热力学系统的平衡态和物态方程

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第一章 热力学系统的平衡态和物态方程

1.1 设一定体气体温度计是按摄氏温标刻度的，它在0.1013MPa下的冰点及水的沸点时的压强分别为0.0405MPa和0.0553MPa,试问(1)当气体的压强为0.0101MPa时的待测温度是多少？(2)当温度计在沸腾的硫中时（0.1013MPa下硫的沸点为444.5℃），气体的压强是多少？ （答案：（1）-204.66℃；（2）1.06×105N·m-2）

1.2 水银气压计A中混进了一个空气泡，因此它的读数比实际的气压小，当精确的气压计的读数为0.102MPa时，它的读数只有0.0997MPa，此时管内水银面到管顶的距离为80 mm。问当此气压计的读数为0.0978MPa时，实际气压应是多少？设空气的温度保持不变。 （答案：1.0×105N·m-2） 1.3 一抽气机转速??400r?min（即转/分），抽气机每分钟能抽出气体20 l(升)。设容器的容积V＝2.0 l，问经过多长时间后才能使容器内的压强由0.101MPa降为133Pa。设抽气过程中温度始终不变。

?1（答案：40s）

1.4 两个贮存着空气的容器A和B，以备有活塞之细管相连接。容器A浸入温度为t1?1000C的水槽中，容器B浸入温度为t2?200C的冷却剂中。开始时，两容器被细管中之活塞分隔开，这时容器A及B中空气的压强分别为p1＝O.0533MPa，p2＝O.0200MPa，体积分别为V1＝0.25 l，V2＝0.40 l.试问把活塞打开后气体的压强是多少? （答案：2.98?10Pa）

1.5 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强为p的空气。先对管子加热，使从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？ （答案：0.20p）

1.6证明任何一种具有两个独立参数T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数kT，根据下述积分求得：

4lnV????dT??TdP?

如果??11，kT?，试求物态方程。 Tp1.7 张玉民47-1.12

1.8 描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力￡，物态方程是

f (￡,L,T)=0

1

实验通常在1Pa 下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为??1??L???，等温杨氏模量定L??T?L义为Y?L??L???，其中A是金属丝的截面积。一般来说，?和Y是T的函数，对L 仅有微弱A??L?T的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定，试证明，当温度由T1降至T2 时，其张力的增加为

?￡?-YA?(T2-T1)

1.9 张玉民46-1.1 1.10张玉民204-4.2 1.11张玉民204-4.4

1.12 把氧气当作范德瓦耳斯气体，它的a?1.36?10m6·Pa·mol-2，b?32?10 m3·mol-1，求密度为100kg·m-3、压强为10.1MPa时氧的温度，并把结果与氧当作理想气体时的结果作比较。 （答案：396K；389K）

1.13 把标准状况下22.4 l的氮气不断压缩，它的体积将趋于多大？计算氮分子直径。此时分子产生的内压强约为多大？已知氮气的范德瓦耳斯方程中的常数a?1.39?10m6·Pa·mol-2，

?1?1?6b?39.31?10?6 m3·mol-1。

（答案：0.0393×10-3m3；3.1×10-10m；90MPa）

第二章 热力学第一定律

2.1 一理想气体做准静态绝热膨胀，在任一瞬间压强满足pV??K，其中?和K都是常量，试证由?p1,V1?状态到?p2,V2?状态的过程中系统对外界所作的功为

W?p1V1?p2V2

??12.2 某金属在低温下的摩尔定体热容与温度的关系为

CV,maT3?3?bT ?2

其中?称为德拜特征温度，?，a，b都是与材料性质有关的常量。式中第一项是金属中晶格振

动对摩尔定体热容的贡献，第二项是金属中自由电子对摩尔定体热容的贡献。试问该金属的温度由0.01?变为0.02?过程中，每摩尔有多少热量被传送? （答案：3.75?10a??1.50?10b?） 2.3 已知范德瓦耳斯气体物态方程为

?8?42?a?p?V?b??RT ?2??mVm??其内能为

U?cT?a?d 2Vm其中a，b，c，d均为常量。试求（1）该气体从V1等温膨胀到V2时系统对外界所做的功；（2）该气体在定体下升高?T温度所吸收的热量。 （答案：（1）RTlnV2,m?baa；（2）c?T） ?V1,m?bV2,mV1,m?2.4 实验数据表明，在0.1MPa、300K~1200K范围内铜的摩尔定压热容为Cp,m?a?bT，其中

a?2.3?104J·mol-1·K-1，b?5.92 J·mol-1·K-2，试计算在0.1MPa下，温度从300K增到1200K

时铜的摩尔焓的改变。 （答案：2.47?10 J·mol-1）

2.5体积为1m的绝热容器中充有压强与外界标淮大气压强相同的空气，但容器壁有裂缝，试问将容器从0℃缓慢加热至20℃，气体吸收热量是多少，已知空气的定压比热容为

-1cp?0.99kJ?kg?-137，空气的摩尔质量为M?0.29kg，比热容比??1.41。 K（答案：24.7kJ）

2.6 用绝热壁做成—圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦的、绝热的可动活塞，活塞两侧各有物质的量为? (以mol为单位)的理想气体。设两侧气体的初始状态均为p0，V0，T0，气体定体摩尔热容CV,m为常量，??1.5。将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气体压强增为

27p0。试问：（1）对活塞右8侧气体做了多少功，（2）右侧气体的终温是多少?（3）左侧气体的终温是多少，(4)左侧气体吸收

3

了多少热量？

（答案：（1）??RT0；（2）T0；（3）

n322119T0；（4）?RT0） 422.7 满足PV?C的方程成为多方方程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn 为

Cn??33n???CV n?12.8 室温下有体积为2.3?10m、压强为0.10MPa的氧气，经某多方过程膨胀到体积为

4.1?10?3m3、压强为0.05MPa，试求多方指数、内能变化、吸（或放）的热量及所做的功。

（答案：1.2；-63J；63J；-126J）

2.9 假设理想气体的Cp 和CV 之比? 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系式中药用到一个函数F(T)F（T）,其表达式为

lnF?T???（答案：V?F?T??Const）

dT???1?T

2.10 已知某种理想气体在p?V图上的等温线与绝热线的斜率之比为0.714，现1mol该种理想气体在p?T图上经历如题图2-1所示的循环。试问：(1)该气体的CV,m是多少?(2)循环功是多少？(3)循环效率是多少?

题图2-1

（答案：2.5R；RT1?ln2?1?；

2?1?ln2?） 54

（1）f?p??R 2pap T（2）物态方程为pv?RT?（3）Cp?52apR?2 2T4?T4?V2?V1?） 34.12 计算热辐射在等温过程中体积由V1变到V2时所吸收的热量。 （答案：Q?4.13 计算以热辐射为工作物质的卡诺循环的效率。 （答案：??1?T2） T14.14 一均匀各向同性的顺磁固体，忽略提交变化，并取单位体积。已知：（a）它满足居里定律，

CH，（C为正常数）；（b）C0?CMM?0?bT2（b为正常数，T不太低时）。 T??CM?（1）证明???0，亦即CM与M无关；

??M?T（2）求CH?CM；

即M?（3）求以?T,H?为独立变量的熵的表达式； （4）求以?M,H?为变量的可逆绝热过程方程； （5）求等温磁化过程（磁场从0?H0）吸收的热量； （6）求绝热去磁过程（磁场从H0?0）的温度变化； （7）计算以此顺磁固体为工作物质的可逆卡诺循环的效率。 （答案：（2）CH?CM??0CH2T2； （3）S?T,H??? （4）M?AH （5）Q??212b??CH?So ??022Tb??0CH2（A是常数）；

?0CH022T12????b?? （6）?T?T1?1???。 ?2b??0CH0??????4.15 已知超导体的磁感应强度B??0(H?M)?0，求证： （1）CM与M无关，只是T的函数；

（2）U?CMdT?（3）S??0（放热）；

??0M22?U0；

CM?TdT?S0。

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第五章 相变

5.1利用无穷小的变动，导出下列各平衡判据(假设总粒子数不变，且S?0)： （1）在U及V不变的情形下，平衡态S的极大； （2）在S及V不变的情形下，平衡态U的极小； （3）在U及S不变的情形下，平衡态V的极小； （4）在H及p不变的情形下，平衡态S的极大； （5）在S及p不变的情形下，平衡态H的极小； （6）在T及V不变的情形下，平衡态F的极小； （7）在F及T不变的情形下，平衡态V的极小； （8）在T及p不变的情形下，平衡态G的极小。 5.2试由熵判据推证热动平衡的稳定性条件： CV?0， ???p???0 ??V?T5.3试由CV?0及?5.4求证： （1） ???p???p???0证明Cp?0及???0。 ?V?V??T??s??????S??????；

?T??V,n??n?T,V（2）???????V?????；

??p?T,n??n?T,p??v?????????T???

??n?T,V??T?V,n1??V???S?，体胀系数 ?????和等温压缩?TV?T??p??p（3）?5.5 两相共存时，两相系统的定压热容量Cp?T?系数kT??1??V???均趋于无穷。试加以说明。 V??p?T5.6 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为

11

?Um?L?1???pdT?? Tdp?如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简。 5.7 在三相点附近，固态氨的蒸汽压（单位为Pa）方程为： lnp?27.92?液态氨的蒸汽压方程为

lnp?24.38?3754 T3063 T444试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热。 （答案：195.2K；5934Pa；2.547?10J；3.120?10J；0.573?10J）

5.8 以C?表示在维持?相与?相两相平衡的条件下，使1mol?相物质升高1K所吸收热量，称为?相的两相平衡的热容量。试证明： C??Cp?????Vm??L??? ??Vm?Vm?T??p??如果?相是蒸汽，可看作理想气体，?相是凝聚相，上式可化简为C??CP?么饱和蒸汽的热容量有可能是负的。

5.9 试证明，相变潜热随温度的变化率为

L，并说明为什TdLL???Vm????Vm???L?? ?Cp?Cp???????????dTT????T?p??T?p??Vm?Vm如果?相是气相，?相是凝聚相，试证明上式可简化为

dL?Cp??Cp?。 dTdV5.10 蒸汽与液相达到平衡，以m表示在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。

dT 试证明蒸气的两相平衡膨胀系数为

1dVm1?L???1??

VmdTT?RT?5.11 证明范德瓦耳斯气体在T?TC的p?V等温线上的极小点与极大点的连线轨迹为 pv?a?v?2b?

312

5.12 证明半径为r的肥皂泡的内压与外压之差为

4?。 r第六章 输运现象与非平衡态理论

6.1 设一空心球的内半径为r1，温度为T1，内半径为r2，温度为T2，球内热传导的速率Q恒定。则当空心球的热导率为?时，内外表面的温度差是多少？

Q11(?)） 4??r1r26.2 两根金属棒A、B尺寸相同，A的导热系数是B的两倍，用它们来导热。设高温处与低温处的温度保持恒定，求将A、B并联使用和串联使用时热传递能量之比（设棒的侧面是绝热的）。 （答案： 9:2）

6.3 一细金属丝将一质量为m、半径为R的均质圆盘沿中心轴垂直吊住，盘能绕轴自由转动，盘面平行于一大的水平板，盘与平面间充满了黏度为?的液体。初始时盘以角速度?0旋转，假定盘面与大水平板间距离为d，且在任一竖直直线上的速度梯度都相等，试问在t秒时盘的旋转角速度

（答案：是多少？ （答案：?0exp(??R2?tmd)）

6.4 若旋转黏度计（如图6.5所示）中的内、外筒半径分别为r和R，且???R?r?与r相比不是很小，试问当悬丝扭转力矩为G、圆筒旋转角速度为?时所测得的流体的黏度是多少？ （答案：

G(R?r)） 22??rRL56.5 气体的平均自由程可通过实验测定。现测得t?20℃，压强为1.0?10Pa时氩和氮的平均自

由程分别为?A?9.9?10?8m，?N?27.5?10?8m，试问：（1）氮和氩的有效直径是多少？（2）

t?20℃，压强为2.0?104Pa时的?A等于多少？（3）t??40℃，压强为1.0?105Pa时的?N等

于多少？ （答案：（1）0.6；(2)4.95×10-7m；(3)2.19×10-7m）

6.6 在标准状态下，氦气的黏度为?1，氩气的黏度为?2，它们的摩尔质量分别为M1和M2。试问（1）氦原子的碰撞截面?1与氩原子的碰撞截面?2之比等于多少？（2）氦的热导系数?1与氩的热导系数?1之比等于多少？（3）氦的扩散系数D1与氩的扩散系数D1之比等于多少？（4）此时测得?1?1.87?10?3N?s?m-2，?2?2.11?10N?s?m，用这些数据近似估算碰撞截面?1和

?3-2?2。

??MD?M?2?2M1；（2）2?2?1；（3）2?2?1；（4）1.0×10-21m，2.8×10-21m） ???1?1M2D1?1M2?1?1M26.7 某种氮原子气体，摩尔质量为Mm，温度为T，压强为p。已知一个分子在行进x（单位为

（答案：（1）m）的路程中受碰撞的概率为1?1e，则该分子的平均自由程是多少？该气体的黏度和热传导系数分别是多少（认为分子是刚性的，分子直径是d）？

13

2（答案：

x12Mm12；xp；xp?CV,m） 23?RT3?RTMm6.8 杜瓦瓶夹层的内层外径为10.0cm，外层内径为10.6cm，瓶内盛着冰水混合物，瓶外室温为

25℃。（1）如果夹层内充有一个大气压的氮气，近似的估算由于气体热传导所引起的、单位时间内通过单位高度杜瓦瓶流入的热量。取氮分子有效直径为3.1?10量为（1）的答案的1/10，夹层中气体的压强需降低到多少？ （答案：(1)1.4W·cm-1；(2)2.1×10-1N·m-2）

?10m。（2）要使热传导流入的热

第七章 近独立粒子的最概然分布

7.1 试证明：任体积V内，在????d?的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

2?V32122m?d? ??h37.2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为

D???d??2L?m?D???d????d?

h?2??27.3 试证明，对于二维自由粒子，在面积L内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为

2?L2D???d??2md?

h7.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为??cp。试求在体积V内，在????d?的

4?V2?d?） 能量范围内三维粒子的量子态数。（答案：D???d??(ch)37.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?。粒子间的相互作用很弱，可以看作是近似

独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为

1/2???al??le?????l 和 al??le?????l

其中?l和?l是两种粒子的能级，?l和?l是能级的简并度。

7.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，试分别写出平衡状态下的两种粒子的最概然分布。

??第八章 玻耳兹曼统计

8.1 试根据公式p???all??l证明，对于非相对论粒子 ?V14

p21?2???222? ????nx?ny?nz, nx,ny,nz?0,?1,?2? 2m2m?L?2????有 p?2U 3V 上述结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 8.2 根据公式p???all??l证明，对于相对论粒子 ?V12??2222?nx?ny?nz?, nx,ny,nz?0,?1,?2? ??cp?cL??有 p?U 3V上述结论对玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 8.3 根据公式p???all??ls证明，对于能谱关系为???p(s?1,2)的粒子组成的n维理想?VsU n气体，其内能和压强间存在关系 pV(n)?n式中V(n)?L是n维理想气体的“体积”。上述结论对玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。

8.4 试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为

S??Nk?PslnPs，

se?????se???sP?式中P,?是对粒子的所有量子态s?s是粒子处在量子态s的概率，

NZ1s求和。

对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同? （答案：S??Nk?PlnP?Nk）

sss8.5 固体含有A、B两种原子，试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为

N!??Nk?xlnx??1?x?ln?1?x??

?Nx??!N(1?x)?!其中N是总原子数，x是A原子的百分比，(1-x)是B原子的百分比注意x?1。上式给出的熵

S?kln为正值。

8.6 （1）对于三维非相对论理想气体，粒子能量的可能值为

p21?2???222? ????nx?ny?nz， nx,ny,nz?0,?1,?2? 2m2m?L?2????试由粒子的量子能级出发，求单原子分子的平动配分函数。

（2）由于粒子的平动动能总是连续的，试从粒子的态密度出发，求单原子分子的平动配分函数。

15

8.7 考虑一极端相对论性理想气体，粒子的静止质量可以忽略。粒子的能量动量关系为??cp，其中c为光速，粒子的内部运动已忽略。试求： （1）粒子的配分函数；

（2）气体的物态方程、内能和熵； （3）可逆绝热过程的过程方程。

?2?mkT?（答案：Z1?V??） 2h??32?8?VNkT8?V（答案：（1）Z1?；（2）p?，U?3NkT，S?Nkln?V(?hc)3??N?kT????hc?3?（3）??4Nk；

??pV?=常数，式中??4） 3s8.8考虑由能谱关系为???p(?为一常数，s?1,2)的粒子组成的n维经典理想气体， （1）试求粒子的配分函数；

（2）试求气体的物态方程和内能； （3）证明气体的内能和压强间存在关系 pV(n)?nsU nns式中V(n)?L是n维理想气体的“体积”。

?1?（答案：（1）Z1?BV(n)?????ns1?n??1????，式中B?nCn??h?s????nNkTnU?NkT）；（2）p?，

sV(n)s8.9 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。是写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率v和方均根速率vrms。

m22m2?vx?vy??v??kT2kTmm??2kT)e2kTdvxdvy；2?N?v?v?（答案：N(；；） evdvrms?2?kT2mm?2?kT?????8.10 试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度vr?v2?v1和相对速率vr?vr的概率分布，

并求相对速率的平均值vr。

8.11 试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于v~v?dv之间的分子数为

v2m32?2mkT)ev3dv d???n(2?kT8.12 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率、方均根速率和平均能量。 （答案：v?9?kT4kT12；vrms?；mv?2kT）

28mm8.13已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为

122px?py?pz2?ax2?bx 2mb2其中a、b是常数，求粒子的平均能量。（答案：??2kT?）

4a????8.14 试求双原子分子理想气体的振动熵。

16

（答案：Sv?Nk???v?1?Nkln1?e?vT） ??vT?T?e?1??8.15 对于双原子分子，常温下kT远大于转动的能级间距。试求双原子分子理想气体的转动熵。 （答案：Nk?NklnT?r）

8.16 试求二维谐振子的配分函数及平均能量。 （1）如果谐振子是经典的；

（2）如果谐振子是量子的，其能级和简并度分别为： ?n?(n?1)?,n?1,2, ?n?(n?1)

?1?e??????1（答案：（1）Z1??，； （2），） ??2kT??2??Z??1?????2??e?1?(1?e)?2????

2第九章 玻色统计和费米统计

9.1 试证明，对于理想玻色或费米系统， S?kln?

9.2 试证明，理想玻色或费米系统的熵可以表示为 SB.E.??k???fsslnfs??1?fs?ln?1?fs???

SF.D.??k??fslnfs??1?fs?ln?1?fs??

s其中fs为量子态s上的平均粒子数，

?s对粒子的所有量子态求和。并证明当fs??1时，有

SB.E.?SF.D.?SM.B.??k??fsslnfs?fs?

9.3 求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式。

32?1N?h2??（答案：p?nkT?1?52???）

2gV2?mkT??????

9.4 试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象。 9.5试根据普朗克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：

u?d??8?hcd?hce?1

并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长?m满足方程：

?kT?517

5e?x?5，

其中x?hc?mkT。这个方程的数值解为x?4.9651，因此 ?mT?hc4.9651k

?x?m随温度增加向短波方向移动。

9.6 太阳辐射的光谱分布和黑体辐射非常接近，每单位波长的最大强度出现在480nm处。问：太阳的表面温度是多少？ （答案：6000K）

9.7 试求光子气体巨配分函数的对数，并由此求内能U、辐射压强p、熵S、自由能F和吉布斯函数。并说明此时的G能否作特性函数。

?2V?1??2k4?2k444?2k443U?VTS?VTp?T（答案：ln??；；；；??333333345c???15c45c45cF??3?2k445c33VT4；G?0）

9.7 试推导二维空间平衡辐射的普朗克公式，并由此导出二维空间黑体辐射的斯特藩—玻耳兹曼

定律。

A?2d?9.6?k33（答案：U(?,T)d??；u(T)?T） 2??2?ce?1(ch)9.8银的传导电子密度为5.9×10/m。试求0K时电子的费米能级、费米速率和电子气体的简并

压。

10（答案：?F?5.6eV；vF?1.4?106m?s；p?2.1?10Pa）

-128

3

9.9 利用上题结果计算T?300K时银中电子气体的化学势?的一级修正。 （答案：???10?4eV）

9.10 试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。 （答案：v?3pF，pF是费米动量） 4m139.11 试求在极端相对论条件下，自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压。

31?3n?-1U?N?(0)p?n?(0)） m?s（答案：?(0)??；；?44?8??9.12 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n。试求0K时二维电子气体的费米能量、内能

和简并压。

11h2n；U?N?(0)m?s-1；p?n?(0)） （答案：?(0)?224?mC9.13 试根据热力学公式S??VdT及低温下的热容量，求低温下金属中自中电子气体的熵。

T?2kT（答案：S?Nk）

2?(0)9.14 试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，并由此求电子气体的内能U、压强p和熵S。

18

16?V?2m?（答案：ln????15h3???32(??)52?5?2??1?2?） ?8??第十章 系综理论

10.1 证明在正则分布中熵可以表为 S??k其中?s???ssln?s

1??Ese是系统处在s态的概率。 Z10.2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能和熵。

??2?mk?325?NkT33V（答案：p?，U?NkT，S?NklnT?Nkln?Nk?ln????） 2V22N2???h???10.3 体积V内盛有两种组元的单原子混合理想气体，组元A、B的粒子数分别为NA和NB，温度为T。试用正则分布导出混合理想气体的物态方程、内能和熵。

kT3，U?(NA?NB)kT， V2?V?2?mAkT?325??V?2?mBkT?325?S?NAk?ln?????NBk?ln????） 222?2??????NA?h??NB?h?10.4 由N个单原子分子组成的理想气体，粒子的能量动量关系为??cp，其中c为光速，试求

（答案：p?(NA?NB)气体的配分函数，并由此求物态方程、内能和熵。

3NkT1??kT??p?（答案：Z(N,T,V)?；；U?3NkT?8?V???VN!?hc??????8?V?kT?3?S?Nkln?????4Nk）

Nhc??????10.5 试用正则分布计算N个双原子分子组成的理想气体的物态方程、内能和熵。

?V?2?mkT?32?8?2IkT?7?NkT5（答案：p?，U?NkT，S?Nk?ln????） ??22V2??h?N?h??2??N；

10.6 试根据正则分布导出实际气体分子的速度分布。

m222??vx?vy?vz??m?2kT（答案：w?vx,vy,vz?dvxdvydvz???edvxdvydvz） ??2?kT?3210.7 试用巨正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能、熵和化学势。

??2?mk?325?3NkT3V（答案：p?，U?NkT，S?NklnT?Nkln?Nk?ln???? 2222?VN??h???19

V?2?mkT????kTln??）

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