2014山东省高考压轴卷 理科数学 Word版含解析

2014山东省高考压轴卷

理科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. 复数z?(i1?i)2，则复数z?1在复平面上对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知直线l?平面?，直线m∥平面?，则“?//?”是“l?m”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件

4. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，则k的值为（ ） A． 8 B．7 C．6 D．5

5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）

A． 4 B．8 C．1 6 D．2 0 6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x的值为2014，则输出的i的结果为（

）

3 A．5 B． 6 C． 8 D． 7.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（ ）

A.[6K-1，6K+2](K∈Z) B. [6k-4,6k-1] (K∈Z) C.[3k-1,3k+2] (K∈Z) D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)

8. ．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线区域内（阴影部分）的概率为（ ）

围成的

A．B． C． D．

x2y2??1的右焦点重合，抛物线的准线与9．已知抛物线y?2px(p?0)的焦点F与双曲

452x轴的交点为K，点A在抛物线上且AK?2AF，则A点的横坐标为

(A)22 (B)3 (C)23 (D)4 10.已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f（2013）=（ ）

A.10 B.-5 C.5 D.0

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.（3x+

12. 若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足

，则

= ．

）6的展开式中常数项为 （用数字作答）．

13. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为

12，则+的最小值为（ ） 4 A．

14.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是 ________ ．

15. 已知集合A={f（x）|f2（x）﹣f2（y）=f（x+y）?f（x﹣y），x、y∈R}，有下列命题： ①若f（x）=

，则f（x）∈A； B． 1 C． 2 D． ②若f（x）=kx，则f（x）∈A；

③若f（x）∈A，则y=f（x）可为奇函数； ④若f（x）∈A，则对任意不等实数x1，x2，总有

成立．

其中所有正确命题的序号是 ______ ．（填上所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16．在△ABC中，已知A= (I)求cosC的值；

(Ⅱ)若BC=25，D为AB的中点，求CD的长．

17.如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E． （Ⅰ）求证：PC⊥DE；

（Ⅱ）若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为，求PA的值．

?25，cosB?． 45

18. 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x、y，设O为坐标原点，点P的坐标为(x?2,x?y)，记??OP． （I）求随机变量?的最大值，并求事件“?取得最大值”的概率；

2

（Ⅱ）求随机变量?的分布列和数学期望． 19. 设数列{an}的前n项和为Sn，点(an,Sn)在直线y?（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）在an与an?1之间插入n个数，使这n?2个数组成公差为dn的等差数列， 求数列?3x?1上. 2?8n40?1?nT??的前项和，并求使成立的正整数n的最大值. T?nnn-155?327??dn?，称圆心在坐标原点O，半径为

的圆是

．

20. 给定椭圆C：

椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是（1）若椭圆C上一动点M1满足|

|+|

|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2（3）已知m+n=﹣

，求P点的坐标；

（0，π）），是否存在a，b，使椭圆

．若

C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 21.已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a＞0）． （Ⅰ） 若a≠，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当＜a＜1时，判断函数f（x）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．

2014山东省高考压轴卷

理科数学参考答案

1.【答案】C

【解析】：由A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4}， 所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A∩B中元素的个数为2． 故选C． 2. 【答案】D

1i2i2?11z?1?1?i，所以复数z?1在复平【解析】因为z?(，所以)????i21?i(1?i)2?2i2面上对应的点位于第四象限. 3. 【答案】A.

【解析】当?//?时，由l?平面?得，l??，又直线m∥平面?，所以l?m。若l?m，则推不出?//?，所以“?//?”是“l?m”的充分不必要条件，选A. 4. 【答案】A.

解：由a1=1，a3=5，可解得公差d==2，

再由Sk+2﹣Sk=ak+2+ak+1=2a1+（2k+1）d=4k+4=36， 解得k=8， 故选A 5. 【答案】B.

【解析】由三视图可知，几何体一三棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4

底面积S=×6×2=6， 所以V=Sh=×6×4=8 故选B

6. 【答案】A.

【解析】模拟程序框图执行过程，如下； 开始， 输入x：2014， a=x=2014， i=1， b=b≠x？ 是， i=1+1=2， a=b=﹣b=

，

=

；

=

=﹣

，

b≠x？ 是， i=2+1=3，

a=b=b=

， =2014；

b≠x？ 否， 输出i：3； 故选：A． 7. 【答案】B.

【解析】|AB|=5，|yA﹣yB|=4， 所以|xA﹣xB|=3，即=3， 所以T=

=6，ω=

；

∵f（x）=2sin（即2sin（∴sin（∵0≤φ≤π， ∴

+φ=

，

x+φ）过点（2，﹣2），

+φ）=﹣2， +φ）=﹣1，

解得φ=由2kπ﹣

，函数为f（x）=2sin（≤

x+

≤2kπ+

，

x+），

得6k﹣4≤x≤6k﹣1，

故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）． 故选B. 8. 【答案】B.

【解析】根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为

==，

∴正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=， 故选B． 9. 【答案】B.

【解析】抛物线的焦点为(ppp,0)，准线为x??。双曲线的右焦点为(3,0)，所以?3，222即p?6，即y2?6x。过F做准线的垂线，垂足为M,则AK?2AF?2AM，即

KM?AM，设A(x,y)，则y?x?3代入y2?6x，解得x?3。选B.

10.【答案】D 【解析】由f（x+6）+f（x）=2f（3），知f（x+12）+f（x+6）=2f（3），两式相减，得f（x+12）=f（x） 由y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x﹣1）+f（1﹣x）=0，故f（x）是奇函数． 由f（x+6）+f（x）=2f（3），令x=﹣3，得f（3）=f（﹣3），于是f（3）=f（﹣3）=0， 于是f（2013）=f（2013﹣12×167）=f（9）=f（﹣3）=0 故选D． 11. 【答案】135.

【解析】此二项式的展开式的通项为令

，解得r=4，∴常数项为

，

，

故答案为：135． 12. 【答案】﹣

.【解析】∵∴

==

∴=

又△ABC为边长为1的等边三角形， ∴=

=

故答案为：﹣

13. 【答案】4.

【解析】作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的四边形OABC及其内部，其中 A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点

设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移， 观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12． 因此，+=（+）×∵a＞0，b＞0，可得∴当且仅当

（4a+6b）=2+（≥

=12，

的最小值为12，

），

即2a=3b=3时，

相应地，+=2+（）有最小值为4．

14. 【答案】（﹣∞，﹣5]. 【解析】∵当x≥0时，f（x）=x2， ∴此时函数f（x）单调递增， ∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴函数f（x）在R上单调递增，

若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立， 则x+a≥3x+1恒成立， 即a≥2x+1恒成立， ∵x∈[a，a+2]，

∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5， 即a≥2a+5， 解得a≤﹣5，

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]； 故答案为：（﹣∞，﹣5]； 15. 【答案】②③.

【解析】①令x≥y≥0，f2（x）﹣f2（y）=0而f（x+y）f（x﹣y）=1，∴①错误的；

②当f（x）=kx时，f2（x）﹣f2（y）=k2x2﹣k2y2=k（x﹣y）?k（x+y）=f（x+y）?f（x﹣y）成立，∴②正确．

③令x=y=0可得f（0）=0；再令x=0，有f2（0）﹣f2（y）=f（y）f（﹣y）即f（y）（f（y）+f（﹣y））=0，

则有f（y）=0或f（﹣y）=﹣f（y），因此f（x）为奇函数，∴③正确； ④如函数f（x）满足条件：

成立．则函数在定义域上是减函数，

由②知当y=kx时，满足条件，但当k＞0时，函数y=kx为增函数，∴④不满足条件，故∴④错误． 故答案为：②③

16. 【解析】（Ⅰ）?cosB?分

25且B?(05sinB?1?cos2B?,180)，∴

5 ????25

3?cosC?cos(??A?B)?cos(?B) ?????????????????4分

43?3?2252510cosB?sinsinB??????? ??????????6分 442525101?cos2C?1?(?102310)?1010 ?cos

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC? ????????8分

由正弦定理得

BCsinAsinC?AB，即

2522?AB31010，解得AB?6． ????????????10

分

在?BCD中，CD2?(25)2?32?2?3?25?25?5，所以CD?5 517. 【解析】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC， 所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB=A， 所以BC⊥平面PAB， 因为AD?平面PAB， 所以BC⊥AD．…（2分） 又AD⊥PB，BC∩PB=B，

所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，…（4分） 又PC⊥AE，AD∩AE=A， 所以PC⊥平面ADE， 因为DE?平面ADE， 所以PC⊥DE…（6分）

（Ⅱ）解：过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，如图所示，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． …（7分） 设PA=a，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（2，0，a）， 因为PC⊥平面ADE，所以所以向量又

是平面ADE的一个法向量，

所成的角的余弦值的绝对值为，…（9分）

则，解得

a=1

所以PA=1…（12分）

18. 【解析】（I）?x、y可能的取值为1、2、3，???????1分

?x?2?1，y?x?2，

???(x?2)2?(x?y)2?5，且当x?1,y?3或x?3,y?1时，??5．

因此，随机变量?的最大值为5??????????4分 ? 有放回摸两球的所有情况有3?3?9种

?P(??5)?2???6分 9（Ⅱ）?的所有取值为0,1,2,5．

???0时，只有x?2,y?2这一种情况．

??1时，有x?1,y?1或x?2,y?1或x?2,y?3或x?3,y?3四种情况，

??2时，有x?1,y?2或x?3,y?2两种情况．

?P(??0)?142，P(??1)?，P(??2)???????????8分 999则随机变量?的分布列为：

? P 0 1 2 5 ?????10分

422 9991422因此，数学期望E??0??1??2??5??2???????12分

9999319. 【解析】（Ⅰ）由题设知，Sn?an?1???????????1分

23*得Sn?1?an?1?1(n?N,n?2)），????????????2分

23两式相减得：an?(an?an?1)，

2即an?3an?1(n?N*,n?2)，????????????4分 又S1?1 93a1?1 得a1?2， 2所以数列?an?是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an?2?3n?1. ??????????6分

nn?1（Ⅱ）由（Ⅰ）知an?1?2?3，an?2?3

4?3n?1因为an?1?an?(n?1)dn ， 所以dn?

n?1

所以

1n?1 ????????8分 ?n?1dn4?31111?????，

dnd1d2d3令Tn?则Tn?n?1234????? ①

4?304?314?324?3n?1nn?1123Tn?????? ② 12n?1n34?34?34?34?31n?12211?????①?②得Tn???????10分 n?1n0124?34?334?34?34?311(1?n?1)11n?152n?53 ???3???nn1244?388?31?3152n?5?Tn?? ?????????????11分 n?11616?38n403140n???所以Tn?，即，3?81 n-1n-155?32722?327得n?4 所以，使Tn?

20. 【解析】（1）由题意，其“伴随圆”的方程为x2+y2=6；

（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程为（2k2+1）x2+4tkx+2t2﹣4=0 ∴由△=（4tk）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）=0得t2=4k2+2①， 由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为由①②可得t2=6． ∵t＜0，∴t=﹣

，∴P（0，﹣

）；

，∴y=（m+n）x﹣mn，

，可得

，即t2=3（k2+1）②

，∴

=

，所以椭圆C的方程为

．

85n40?成立的正整数n的最大值为4????????12分 n-15?327（3）过两点（m，m2），（n，n2）的直线的方程为

∵m+n=﹣（0，π）），

∴，得xcosθ+ysinθ﹣3=0，

∴由于圆心（0，0）到直线xcosθ+ysinθ﹣3=0的距离为d==3．

当a2+b2≥9时，dmin=0，但当a2+b2＜9时，dmin=3﹣

，由3﹣

，所以，等式不能成立；

=

﹣b得9+6b+b2=4a2+4b2．

因为a2=b2+2，所以7b2﹣6b﹣1=0， ∴（7b+1）（b﹣1）=0，∴b=1，a=21. 【解析】（Ⅰ）∵即 ∵∴

，∵时，

，f（x）的单调递增区间是（0，2]和，f（x）的单调递增区间是

，单调递减区间是

时，

，由f'（x）＞0得

或x＜2

（x＞0）． ．

（x＞0）．

由f'（x）＜0得所以当同理当

和[2，+∞），单调递减区间是

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 当故由

时，f（x）在

上单调递增，在

．

可知﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，

上单调递减，

故在区间[1，2]f（x）＜0．恒成立． 故当

时，函数f（x）在区间[1，2]上没有零点．

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