高等数学基础期末复习题（定稿） 13-11-20

九龙坡电大11春高等数学基础期末复习题 11-3-31

一、单项选择题或填空题（每小题4分，共20分）

（一）函数的相等 从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也相同。而与自变量或因变量所用的字母无关。

1.（0607、1007考题） 下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A

f(x)?(x)2，g(x)?x B f(x)?x2f(x)?lnx2，g(x)?x C f(x)?lnx3，g(x)?3lnx

D

，g(x)?2lnx E

x2?1 f(x)?x?1，g(x)?x?1（二）求定义域 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。

2 .函数

f(x)?x2?9?ln(1?x)的定义域是(3,??)

x?3f(x)?x2?4的定义域是(??,?2]?(2,??)

x?2

3.（0601考题） 函数

9?x24.（0507考题） 函数y?的定义域是(1,2)?(2,3]

lnx(?1)5.（0701考题） 函数

y?lnx(?1)4?x2的定义域是(?1,2)

6.（0901考题） 函数

f(x)?lnx(?2)6?x的定义域是(2,6)

7、（1001考题）函数

y?ln(x?5)?12?x的定义域是(?5,2)

（三） 函数奇偶性和对称性

可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数 （1）.若（2）.若

f(?x)?f(x)，则函数为偶函数，其图形就关于Y轴对称 f(?x)??f(x)，则函数为奇函数。其图形就关于坐标原点对称

f(x)?f(?x)是偶函数，其图形关于

8.（0601考题）设函数的定义域为(??,??)，则函数

y轴对称

9.（0507、0901、1001考题）设函数的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)是奇函数，其图形关于坐标原点对称。

e?x?ex10.（0701考题）函数y?2是奇函数，其图形关于坐标原点对称。

11.（0801考题）下列函数中为偶函数是(D )． A.

y?(1?x)sinx

B.

y?x2x C. y?xcosx D. y?ln(1?x2)

12.下列函数中为奇函数是（ B ）．

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A.

y?ln(1?x) B. y?xcosx C.

2ax?a?xy?2 D.

y?ln(1?x)

（四） 求函数值 ： 正确理解函数对应关系f的含义； 13（0607考题） 若函数

?x2?1x?0，则f(0)?1 f(x)??xx?0?2?x2?2f(x)??x?e

14.（0801考题） 若函数

x?0，则f(0)?2

x?015. 已知函数

f(x?1)?x2?x，则f(x)?x2?x

f(x?1)?x2?2x?4，则f(x)?x2?3

16. （1007考题）若

（五） 间断点与连续 函数在该点无意义，或者其函数值不等于极限值。 17.（0601 0901考题） 函数

?x?1f(x)???sinx?-1

x?0的间断点是x?0 x?018. 函数

y?x?2x?1的间断点是xx2?2x?319.（0801考题）函数y?的间断点是x?3

x?3?sin2x?f(x)??x??kx?0x?020.（0607考题） 若函数

，在x?0处连续，则k?2 21（0701考题） 若函数

1?x?f(x)??(1?x),xC0，在x?0处连续，则k?e

?x?0?x?k,22.若函数 A. C.

f(x)在点x0满足（ A ），则f(x)在点x0连续。

x?x0limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义

?x?x0limf(x)?f(x0) D. limf(x)?limf(x)

??x?x0x?x023、（1007考题）当x?0时，

?x?1f(x)??2?x?kx?0在点x?0处连续． x?01sinx1?1 （2）lim(1?)x?e 或者 lim(1?x)x?e （六）重要极限 （1）limx?0x??x?0xx 第 2 页

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24. （1001考题）

limx???(1?1x)=e 2x25.（0801考题）下列极限中计算不正确的是(B )．

A.

lime?1

x?0x B.

1x2limxsin?0 C.lim2?1 x??x??xx?11 D.

limsinx?0

x??x1x)?e2 26.lim(1?x??2x（七） 无穷小量 只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如C，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量 27.下列极限计算不正确的是（ D ）．

A.

sinx1x2?0 D. limxsin?0 lim2?1 B. limln(1?x)?0 C. limx?0x??x??x??x?2xx?0时，变量（

C ）是无穷小量。

D.

28 .（0507、0601考题）当xA.

1sinxx B. C. e?1 xx29.当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．

sinx11 A. B. C. xsin D. ln(x?2)

xxx30. 当xA

xx2

?0时，变量（A

B）是无穷小量。

2xln(x?1) （0701考题） B ln(x?1) （0607考题） C. 2?0时，变量（ C ）是无穷小量．

D.

e1x（0607考题）

31.（0901考题） 当xA.

1?2x x B.

x C.

x

0.001 D.

2?x

32.(1001考题)当x?0时，变量（ D ）是无穷小量．

1sinx1 A. B. C. ln(x?2) D. xsin

xxxsinx33. （1007考题） 已知f(x)?1?，当x?0时．f(x)是无穷小量。

x（八) 导数的定义 求导数或微分

f(1??x)?f(1)?（ B ）

?x?0?x11A 2e Be C.e D. e

42f(1?h)?f(1)?（ B ）35.（0901考题）设f(x)在点x?1处可导，则lim．

h?0h34.（0507考题）设

f(x)?ex，则lim A.

2f?(1) B．?f?(1) C f?(1)

f(x)在x0可导，则lim D．?2f?(1)

36.(1001考题)设

?x?0f(x0?h)?f(x0)?（C ）．

2h 第 3 页

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A.

1f?(x0) 2 B. 2f?(x0) C. ?1f?(x0) 2 D. ?2f?(x0)

37.（0701考题）

f(x)在x0可导，则limh?0f(x0?2h)?f(x0)?（

2hC

C）．

A

f?(x0)

B

2f?(x0) -f?(x0)

D

-2f?(x0)

38.设39.设

f(0)?0且极限limx?0f(x)f(x)?f?(0) 存在，则limx?0xxf(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)??99!

40 .设函数

1?2?xsin,x?0，则f?(0)? 0． f(x)??x?x?0?0,1

． 2

（九） 导数的几何意义：曲线在某点处的斜率 41.（0507、1007考题） 曲线

f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是 k?

42.（0801考题） 曲线

π

f(x)?sinx在(,1)处的切线方程是y?1．

2

43.（0601考题）曲线

f(x)?1x在(1,1)处的切线斜率是?1 214.

44.（0607考题）曲线

f(x)?x?2在(2,2)处的切线斜率是

45.（0701考题） 曲线46. （1001考题）曲线（十）导数的单调性

f(x)?x2?1在(1,2)处的切线斜率是3 f(x)?ln(1?x2)在点(1,,3)处的切线斜率是＿2

47.（0507、1001考题）函数48.（0601考题）函数

y?ln(1?x2)的单调增加区间是(0,??) , 单调减少区间是???,0?．

y?(x?1)2?1的单调减少区间是(??,?1) （0607考题）单调增加区间是(?1,??) y?x2?2x?6在区间(2,5)内满足单调上升

49.（0607考题）函数50. 函数

y?arctanx的单调增加区间是(??,??)

51.（0801考题） 函数

f(x)?x2?1的单调减少区间是(??,0)

52 .（0801考题）函数53.函数

y?x2?x?6在区间（－5，5）内满足先单调下降再单调上升

f(x)?x2?4x?1的单调增加区间是(?2,??)

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54.（0901考题）函数55.（0901考题）函数

y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足先单调下降再单调上升 y?x2?6x?3在区间(2,4)内满足先单调下降再单调上升 y?x2?2x?3在区间(2,4)内满足单调上升

y?2e?x的单调减少区间是(??,??)

x2

56.（1007考题） 函数

57.（0801、0901考题）函数

58（0901考题）函数59.设

f(x)?e的单调增加区间是

?0,???

f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0

（十一）驻点 极大（小）值 最大（小）值 60. (0901) 函数61.函数

y?x2?4x?5的驻点是x??2

f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的驻点

62. 函数63. 设

y?x2?4x?5的驻点是x??2

f(x)在(a,b)内可导，当x?x0时f?(x)?0，则x0是f(x)的 极小值 点．

f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 64．若函数65.若函数

f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a) ．

（十二）极限、连续、可导、可微关系 66.下列结论中正确的是（ C ）． A. 若

f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导． f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续．

1dxd()??2xx C. 若

67 .下列等式中正确的是（ B ） A.d(1)?arctanxdx

1?x2B. C.

d(2xln2)?2xdx

D.

d(tanx)?cotxdx

68. 设

f(ex)?e2x?5ex， 则

df(lnx)2lnx?5 ?xdx（十三） 原函数 不定积分 69.函数

f(x)的不定积分是?f(x)dx?F(x)?c

70.若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式G(x)=F(x)+c 71.（0607考题） 若

f(x)的一个原函数是

1x，则

f?(x)?2x3

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112)??f(x)，则f(x)=?2，则f?(x)?3 xxxd2xf(x)dx?(A) 72.（0507考题） ?dx112f(x)dx C. f(x) D. xf(x2)dx A. xf(x) B. 22ddd23x2x223xf(x)dx?f(x)dx?f(x)3dx?73. 74 . 75.（1007考题） 3xf(x)dx?dx?dx?分析：(76.（0507考题） 77.若

d?e?xdx＝e?xdx

22?f(x)dx?sinx?c，则f?(x)??sinx

?(sinx)?dx＝sinx?c 79.若f(x)?cosx，则?f?(x)dx?cosx?c

78.（0801考题） 80.若81.若

?f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)??9cos3x ?f(x)dx?cos2x?c，则f(x)??2sin2x

?f(x)dx?tanx?c，则f(x)?82.（1001考题）若

1 2cosx83. 若 A

?f(x)dx?F(x)?c， 则?B

F(lnx)

1f(lnx)dx?（ B）． x1F(lnx)?c C F(lnx)?c

xD

1F()?c

x84.(1001考题)若

?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（ B ）．

A F(x) B 2F(x)?c C

1x1x11F(x)?c D F(x)?c

2x分析：

?f(x)dx?2?f(x)dx?2?f(x)d(x)?2F(x)?c

85. 若

f(x)?cosx，则?f?(x)dx?cosx?c

86.（1007考题） 若（十四） 定积分

?f(x)dx?cosx?c，则f?(x)??cosx

??87.（0801考题）

??2?2sinxdx? 2 88. (0901)?2?(xcosx?3x5?1)dx? ?

?289.

311x3335(sinx?)dx? 3 分析：原式=dx????3 ??3??3222?3223 第 6 页

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?90. (1001考题)

?2??2(xcosx-2x7?2)dx? 2?

（十五） 无穷积分 91.（0901考题） 无穷积分

???e01dx当p?1时是收敛的。 px92. 下列无穷积分收敛的是（ A D E ） A

???????0e?xdx （0601

??3考题） B

???1sinxdx （0607

考题） C

?0sinxdx D?0e?3xdx （0607考题） E.

?1x21dx

93.（0701考题） 下列无穷限积分收敛的是（D）． A.

???11dx B. x???0exdx C.

???1x1dx D.

?????11dx 2x分析：A.

?????1??1dx=lnx B. x1??dx=2?d1x?0exdx=ex? 0C.

?11???? D. x?x1???111??dx=? x2x194 （1007考题）下列无穷积分收敛的是（A ）． A

???1x31dx B

???0cosxdx

C

???0edx

3x D

???11dx x二、计算题（每小题9分，共54分） （一 ）求极限

1.（0507考题）计算极限limsin6x

x?0sin5x

sin6xsin6x6sin6x/6x6x?06x6?lim? 解：lim??x?0sin5xsin5x55x?0sin5x/5x5limx?05xlimx2?6x?8(x?4)(x?2)x?22?lim? 2.（0601考题） 求lim2． 解：原式=limx?4x?5x?4x?4(x?4)(x?1)x?4x?13lim(x?1)x?1?2x2?1x??13 .求lim． 解：原式=lim????2

x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)sin(x?1)1limx??1x?1x?14.（0701考题）计算极限

sin(x?1)sin(x?1)1sin(x?1)lim?lim 解：＝＝ 22x??1x??1x??12x?1x?1(x?1)(x?1)limsinx

x?02x 解：lim5.（0801考题） 计算极限limsinxsinx11?lim??

x?02xx?0x22x?16.（0901考题） 计算极限limx?1sin(x?1)

x2?3x?2解：limsin(x?1)sin(x?1)?lim??1

x2?3x?2x?0(x?1)(x?2) 第 7 页

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7.（1007考题） 计算极限limx?2sin(x?2)sin(x?2)sin(x?2)??1 lim． 解：?lim22x?2x?2x?5x?6x?5x?6(x?2)(x?3)x2?98.（0607考题）计算极限lim。

x?3sin(x?3)(x?3)(x?3)(x?3)x2?9解：lim ?lim?lim?lim(x?3)?1?6?67

x?3x?3sinxx?3sin(x?3)sin(x?3)(?3)x?31?x2?19.求lim．

x?0sinx 解：原式=limx?0(1?x2?1)(1?x2?1)(1?x2?1)sinxsin(x?3)

x2?2x?3?limx?0x1?x2?1?limx?01?0?1?0

sinxx

10.（1001考题） 计算极限limx?3解：limx?3sin(x?3)1sin(x?3)??lim=

4x2?2x?3x?3(x?3)(x?1)（二）求导数或微分 11.（0801考题）设12．（1007考题）设解：

y?xex2，求

y? 解：y??ex?2x2ex22

y?esinx?2x，求dy

1 xy??(cosex?lnx)??(cosex)??(lnx)???ex?sinex?

dy?d(esinx)?d(2x) ?esinxdsinx?2xlnxdx ?(esinxcosx?2xlnx)dx

y?lnx?e?6x，求y? 解：y??1?5e?5x x13. （1001考题） 设

14 .

y?(xx?3)ex

321331xx33xxxx解：y??(xe?3e)??x2e?x2e?3e =e(x2?x2?3)

22sinx?2x15.（0507考题）设y?x2求

y?

(sinx?2x)x2?2x(sinx?2x)x2cosx?x22xln2?2xsinx?2x2x?解：y??4xx4xcosx?x2xln2?2sinx?2x?1?x316.（0507考题）设

y?sin2ex，求y?。 解：y??2exsinexcosex?exsin(2ex)

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17.（0901考题）设

解：

y?exsinx，求y?

2222y??(exsinx)??(ex)?sinx?ex(sinx)?

?e(x)?sinx?excosx

22x222

?2xexsinx?excosx

y?tanx?x2lnx,求y? 解： y?=

1?2xlnx?x 2cosx18.（0601考题）设

19（0601、0701考题）设20 .（0607考题）设

y?lncosx2,求dy 解： dy??2xtanx2dx

y?extanx?lnx,求y?。

ex1y??etanx??

cos2xxx解：由导数四则运算法则得

1?exsinex x?2cosxsinxsin2x2??22.（0607考题）设y?lncosx,求y? 解：y?? 22cosxcosx21 .设

y?lnx?cosex，求y?． 解：y??7?823.y?xxx 解：因为y?x?x?x?x 所以 y??x

824 .25.

121418781x2?2x?2xcosx2 y?sinx2 解：y??cosex?ex =?exsinex y?cosex 解：y???sin（三） 求不定积分

26.（0601考题）计算不定积分

?cosxxdx = 2sinx?c

x27.（0801、1007考题）计算不定积分

?exdx

解：用凑微分法将积分变量凑成

x，然后用积分基本公式

x?exxdx=2?exd(x)?2?eudu?2eu?c?2ee?x2dx．

11x?c

28.（0701考题）不定积分

1xe1解：?2dx=??exd()??ex?c

xx 第 9 页

1 九龙坡电大11春高等数学基础期末复习题 11-3-31

sin29. （1001考题） 计算不定积分

?x21xdx 解：由换元积分法得

1xdx=?sin1d(1)??sinudu?cosu?c?cos1?c

?xx??x2x1cosx30.（0901考题）

?x2dx

1分析：用凑微分法将积分变量凑成，然后用积分基本公式。

x111??sin?c 解：原式=??cosdxxx1dx 31.（0607考题）不定积分?xlnx 分析：用凑微分法将积分变量凑成lnx，然后用积分基本公式。

1dlnx?ln(lnx)?c 解：原式=?lnxsin32．（0507考题）计算不定积分解：

?xcos3xdx.

?xcos3xdx? 33.

11xsin3x??sin3xdx 3311?xsin3x?cos3x?c 39?xsin2xdx

11xdcos2x?xcos2x??cos2xdx=?2211=?(xcos2x?sin2x?c)

22分析：可用分部积分法求解。 解：原式=???

（四） 求定积分 34.

?e13?lnxdx xeee分析：用凑微分法将积分变量凑成lnx，然后用积分基本公式和莱布尼兹公式求出。 解：原式=

?(3?lnx)dlnx?3?dlnx??lnxdlnx

1111712e =(3lnx?lnx)=3??0?

221235.（0607、0701、0901、1001考题）计算定积分

解：由分部积分法得

?e1lnxdx． 2x 第 10 页

九龙坡电大11春高等数学基础期末复习题 11-3-31

e?1lnx1lnxdx?lnxd(?)???xxx21ee1??e111e1d(lnx)????2dx xe1x＝?11e2??1? ex1e1036.

?xe?2xdx

11?2x111??2x1?210??2xxed(?2x)??xde??1?e?e?0?e? ???00222?22?3?21?3?21??e?? =??e?1?

42?22?解：原式=? =?e37.

?1xlnxdx

eeexe2x2ee21x2x2?? 解：原式=lnxd?lnx??dx =??1242412221138. （1007考题）.计算定积分

解：由分部积分法得

?e1x2lnxdx

?e1eex3x3x3xlnxdx? ?lnxd()?lnx??dlnx

1113332e

e31e2e3x3e12e3???xdx????33139199

39.（0801考题）计算定积分解：由分部积分法得

?10xexdx．

?xedx?xe01xx10??edx?e?e01xx10?1

三、应用题（本题16分） 1．（0601考题）求曲线解：曲线

y2?x上的点，使其到A(3,0)点的距离最短

y2?x上的点到A(3,0)点的距离公式为

d?(x?3)2?y2

2

d与d在同一点取得最大值，为计算方便求d的最大值点，将

2

y2?x代入得

求导得

d2?(x?3)2?x

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九龙坡电大11春高等数学基础期末复习题 11-3-31

令(d2(d2)??2(x?3)?1

5105105102并由此解出y??，即曲线y?x上的点(,)和点(,?) 222222)??0得x?到点

A(3,0)的距离最短。

2．求曲线

y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． y2?2x上的点?x,y?，即x,2xx2?2x?4

解：设曲线则d??到A?2,0?的距离记为d

??x?2?2?2x?2x?22d'?2x?2x?4?0 则x?1 为 唯一驻点 ∴当x?1 时 y?2或y??2

即点

?1,2?或?1,?2?到（2，0）的距离最短。

y2?4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短．

y2?4x，点P到点A的距离之平方为

3.（0607考题）求抛物线

解：设所求点P(x,y)，则x,y满足

L?(x?3)2?y2?(x?3)2?4x

2(x?3)?4?0，解得x?1是唯一驻点，易知x?1是函数的极小值点，

令L??当x?1时，y?2或y??2。所以，满足条件的有两个点(1,2)和(1,?2)

4.（0701、0801、1007考题）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省? (一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？) 解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为

s?2?r2?2?rh?2?r2?s??4?r?由s?2Vr

2Vr2

?0，得唯一驻点r?3V2?，此时h?34V?。

由实际问题可知，当底半径r?3V2?和高h?34V?时，可使用料最省。

5.（1001考题）某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省? 解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为

s??r2?2?rh??r2?2Vr

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九龙坡电大11春高等数学基础期末复习题 11-3-31

s??2?r?由s?2Vr2

?0，得唯一驻点r?3V?，由实际问题可知，当底半径r?3V?时可使用料最省，此时，h?3V?，即当

容器的底半径与高均为3V?时，用料最省

6 .(0901考题) 欲做一个底为正方形，容积为V立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省? 解：设底边的边长为x，高为

y，容器表面积为S，由已经x

2y?V，y?Vx2

s?x2?4y?x2?4x?令s?V4V2?x?xx2?(x2?4V1)?0 x是唯一驻点，易知x解得

3x?32V2V2?32V3是函数的最小值点，

此时有

y?，所以当x?2V3，

y?2V2时用料最省。

7．（0507考题）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：设圆柱体的底面半径为x,高为h，则h?l2?x22

v??xh??x22l?x22 v'?2?xl?x?2?x3l?x22?2?xl2?x2??x3l?x22???2?xl2?3?x3l?x22?0

则x?63l为唯一驻点，易知是函数的最大值点，这时h?l， 33?63l,h?l时，圆柱体的体积最大。 33所以，由实际问题可知x8．欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底面正方形的边长为x米，长方体的高为h米， 则 容积 62.5=x表面积：s2h h?62.5 x262.52502?x?xx2

?x2?4xh?x2?4x'

2502x3?250s?2x?2??0 2xx?2.5，

则x=5为唯一驻点，易知是函数的最小值点，这时h∴x?5,h?2.5时用料最省。

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