减区间

的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（ ） C.

D.

.

为函数

的一个递增区间，选A. 的性质

因此

【答案】B

【解析】 ，因为

以为焦点的双曲线可设为 ，所以，选B.

的方程或不等式，再根据

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于

的关系消掉得到点的坐标的范围等. 12. 已知函数

是上的奇函数，当

时，

，则函数

的关系式，而建立关于

的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、

在上的所

有零点之和为（ ）

A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】由

在

，当

时

，

，由奇函数性质得函数

在

上的所有零点之和为

上零点值，即为8，选C.

点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 在【答案】

得

，

，所以

中，

，

，则

__________．

【解析】由14. 已知【答案】 【解析】根据式子解得

的展开式中项的系数为1，则的值为__________．

展开式中的系数为

故答案为：.

15. 已知各项都为正数的数列

，对任意的

，

恒成立，且

，则

__________．

【答案】21 【解析】因为

，所以 ，

，数列

为等比数列，由

，得

.

点睛：1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 则am·

2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 16. 若以曲线，且

上任意一点

为切点作切线，曲线上总存在异于的点

，以点为切点作线

，则称曲线具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性的编号为__________．（写出所有的

满足条件的函数的编号） ①

②

③

④

【答案】①③ 【解析】因为因为因为因为

；

不存在异于的点；

总存在异于的点满足条件；

，

不存在异于的点；所以选①③

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在

中，设内角

的对边分别为

，且

.

（1）求角； （2）若

且

，结合范围0＜C＜π，

，求

的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）利用两角差的正弦函数，余弦函数公式化简已知可得

即可解得C的值．（2）由正弦函数化简sinA=2sinB，可得a=2b，利用余弦定理解得b，可求a的值，利用三角形面积公式即可得解．

试题解析：（1）因为因为在（2）因为因为所以所以所以

，所以

，

中，

，所以，所以，

， ， .

，所以

，

考点：两角差的正弦函数，余弦函数公式，正弦定理，余弦定理 【方法点睛】对余弦定理的理解

（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．

（3）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．

（4）主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．

18. 从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图，如图所示.

（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；

（2）若要从体重在人，记体重在

，内的两组男生中，用分层抽样的方法选取5人，再从这5人中随机抽取3

.

内的人数为，求其分布列和数学期望

【答案】（1）64.5；（2）1.8

【解析】试题分析：（1）根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均体重，（2）先确定各区间人数，再确定随机变量，根据组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：(1)依频率分布直方图得各组的频率依次为：重约为:

(2)由(1)及已知可得：体重在

的男生分别为：

内的应选3人，体重在

内

，故估计100名学生的平均体

从中用分层抽样的方法选5人，则体重在

的应选2人，从而的可能取值为1，2，3且得：

其分布列为： P 故得：19. 等边

的边长为3，点

分别为

上的点，且满足

，

1 2 3 （如图1），将

（如图2）

沿折起到

的位置，使二面角成直二面角，连接

（1）求证：（2）在线段

平面；

与平面

所成的角为

？若存在，求出

的长；若不存在，

上是否存在点，使直线

请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：(1) 由翻折过程中

. （2）由于平面

平面BCED.假设存在点P，过点P作BD的垂线，垂足为H.则

.即可得结论.

为所求的角.

，等边三角形

的边长为3.所以可得

,所以在三角形ADE

平面

始终成立.又由于成直二面角.由平面与平面垂直的性质定理可得

假设BP的长为x，根据题意分别求出相应的线段(1) 因为等边△所以在△

,中,

的边长为3,且．

,

．

,

． （4分）

,

由余弦定理得因为所以折叠后有

因为二面角又平面所以

平面

平面

是直二面角,所以平面

（6分）

,、

、

平面,

平面

,

平面

,

（2）由(1)的证明,可知以为坐标原点,以射线

．

如图

分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系

设则所以所以因为所以平面因为直线所以

,

,,

,

,（8分）

平面

,

,

的一个法向量为与平面

所成的角为

, （10分）

解得即

,满足

,符合题意

与平面

所成的角为

,此时

（12分）

所以在线段上存在点,使直线

考点：1.线面垂直.2.图形的翻折问题.3.线面角.4.空间想象力. 20. 在平面直角坐标系与线段

交于点.

中，点

，圆

，点是圆上一动点，线段

的中垂线

（1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与曲线相交于直线过定点. 【答案】（1）

；（2）

两点，且存在点

（其中

不共线），使得

被轴平分，证明：

【解析】试题分析：（1）根据中垂线性质得（2）因为

被轴平分，所以

，即得

，设坐标代入表示得

，再根据椭圆定义确定轨迹方程，

，设直线方程

与椭圆方程联立，利用韦达定理代入化简，最后根据方程恒成立条件得直线过定点. 试题解析：（1）由已知依题意有：故点P的轨迹是以

，

为焦点，长轴长为4的椭圆，即

，则由

，

，圆的半径为

故点P的轨迹E的方程为（2）令

得

，因A，B，D不共线，故的斜率不为0，可令的方程为：

则

被轴平分，

即而

，亦即

①

②

代入②得：

③

①代入③得：

时得：时 ，

过定点（1，0）

此时的方程为：亦满足，此时的方程为：

综上所述，直线恒过定点（1，0） 21. 已知函数（1）若

，函数

.

的极大值为，求实数的值； ，

，在

上恒成立，求实数的取值范围.

（2）若对任意的【答案】（1）

；（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数的值；（2）先求

，

最大值，再变量分离得

，最后根据导数

【解析】试题分析：（1）根据中垂线性质得（2）因为

被轴平分，所以

，即得

，设坐标代入表示得

，再根据椭圆定义确定轨迹方程，

，设直线方程

与椭圆方程联立，利用韦达定理代入化简，最后根据方程恒成立条件得直线过定点. 试题解析：（1）由已知依题意有：故点P的轨迹是以

，

为焦点，长轴长为4的椭圆，即

，则由

，

，圆的半径为

故点P的轨迹E的方程为（2）令

得

，因A，B，D不共线，故的斜率不为0，可令的方程为：

则

被轴平分，

即而

，亦即

①

②

代入②得：

③

①代入③得：

时得：时 ，

过定点（1，0）

此时的方程为：亦满足，此时的方程为：

综上所述，直线恒过定点（1，0） 21. 已知函数（1）若

，函数

.

的极大值为，求实数的值； ，

，在

上恒成立，求实数的取值范围.

（2）若对任意的【答案】（1）

；（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数的值；（2）先求

，

最大值，再变量分离得

，最后根据导数

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