2022年中考数学三轮冲刺复习培优同步练习：《圆》(含答案)

2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习：《圆》

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D 三点的⊙O交AB于另一点E，连结AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE 交AD于点F，连结EF．

（1）求证：四边形DCFE是菱形；

（2）当tan∠AEF ＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．

2．如图，AB是⊙O的直径，∠DAB的角平分线AC交⊙O于点C，过点C作CD⊥AD于D，AB的延长线与DC的延长线相交于点P，∠ACB的角平分线CE交AB于点F、交⊙O 于E．

（1）求证：PC与 ⊙O相切；

（2）求证：PC＝PF；

（3）若AC＝8，tan∠ABC ＝，求线段BE的长．

3．如图，A是以BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接并延长CG与BE相交于点F，连接并延长AF与CB的延长线相交于点P．

1

（1）求证：BF＝EF；

（2）求证：PA是圆O的切线；

（3）若FG＝EF＝3，求圆O的半径和BD的长度．

4．如图，在⊙O中，∠ABC＝45°，CE是⊙O的切线，BO的延长线交⊙O于点D，交切线CE于点E，OA与CD的延长线交于点F．

（1）求证：OF∥EC．

（2）若DF＝6，tan∠EBC ＝，求AF的值．

5．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．

（1）求证：△BFG≌△CDG；

（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长．

2

6．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点P作⊙O的切线，切点为D，BC 垂直于PD，垂足为C，BC与⊙O相交于点E，连接OE，交BD于点F．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）若BC＝6，tan P ＝．

①求⊙O的半径；

②求线段BF的长．

7．在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，过A、B两点以r为半径作⊙O．（1）如图，对角线AC、BD交于点M，若AB＝BC＝2，且过点M，求r的值；

（2）⊙O与边BC的延长线交于点E，DO的延长线交于点⊙OF，连接DE、EF、AC，若∠CAD＝45°，的长为r，当CE ＝AB时，求∠DEF的度数．（提示：可再备用图上补全示意图）

3

4

8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，3m ），P （0，2m ），Q （0，m ）（m ≠0）．将

点A 绕点P 顺时针旋转90°，得到点M ，将点O 绕点Q 顺时针旋转90°，得到点N ，连接MN ，称线段MN 为线段AO 的伴随线段．

（1）如图1，若m ＝1，则点M ，N 的坐标分别为 ， ；

（2）对于任意的m ，求点M ，N 的坐标（用含m 的式子表示）；

（3

）已知点B （﹣，t ），C （，t ），以线段BC 为直径，在直线BC 的上方作半圆，若半圆与线段BC 围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO 的伴随线段MN ，直接写出t 的取值范围．

9．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2AC ，过点A 作BC 的垂线m 交⊙O

于另一点D ，垂足为H ，点E 为上异于A ，B 的一个动点，射线BE 交直线m 于点F ，连接AE ，连接DE 交BC 于点G ．

（1）求证：△FED ∽△AEB ；

（2）若＝，AC ＝2，连接CE ，求AE 的长；

（3）在点E 运动过程中，若BG ＝

CG ，求tan ∠CBF 的值．

10．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB 上一点，延长DE交⊙O于点F．

（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；

（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．

11．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC 于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．

（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；

5

（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；

（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．

12．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝4，点C是AB延长线上一点，且BC＝2，点D是半圆的中点，点P是⊙O上任意一点．

（1）当PD与AB交于点E且PC＝CE时，求证：PC与⊙O相切；

（2）在（1）的条件下，求PC的长；

（3）点P是⊙O上动点，当PD+PC的值最小时，求PC的长．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A ＝，点O是线段AC上一动点（不与点A，点C重合），以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D，作DE⊥AB于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当⊙O与AB相切于点F时，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，连接OB交DE于点M，点G在线段EF上，连接GO．若∠GOM ＝45°，求DM和FG的长．

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14．问题背景

（1）如图（1）△ABC 内接于⊙O ，过A 作⊙O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB 、PC ，比较∠BPC 与∠BAC 的大小，并说明理由．

问题解决

（2）如图（2），A （0，2），B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos ∠APB 最小？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．

拓展应用

（3）如图（3），在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD 于D ，E 是AB 上一点，AE ＝AD ，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若AB ＝8，CD ＝11，tan ∠C ＝2，S △DEP ＝9，求sin ∠APB 的最大值．

15．如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 是弧AB 的中点，D 是弦AB 上一动点，且不与A 、B

重合，CD 的延长线交于⊙O 点E ，连接AE 、BE ，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，∠ABC ＝30°．

（1）求证：AF 是⊙O 的切线；

（2）若BC ＝6，CD ＝3，则DE 的长为 ；

（3）当点D 在弦AB 上运动时，

的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y ＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD ＝OC，以CD 为直径作⊙Q，设点C（0，m）．

（1）求线段AB的长；

（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；

（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写出m的取值范围．

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参考答案

1．解：（1）证明：∵CE⊥AD，

∴EG＝CG，

∵CF∥DE，

∴∠DEG＝∠FCG，

∵∠FGC＝∠DGE，

∴△DEG≌△FCG（ASA），

∴ED＝FC，

∴四边形DCFE为平行四边形，

又∵CE⊥DF，

∴四边形DCFE是菱形；

（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，

∴AE＝AC＝4，

∵四边形AEDC内接于⊙O，

∴∠BED＝∠BCA＝90°，

∵四边形DCFE是菱形，

∴EF∥DC，DE＝DC，

∴∠AEF＝∠ABC，

∴tan∠ABC＝tan∠AEF ＝，

在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，

∴DC＝3a，BD ＝＝5a，

∵BC2+AC2＝AB2，

∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，

解得a ＝或a＝0（舍去），

∴DE＝DC＝2，

∴AD ＝＝＝2．

即⊙O的直径长为2．

2．解：（1）如图，连接OC，

9

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴∠OCA＝∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴PC与 ⊙O相切；

（2）∵CF是∠ACB的角平分线，

∴∠ACF＝∠BCF，

∵∠CAF＝∠PCB，

∴∠ACF+∠CAF＝∠BCF+∠PCB，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF．

（3）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝8，tan∠ABC ＝＝，

∴BC＝6，

∴AB ＝＝10，

∴OB＝OE＝5，

∵∠ACE＝∠BCE，

∴＝，

∴EO⊥AB，

10

∴BE ＝＝5．

3．解：（1）∵EB是切线，AD⊥BC，

∴∠EBC＝∠ADC＝90°，

∴AD∥EB，

∴，

∵G是AD的中点，

∴AG＝GD，

∴EF＝FB；

（2）证明：连接AO，AB，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°．

在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，

∴AF＝FB＝EF．

∴∠FBA＝∠FAB．

又∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO．

∵BE是⊙O的切线，

∴∠EBO＝90°．

∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，

∴PA是⊙O的切线．

（3）连接AB，

11

∵BC是直径，

∴∠BAC＝∠BAE＝90°，

∵EF＝FB，

∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，

过点F作FH⊥AG交AG于点H，

∵FA＝FG，FH⊥AG，

∴AH＝HG，

∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，

∴四边形FBDH是矩形，

∴FB＝DH＝3，

∵AG＝GD，

∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH ＝＝＝2，

∴BD＝2，

设半径为r，在Rt△ADO中，

∵AO2＝AD2+OD2，

∴r2＝42+（r﹣2）2，

∴r＝3．

4．解：（1）∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，

∴∠OCD+∠F＝90°，

∵CE是⊙O的切线，

∴∠OCE＝90°，

∴∠OCD+∠DCE＝90°，

∴∠F＝∠DCE，

∴OF∥CE；

12

（2）∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD＝90°，

∴∠EBC+∠ODC＝90°，

∵∠F+∠OCD＝90°，

∴∠F＝∠EBC，

∴tan∠F ＝＝tan∠EBC ＝＝，

设CD＝x，则BC＝2x，

∴BD ＝x，

∴OC＝OB ＝x，

∴OF＝2OC ＝x，

在Rt△OCF中，OC2+OF2＝CF2，

∴，

解得x＝4或x ＝﹣（舍去），

∴CD＝4，

∴OF＝4，OA＝2，

∴AF＝OF﹣OA＝2．

5．解：（1）∵D 是的中点，

∴＝，

∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，

∴＝，

∴＝，

∴BF＝CD，

又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，

∴△BFG≌△CDG（AAS）；

（2）如图，连接OD交BC于点M，

13

∵D 为的中点，

∴OD⊥BC，

∴BM＝CM，

∵OA＝OB，

∴OM是△ABC的中位线，

∴OM ＝AC＝5，

∵＝，

∴＝，

∴OE＝OM＝5，

∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，

∴EF＝DE ＝＝12，

∴BF ＝＝＝4；

6．解：（1）证明：连接OD，如图，

∵PD是⊙O的切线，

∴OD⊥PC，

∵BC⊥PC，

∴OD∥BC，

∴∠ODB＝∠CBD，

∵OD＝OB，

14

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠OBD＝∠CBD，

∴BD平分∠ABC；

（2）①∵∠PCB＝90°，BC＝6，tan P ＝，

∴＝，

∴PC＝8，

∴PB ＝＝10，

设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝OD＝x，PO＝10﹣x，

∵OD∥BC，

∴△OPD∽△CPB，

∴＝，即＝，

解得x ＝，

∴PD ＝＝5，

∴CD＝PC﹣PD＝8﹣5＝3，

∴BD ＝＝3；

②过点O作OM⊥BE于点M，如图，

则四边形ODCM是矩形，

∴CM＝OD ＝，

∴BM＝BC﹣CM ＝，

∵OB＝OE，

∴BE＝2BM ＝，

∵OD∥BC，

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∴△ODF∽△EBF，

∴＝，

即＝，

解得BF ＝．

7．解：（1）如图1，在?ABCD中，AB＝BC＝2，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

∴∠AMB＝90°，

∴AB为⊙O的直径，

∴r ＝AB＝1；

（2）如图2，设圆心为如图点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，直线OC与AD交于点N，则OA＝OB＝OE＝r．

在⊙O 中，的长＝．

∵的长为r，

∴＝r，

∴n＝90°．即∠AOE＝90°，

∴∠ABE ＝∠AOE＝45°．

在?ABCD中，AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC＝45°．

∴∠ABE＝∠ACB＝45°．

∴∠BAC＝90°，AB＝AC．

∴在Rt△ABC中，BC ＝AB，

∵CE ＝AB，

∴BC＝CE．

又∵OB＝OE，

∴OC⊥BE，

16

∴∠OCB＝90°．

∵AD∥BC，

∴∠OCB＝∠ONA＝90°．

∴OC⊥AD．

在?ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°．

∴AC＝CD．

∴AN＝ND．

即直线OC垂直平分AD，

∴OA＝OD．

∴点D在⊙O上，

∴DF为⊙O的直径．

∴∠DEF＝90°．

8．解：（1）如图1中，

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当m＝1时，A（0，3），P（0，2），Q（0，1），

∴OQP＝PQ＝1，

由旋转的性质可知PM＝NQ＝1，

∴M（1，2），N（﹣1，1），

故答案为（1，2），（﹣1，1）．

（2）如图1中，对于任意m，则有OQ＝PQ＝AP＝m，PM＝NQ＝m，

可得M（m，2 m），N（﹣m，m）．

（3）①如图2中，半圆在x轴上方，当点N落在BC上，点M在半圆上时，过点M作MH⊥BC于H，连接QM．

由题意：MQ＝BQ ＝，

∵MH＝QH＝m，

∴m＝1，此时B （﹣，1），C （，1），t＝1．

②如图3中，半圆在x轴下方，当点M落在BC上，点N在半圆上时，过点N作NH⊥BC 于H，连接PN．

18

由题意：PN＝PB ＝，

∵NH＝PH＝﹣m，

∴m＝﹣1，

∴P（0，﹣2）

此时B （﹣，﹣2），C （，﹣2），t＝﹣2，

观察图象可知满足条件的t的值为﹣2≤t≤1．

9．解：（1）∵⊙O的内接△ABC中，∠CAB＝90°，

∴BC是⊙O的直径，

∵点E 为上异于A，B的一个动点，

∴∠CEB＝90°，

∴∠ECB+∠EBC＝90°，

∵过点A作BC的垂线m交⊙O于另一点D，垂足为H，

∴∠FHB＝90°，

∴∠FBH+∠HFB＝90°，

∴∠HFB＝∠ECB，

∵∠EAB＝∠ECB，

∴∠EAB＝∠HFB，

∵∠FBA＝∠ADE，

∴△FED∽△AEB；

（2）∵∠CAB＝90°，AB＝2AC，AC＝2，

∴AB＝4，

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根据勾股定理得，BC＝2，

∵AD⊥BC，BC是⊙O的切线，

∴DH＝AH ＝＝＝，

在Rt△AHB中，根据勾股定理得，BH ＝＝，

∵，BC是⊙O的直径，

∴BE＝CE，∠ECB＝∠EBC＝45°，

∵BC＝2，∠BEC＝90°，

∴BE＝CE ＝，

∵∠FHB＝90°，∠EBC＝45°，BH ＝，

∴FH＝BH ＝，BF ＝，

∴EF＝BF﹣BE ＝，FD＝FH+DH ＝，

∵△FED∽△AEB，

∴，

∴，

∴AE ＝；

（3）如图，过点G作GT⊥CE于T，

∵∠CEB＝90°，

∴TG∥EB，

∴，∠CGT＝∠CBF，

∴tan∠CBF＝tan∠CGT ＝，

∵，

∴∠CED＝∠ABC，

∴tan∠CED＝tan∠ABC，

∴，

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∵，BG ＝CG，

∴ET ＝CT ，，

∴，

∴tan∠CBF＝tan∠CGT ＝．

10．解：（Ⅰ）如图①，连接AD．

∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°．

∵∠ABC＝52°，

∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°．

∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．

∵＝，

∴∠DFB＝∠DAB＝38°．

（Ⅱ）如图②，连接OD．

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