01-08东北大学高等数学（上）期末考试试卷

东北大学高等数学(上)期末考试试卷

2001.1.10

一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共3小题, 每小题4分, 共12分）

1．?e3xxdx?（ ）

11?x42．d（ ）=(?1x)dx

23．与三点M1(1,?1,2),M2(3,3,1),M3(3,1,3)决定的平面垂直的单位向量

a?0?（ ）

二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本

大题共3小题, 每小题4分, 共12分) 1．当x?0时，

14(cos3x?cosx)是x的（ ）

2（A） 高阶无穷小；（B）同阶无穷小；但不是等价无穷小； （C） 低阶无穷小；（D）等价无穷小 2．若g(x)?xec2x,f(x)??0xe2t3t?1dt，lim2f?(x)g?(x)x????32则必有（ ）

（A）c?0；（B）c??1； （C）c?1； （D）c?2

????3．已知a?1,b?2,(a,b)??4??，则a?b?（ ）

（A）5； （B）1?2； （C）2；（D）1

三．试解下列各题（5?7=35分） 1. 求极限 limtanx?x2xsinxx2?4?x，求y? 2. y?xarcsin2x?0.

2?x?t2?2t,dy3. 设函数? 求. 2dx?y?ln(t?1),4. 求不定积分 ?5. 计算?2aadxx1?x2.

xln(x?a)dx.

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?x2,x?1四、（9分）设f(x)?? 研究f(x)的连续性与可导性.

??x,x?1五、（9分）已知直线L：??x?y?3?3x?y?z?1, 及点P0(2,1,?2)，求点P0到直线L的距离.

六、（9分）已知曲边三角形由抛物线y2?2x及直线x?0,y?1所围成，

求：（1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕y?0旋转所成旋转体的体积.

七、（8分）设可导函数y?f(x)由方程x3?3xy2?2y3?32所确定，试讨论并求出f(x)的极值.

八、（6分）设函数f(x)在闭区间?2,4?上有连续导数，且f(2)?f(4)?0，

证明：maxf?(x)?2?x?4?42f(x)dx.

东北大学高等数学(上)期末考试试卷

2002.1.21

一、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题共4小题, 每小题3分, 共12分）

1a??x?1cos,x?11. f(x)??若在x?1连续, 则a = . x?1?x?1,?0,2.?(sinx2?cosx2)dx? .

dsinx223.若f(x)在(??,??)上连续, 则

?f(t)dt? . dx3x??????4.设a?b?a?b,a??3,?5,8?,b???1,1,z?,则z = .

二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案, 填在题末的括号中）(本

大题共4小题, 每小题4分, 共16分)

1．方程x3-3x+1=0再区间(0,1)内（ ）

（A）无实根；（B）有唯一实根；（C）有两个实根；（D）有三个实根.

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2?1?tx??2dy?1?t2．已知?, 则为（ ） dx?y?2t,2?1?t?（A）

t?12t

2

; （B）

1?t2t

2

; （C）

x?12x2; （D）

2tt?12.

3．半径为R的半球水池已装满水, 要将水全部吸出水池, 需做功W为（ ） （A）??(R?y)dy； （B）??ydy； （C）??y(R?y)dy； （D）??y2ydy.

0000R22R2R22R????4. 设向量a?0,b?0, 指出以下结论中的正确结论( ). ?????（A）a?b?0是a与b垂直的充要条件；

（B）a?b?0是a与b平行的充要条件；

????（C）a与b的对应分量成正比是a与b平行的充要条件；

??????????（D）若a??b(?是数), 则a?b?0.

三．试解下列各题（7?5=30分）

1．求极限limn(n??n?1n?2?1).

2. 设函数y =y(x)由方程e y +xy =e所确定, 求y??(0). 3. y=xlnx, 求y(n).

4．求不定积分?x2arctanxdx. 5．计算??0sinx?sinxdx.

35四．（6分）求过点(0,2,4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程. 五．（6分）讨论函数f(x)??2?sin2x?ln(1?x)x?0x?0, 在x =0处的连续性与可导性.

六．（10分）求由y?2?x,x?y,y??x在上半平面围成图形的面积.

七．（9分）在椭圆4x 2+y 2=4上任一点M (x, y) (点M在第一象限)处的切线与ox轴, oy轴分

别交于A, B两点. (1)试将该切线与两坐标轴围成的三角形的面积s表示为x的函数； (2) 问x为何值时三角形面积s最小, 并求出此最小面积.

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八．（6分）设函数f (x)是二次可导函数,x =a, x =b ( a < b ) 是方程f (x) =0的相邻两个根, 又

存在c?(a,b), 使f (c) < 0. 试证: (1)在(a, b)内f (x) <0; (2) 在(a, b) 内至少存在一点?, 使f??(?)?0.

东北大学高等数学(上)期末考试试卷

2003.1.10

一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题, 每小题3分, 共12分）

1． 设f(x)处处连续，且f(2)?3，则limsin3xxx?0f(sin2xx)?( )

2． 函数f(x)?2x3?9x2?12x?3在闭区间( )单调减. 3． ?tan2xdx?( )

??????????4． 已知a?3i?j?2k,b?i?2j?k，则a,b夹角的余弦是( ) 二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本

大题共4小题, 每小题4分, 共16分)

1．f(x)?x(ex?e?x)在其定义域(??,??)是（ ）.

（A）有界函数； （B）单调函数； （C）奇函数； （D）偶函数 2．设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)???(x?100)，则f?(1)=（ ）. （A）101！； （B）-100！； （C）?3?101!100； （D）?100!99.

3．定积分? （A）4．直线

1240sin2xdx=（ ）

32?； （B）

?y?4?7； （C）?z312； （D）?32

x?3?2与平面4x?2y?2z?3的关系是（ ）

（A）平行，但直线不在平面上； （B）直线在平面上； （C）垂直相交； （D）相交但不垂直. 三．试解下列各题（6?6=36分）

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1． 求极限limex2?1?xx22x?0x(e2 2.设y?cos222xlnx,求dydx22

?1)x?y?arctanyx3．设y?y(x)由方程ln??x?4．设??y??所确定（x?0，y?0），求dy

??t0t0ecosuduesinuduuu，求dydx22。其中??2?t??2.

5．求?x2exdx 6．计算?a0x2 a?xdx（a?0）221?x?1?四、（6分）设f(x)??e??ln(1?x)，求f(x)的间断点，并说明间断点的所属类

?1?x?0x?0型.

?x?2y?4z?7?0五、（8分）求过点（2，0，-3）且与直线?垂直的平面方程.

3x?5y?2z?1?0?六、（8分0求由曲线y?x3与y?2x?x2所围城的平面图形的面积. 七、（8分）曲线y?13x （x>0）上哪一点的法线在y轴上的截距为最小.

6八、（6分）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且f(a)?f(b)?0，又有

f(c)?0(a?c?b).

试证：在内至少存在两点?1，?2使f??(?1)?0，f??(?2)?0.

东北大学高等数学(上)期末考试试卷

2004.1.

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案, 填在题末的括号中）(本

大题共5小题, 每小题3分, 共15分)

1．设f(x)在x?a处可导, 则f?(a)?（ ） （A）limh?0f(a?h)?f(a)h； （B）limh?0f(a?2h)?f(a)h；

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（C）limh?0f(a?2h)?f(a)hx； （D）limh?0f(a?h)?f(a?h)2h.

2．函数F(x)??a2f(t)dt在[a，b]上可导的充分条件是：f(x)在[a，b]上（ ）

（A） 有界； （B）连续； （C）有定义； （D）仅有有限个间断点. 3．若f(x)?x?ax?b, 当x??时为无穷小, 则（ ）

x?1（A）a?1，b?1；（B）a?1，b??1；（C）a??1，b??1；（D）a??1，b?1.

?ex?1，当x?04．设f(x)??, 则f(x)在x?0处（ ）

?2x，当x?0（A）limf(x)不存在；（B）limf(x)存在, 但在x?0处不连续；

x?0x?0（C）f?(0)存在； （D）f(x)在x?0处连续, 但不可导. 5．x?0是函数f(x)?21?sinx|x|的（ ）间断点.

1?ex（A）跳跃；（B）可去；（C）无穷；（D）振荡.

二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）

1．limtannxtanmx（其中m,n为正整数）= .

2x??2．?x?(arctanx)1?x2dx? .

13．lim(1?sinx?023x)lncosx? . 1?2?xarctan,24．设f(x)??x?a,?x?0x?0, 在x?0处连续, 则a= . 325．为使曲线y?ax?bx有拐点(1,3), 则系数a= , b = . 三．试解下列各题（7?6=42分）

1．求limx?0tanx?xxsinx2.

x2．设y?xarcsin2?4?x, 求y?.

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2?2tdy?x?3．求参数方程?. 2所确定的函数y?y(x)的二阶导数2dx??y?1?t4．设y?ey?ln(cosx)?0, 求 dy.

5．计算不定积分??lnxx?1dx.

6．计算定积分?2??2cosx?cosxdx.

37．计算广义积分???1dxx(1?x)2.

四、应用题（本题16分, 每小题8分）

2221． 求星形线x3?y3?a3所围成图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积. 2． 在曲线y?1x2上求一点M, 使过该点的切线被两坐标轴所截得的长度最短, 并求

出这最短的长度.

五、证明题（本题12分, 每小题6分）

1． 证明不等式e?ex，（x?1）

2． 设f(x)在[0, 1]上连续, 在（0,1）内可导, 且f(0)?f(1)?0，f()?1,

21x证明在（0,1）内有一点?, 使f?(?)?1.

东北大学高等数学(上)期末考试试卷

2005.1.

一、填空题（本题20分，每小题4分）

?x?a?1．已知lim???9，则a = . x??x?a???2，x?1?2．设函数f(x)??1?x2，当a = ,b = 时，f(x)在x =1处可导.

?ax?b，x?1?x3．方程x?x?1?0共有 个正根.

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74．当x? 时，曲线y?ax2?bx?c的曲率最大.

?5．?20xsinxdx? .

二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）

1．下列结论中，正确的是（ ）

（A）若limx2n?a，limx2n?1?a，则limxn?a；

n??n??n??（B）发散数列必然无界；

（C）若limx3n?1?a，limx3n?1?a，则limxn?a；

n??n??n??（D）有界数列必然收敛.

2．函数f(x)在x?x0处取得极大值，则必有（ ）. （A）f?(x0)?0； （B）f??(x0)?0；

（C）f?(x0)?0或f?(x0)不存在； （D）f?(x0)?0且f??(x0)?0. 3．函数F(x)??axf(t)dt在[a，b]上可导的充分条件是：f(x)在[a，b]上（ ）

（A）有界； （B）连续； （C）有定义； （D）仅有有限个间断点.

?4．设M???32?sinx1?x2??2cos4xdx，N??2??2(sin3x?cos4x)dx，

P??2??2(xsin2x?cos4x)dx，则必有关系式（ ）

（A）N?P?M； （B）N?M?P； （C）M?P?N； （D）P?M?N. 5．设y?f(x)在x?x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果f?(x0)?f??(x0)?0，而f???(x0)?0，则必有（ ）.

（A）x0是极值点，(x0，f(x0))不是拐点； （B）x0是极值点，(x0，f(x0))不一定是拐点； （C）x0不是极值点，(x0，f(x0))是拐点； （D）x0不是极值点，(x0，f(x0))不是拐点. 6．直线L：x?3?2?y?4?7?z3与平面?：4x?2y?2z?3的位置关系是（ ）

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（A）L与?平行但L不在?上； （B）L与?垂直相交； （C）L在?上； （D）L与?相交但不垂直.

6*．微分方程y???5y??6y?xe2x?e3x的特解形式为（ ）

(A)y*?x(ax?b)e2x?cxe3x； （B）y*?ae2x?b(x?c)e3x；

（C）y*?(ax?b)e2x?ce3x； (D) y*?(ax?b)e2x?cxe三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

1．计算?43x

x?22x?10dx.

2．求?xx?4x?52dx

2?x?ln(1?t2)dy3．设?，求. 2dx?y?t?arctant4．求lim?x?x2ln(1?)?.

x???x?四、解答下列各题（每小题7分，共21分）

1．在半径为R的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值.

2．计算由椭圆旋转体的体积.

3．在由平面2x?y?3z?2?0和平面5x?5y?4z?3?0所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点M0(4,?3,1).

3*．在曲线上每一点M(x,y)处切线在y轴上的截距为2xy，且曲线过点M0(1,2). 求此曲线方程.

3?上连续，五、（7分）设函数f(x)在?0，在（0，3）内可导，且有

f(?)132?1?xa22?yb22?1所围成的图形的面积以及此图形绕x轴旋转一周而形成的

?0xf(x)dx1?f(3).

试证：必有??(0,3)使f?(?)???.

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东北大学高等数学(上)期末考试试卷

2006.1.

一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）

1．下列结论中，正确的是（ ）

（A）有界数列必收敛； （B）单调数列必收敛； （C）收敛数列必有界； （D）收敛数列必单调.

2.设函数f(x)在U(x0,?)内有定义,对于下面三条性质: ①f(x)在x0点连续;②f(x)在x0点可导;③f(x)在x0点可微. 若用“P?Q”表示由性质P推出性质Q，则应有[ ]. (A)②?③?①; (B) ②?①?③; (C)③?①?②; (D) ①?②?③.

3. 曲线y?x3?x（ ）.

（A）既有水平渐近线，又有垂直渐近线； （B）仅有水平渐近线； （C）仅有垂直渐近线； （D）无任何渐近线. 4．函数f(x)在[a,b]上有定义，则f(x)??baf(x)dx存在的必要条件是（ ）

（A）f(x)在[a,b]上可导； （B）f(x)在[a,b]上可导连续； （C）f(x)在[a,b]上有界； （D）f(x)在[a,b]上单调. 5．y?y(x)是微分方程y???3y?e2x的解，且y?(x0)?0. 则必有（ ）

（A）y(x)在x0某邻域内单调增加； （B）y(x)在x0某邻域内单调减少； （C）y(x)在x0取极大值； （D）y(x)在x0取极小值. 6．若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数是（ ）. （A）1?sinx； （B）1?sinx； （C）1?cosx； （D）1?cosx.

二、填空题（本题36分，每小题4分）

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?x?1?1．lim??? . x???x?1?x2．f(x)?11?1x1x的可去间断点是x = .

3．y?arctan1，则dy? . 4．?xexdx的值是 .

05．limtanx?xxsinx2x?0? .

6. x?0?时，7. ???0xsinx?x，则?? . 2?dx(x?2)(x?3)? .

2?x?2t?t2dy8. 设?，则2? . 3dx?y?3t?t9. 微分方程

dydx?1xy??4满足条件y(1)?1的特解是y = . 三、（8分）计算不定积分?xarctanx1?x22dx.

四、（8分）求曲线y?x3?6x2?12x?4的升降区间，凹凸区间及拐点. 五、（8分）求微分方程y???3y??2y?3xe2?x的通解.

六、（10分）在?0,1?上给定函数y?x，问t为何值时，如图所示阴影部分的面积S1与S2的和最小？并求此时两图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.

t 2 0 A S1 t S2 1 x

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七、（6分）设f(x)在?a,b?上连续，且不恒为常数. 又f(x)在(a,b)内可微，且

f(a)?f(b).

试证：???(a,b)使f?(?)?0.

东北大学高等数学(上)期末考试试卷2007.1.10

一．单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1、设数列{xn}收敛，{yn}发散，则必有[ ]成立． (A) limxnyn存在；(B) limn??ynxnn??存在；(C) lim(xn?yn)不存在； (D) limn??xnynn??存

在． .

?1?ex?1,x?0,?2．f(x)??2,x?0,则x?0是f(x)的[ ]．

?1?1?xsin,x?0,x?(A)可去间断点； (B)跳跃间断点； (C)无穷间断点； (D)连续点．

3．设x在点x0处有增量?x，函数y?f(x)在x0处有增量?y．又f?(x0)?0， 则当?x?0时，?y是该点微分dy的[ ]．

(A)高阶无穷小； (B)等价无穷小；

(C)低阶无穷小； (D) 同阶但不是等价无穷小．

4、设f(x)在(??,??)上二阶可导且为奇函数，又在(0,??)上

f?(x)?0,f??(x)?0,

则在(??,0)上必有[ ]．

(A) f?(x)?0,f??(x)?0 ； (B) f?(x)?0,f??(x)?0 ； (C) f?(x)?0,f??(x)?0 ； (D) f?(x)?0,f??(x)?0 ． 5、设???10xdx，???10xdx，??2?102x?xdx，则有关系式[ ]成立．

2(A) ?????； (B) ?????；

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(C) ?????； (D) ?????． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）

11．lim(1?sin3x)2x=______．

x?02．方程x5?5x?1?0在(1,2)内共有______个根．

?3．?4．?2??2(x?1)sin72xdx?_____．

arctanxx(1?x)dx?=__________________．

5．球体半径的增长率为0.02m________m3s，当半径为2m时，球体体积的增长率为

s．

6．微分方程y???2y??3y?0的通解为y?________________． 三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共计24分） 1.

?x?lnt设?3?y?t，求

1dydx2t?12．

2．求lim(x?01xx2?xtanxdx．

)．

223．求?4?x4．求微分方程(x?y)ydx?x2dy?0的通解．

四．（10分）设y?xe?x(0?x???)求函数的极大值，函数曲线的拐点．并求曲线与直线x?0,x?1,y?0所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积．

五．（8分）在曲线上任一点M(x,y)处切线在y轴上的截距为2xy2，且曲线经过点M0(1,2)，求此曲线的方程．

?x20?x?1六．（8分）设f(x)??，适当选取a,b值，使f(x)成为可导函数．令

ax?bx?1?87452137.doc - 13 -

?(x)??x0f(t)dt，并求出?(x)的表达式．.

七．（6分）设f(x)具有二阶连续导数，且f(a)?f(b)，f?(a)?0,f?(b)?0,.试证：???(a,b)，使f??(?)?0．

东北大学高等数学(上)期末考试试卷2008.1.10

一．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

?n2?n n为奇数??nf(n)???1 n为偶数??n1．数列，当n??时，f(n)是 [ ]．

(A) 无穷大；(B) 无界但非无穷大；(C) 无穷小； (D) 有界但非无穷小． 2．设y?cos(2x?(A) 2ncos[2x?(C) cos[2x?3．设F(x)?n?2?4)，则y(n)? [ ]．

n2n?14]；

?]； (B) 2cos[2x?n?4]；

(D) cos[2x?sintdt，则F(x)为

2n?14?]．

?x?2?xesint[ ]．

(A) 正常数； (B) 负常数； (C) 恒为零 (D) 不为常数． 4．设y=y(x)是方程y???3y??e2x的解，且y?(x0)?0，则y(x)在 [ ]． (A) x0的某个邻域内单调增加； (B) x0的某个邻域内单调减少；

(C) x0处取极小值； (D) x0处取极大值．

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

1. y3?e2x?sin(xy)?0在x?0处的切线方程是 ． 2. 一个圆锥形容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m，则灌入水时水的体积

V对水面高度h的变化率为 ．

3．曲线y?x3?6x2?12x?4的拐点为 ．

?dy2x?(1?y)e?4．满足微分方程初值问题?dx 的解为y＝ ．

?y?x?0?1 87452137.doc

- 14 -

?3?x2, 0?x?1;??2三、（7分）设 f(x)?? 试研究函数f(x)在[0, 2]上是否

1?, 1?x?2.??x满足拉格朗日中值定理的条件.

四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1. limln(1?2sinx)1?x?1?x1x?0.

2. lim?x?03.

?sinx?x?. ?x?2??x?ln1?t设???y?arctant ， 计算

dydx22

4. 计算积分

?ln(x?1121?x)dx

25. 计算积分?1?xx22dx

6. 求微分方程y???4y?xcosx的通解．

五、（7分）由曲线y?0，x?8，y?x2围成曲边三角形OAB，其中A为y?0与

x?8的交点，B为y?x2与x?8的交点．在曲边OB上求一点，过此点作y?x2的

切线，使该切线与直线段OA，AB所围成的三角形面积为最大

六、（7分）求心形线r?a(1?cos?)与圆r?3acos?所围图形公共部分

的面积．

七、（7分）设当x??1时，可微函数f(x)满足

f?(x)?f(x)?1x?1?x0f(t)dt?0， f(0)?. 11. 求f?(x)；

2. 证明：当x?0时，f(x)?e?x．

（4分）设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f??(x)?0，证明?af(x)dx?(b?a)f(87452137.doc

- 15 -

ba?b2)．

参考答案 2001.1.17

一、1.

23e3x?C； 2.

arctanx2?2x?C；

3.

?117?3,?2,?2?,(仅有一个符号扣1分)

二、1. B； 2. C； 3. A. 三、1.

2原式?limtanx?xx?1x?0x3?limsecx?03x2??(3分)

2?lx?imtanx103x2?3??(分7 )2.

y??arcsinx12?x12?x??(6分)

1?x24?x24 ?arcsix2n??分(7

)3. dydx?12(t?1)2??(3分)

d2ydx2??12(t?1)4??(7分)

4.

x?tant原式??sec2ttantsectdt??csctdt??(3分)

?lncstc?cto?tC??分(6) ?lnx2?1?1x?C??(7分)

5.

2a原式=x212ax22ln(x?a)a?2?ax?adx??(3分)

2?2a2ln(3a)?aa2ln(2a)?12?2a(x?a?a2x?a)dx2?32a2aln(3a)?4??(7分)87452137.doc - 16 -

?(5分)?

四、f(?1)?1,f(?1?0)?1,f(?1?0)?1,故f(x)在x=-1处连续,??(2分)

f(?1)??1,f(1?0)??1,f(1?0)?1,故f(x)在x=1处间断,x=1为第一类(跳跃)间断点 ??(5分)f(x)的连续区间为(-?,1)?(1,+?)??(6分)

??1,f(x)不连续,故不可导. f??(?1)??2,f??(?1)??1.f(x)在x??1不可导.f(x)可导区间(-?,-1)?(-1,1)?(1,+?)??(8分)

五、L的参数方程x?x,y?x?3,z??2x?2,L方向向量?1,1,?2???(2分)

??(5分)

过P0且与L垂直相交的平面方程x?y?2z?7?0L与上述平面的交点为P1(1,?2,?4)??(8分)

?????d?P0P1?142??(9分)

六、(1)S??(2)V?10y21dy?162??(4分)

1?20??1?(2x)?dx???12???x220?14???(9分)

七、方程两边对x求导得(x?y)(x?y?2yy?)?0x??(2分)

由于x?y?0不满足原来方程,又y?f(x)是可导函数,所以x?y?0,得x?y?2yyx??0,即?y??x令?0,得?323dx?x?3xy?2y?32dyyx???y?xy?2y2dydx?12?x2y,得驻点x??2??(5分)

14,yx??x??2y?2?14?0.?0??(8分)由于y?f(x)有唯一驻点x??2,且f??(?2)?所以,y?f(x)有极小值f(?2)?2,没有极大值87452137.doc - 17 -

八、

设x?[2,4)f(x)?f(2)?f?(?1)(x?2),f(4)?f(x)?f?(?2)(4?x),2?x?4?1?(2,x)?2?(x,4)令M?maxf?(x),则f(x)?M(x?2)f(x)?M(4?x)??(3分)

43?42f(x)dx?(x?2)22?42f(x)dx??322M(x?2)dx?43?M(4?x)dx??(6分)?M32?M?(4?x)2?M2?M2?M高等数学参考答案2002.1.21

一. 1. a > 0; 2. x+cosx+c; 3. 2xcosx2f(sinx2)-3f(3x); 4. 1. 二. 1. B; 2. A; 3. C; 4. C.

?n?1?n??1??n?2?n?1n?2??23lim三. 1.原式?n?????3分?

?1 ???7分?

y 2. x=0, y=1, ey??xy??y?0,y??0??????3分?

1e ey?y???ey???xy???2y??0,y???0??y21e2???7分?

3 y??1?lnx???3分?, y?n????1??1313n?n?2?!xn?1,n?2???7分? 1x23 4. 原式?xarctanx?3?3x16?1dx???3分?

?xarctaxn?3x?216?1ln?x?2??c??7分?

87452137.doc - 18 -

5.

??0sinx?sinxdx??35??03sinxcosxdx

3??2sinxcosxdx?????sinxcosxdx???4分?302

?5??25225sinx?2?405sin2x?54ijk四. s?102???2,3,1????3分?

01?3 直线方程为:

x?y?2?z?4?231???6分?

五.f(0-0)=0, f(0+0)=0, f(0)=0, f(x)在x=0连续……(3分)

f???0??2,f???0??.1 f(x)在x=0不可导………….(6分)

?六. 由??x?y?y??x??y?2?x2得交点(1,1), 由??y?2?x2得交点(-1,1), ??y??x 由???x?y 得交点(0,0) ……………(3分)

1 S???2?x2?dx??0??x?dx??12?1?10xdx???8分?

20??113?x 2?2x?x?11?5?3???02?13x302???10分?

七. 切线斜率为?4xy, 设(X,Y)为切线上任一点, Y?y?4?xy?X??,x即yY+4xX=4,

在两坐标轴上的截距为X1?4A?x,YBy???3分?

87452137.doc - 19 -

???7分?切线方程为

S?12XAYB?1x1?x232 ???5分?

Sx???x1?2x2?1?x?22, Sx?=0,x?22???7分?

S的最小值为2 ……(9分)

八. (1) 反证法: 因x=a, x=b是f(x)=0的相邻两根, 故对一切x??a,b?,f?x??0, 假设有x0??a,b?,f?x0??0,又知

f(c)<0, 且f (x)在闭区间 [c, x0] 或 [x0, c]上连续, 由介值定理知必有界于c与x0之间的? 使f(? )=0, 矛盾. 故对一切x??a,b?,f?x??0. …(3分)

(2).证明: f(x)在 [a, c]上满足拉格朗日定理条件,

存在?1??a,c?,f???1?? 同理?2??c,b?,f???2??f?c??f?a?c?af?b??f?c?b?c?0,

?0.

f’(x)在[?1,?2]上应用拉格朗日中值定理

存在????1,?2?,f??????f???1??f???2??2??1?0,

即存在???a,b?,f??????0. ……(6分)

高等数学参考答案 2003.1.10

一、填空题, 每小题3分,共4小题,

(1) 9; (2) ?1,2?; (3) tanx- x+C; (4) ?二、选择题, 每小题4分,共4小题.

(1) D; (2) C; (3) B; (4) A. 三、 每小题6分,共6小题.

1. 原式=limex2322.

?1?xx42x?0?lim2xex2?2x3x?04x

87452137.doc - 20 -

=limex2?12x?02xlim?x?0x222x?122.

2. y???2cosxsinxlnx?cosxx2

=y???sin2xlnx?xdx?ydyx?ydxdttcosxx.

x?yx?y3. 4.

22=

xdy?ydxx?ydydtt22, dy?dydx.

?ecost,?esint,?ttant.

5. 原式=x2ex??2xexdx =x2ex?2xex?2ex?C.

?6. 原式=?2a2sin2t?a2cos2tdt

0? =a4?20sint(1?sint)dt?22?16a.

411四、解 x=1是间断点，limf(x)=limex?1?0x?1?0x?1?0,limf(x)=limex?1?0x?1?0x?1???,

故x=1是第二类间断点

x=0是间断点，limf(x)=limln(1?x)?0,limf(x)=e-1.

x?0?0x?0?0x?0?0故x=0是跳跃间断点(或第一类间断点) .

ijk4???16,14,11?， ?2五、法向量n=1?235所求平面方程为

?16x(?2)?1y4?1z1?( 3)?即 ?16x?14y?1z1?6?5.

?y?x3,六、解 交点为 ? 得到 x?0,x??2,x? 1,2?y?2x?x, A =?(x?2x?x)dx+??(x3?2x?x2)dx

?2?2032087452137.doc - 21 -

1?11??1? =?x4?x2?x3?+?x2?x4?x3?

3??2?43?0?401 =(4?4?)+(1?3814?13)=

13712.

七、解 设曲线上点为（x,x6）， y??2x5.

3法线方程为 Y?13x??6在y轴上的截距为 令

dbdx?0dbdx5(X?x)52x161b?x?432x1， ，

4?2x?2x5，

dbdx22?10(x?1x4)

，得到x=1，且正根只有一个，可微函数在定义域内只有一个驻点，

13是极小值点. 所以x=1为b(x)的最小值点，所求点为（1，）.

八、解 因为f(x)在?a,b?上连续，f(x)在?a,b?上取最小值，又f(a)=f(b)?0, 且 f(c)<0(a

f??(?2)?f?(?2)?f?(x0)??x0=

f?(?2)?2?x0?0. x0??2??2.

所以 f??(?1)?0,f??(?2)?0.a??1?ba??2?b.

高等数学参考答案 2004.1

87452137.doc

- 22 -

一、 (1) D; (2) B; (3) B; (4) D; (5) B. 二、(1)

nm; (2)

12ln(1?x)?213(arctanx)3+C;

(3) e-18; (4) 0; (5) ?三、1. limtanx?xxsinx232,

92.

2x?0=limtanx?xx3x?0=limsecx?12x?03x?13.

x 2. y??arcsinx2?21?x2?x4?x2?arcsinx2.

4 3.

dydx??1dytdx22,

dt1111????. ?(?)?t23dxtttt 4. y??y?ey?tan?sincosxx?12x?0

dy=

xy2x(1?e)lnxx?1dx.

x?1x 5.

?dx?2x?1lnx?2?dx

令x?1=t, 有?x?1xdx=2x?1+ln

x?1?1x?1?1

所以原式=2x?1lnx–4x?1-2 ln

?0x?1?1x?1?1?0+C .

43 6. 原式=?2sinxcosxdx??2?2cosxdcosx? 7.

??.

???dxx(1?x)21=???11?2?(?)dx?lnx?ln(1?x)??2x1?x2??1x1?xa1x

a?ln=???22????1???212ln2.

四、(1) V=2??y2(x)dx=2??0(a3?x3)dx

0 =2??0(a?3a3x3?3a3x3?x2)dx

87452137.doc

- 23 -

a42224 =

321053?a.

(2) 设点M(t,)即为所求的切点(也可设为(x0,t11x0)),显然t?0,

切线方程为 y?两截距分别为

t21t2??1t3(x?t)

3t2,3t2,于是起线段长为 l=

?3t??3?????2??2??t?22,于是问题等价于求

f(t)=

4?1t4 在(0, +?)内的最小值点.

t2?4t5由f?(t)?=0, 得唯一驻点为t=2, 且f??(2)?0, t=2是唯一的

12极小值点. 由实际问题可知, t=2是最小值点, 故点(?2,)即为所求的点, 且最短距离为

332.

五、证明:

(1) 令f(x)=ex–ex(x?1), 则f?(x)? ex–e>0 (x>1), 所以f(x)在x?1单调增加,

所以当x>1时, f(x)> f(1)=0, 即ex>ex(x>1). 证毕

(2) 设F(x)= f(x) –x, 则F(x)在[0,1]闭区间上连续, 在(0,1)内可导, F(1)= f(1) –1<0, F()?f()?1?22121112?0,

由介定理知存在?1?(,1),使F(?1)?0.又F(0)=0,由罗尔定理知存在

??(0,?1)?(0,1),使F?(?)?0,即f?(?)?1. 证毕

高等数学试卷参考答案 2005.1

一、填空题, 每小题4分,共5小题, 其中第2题 –1,2添对一个、错一个给2分.

(1) ln3; (2) –1、3; (3) 1; (4) ?二、选择题, 每小题4分,共6小题.

(1) A; (2) C; (3) B; (4) D; (5) C; (6) A..

87452137.doc

- 24 -

b2a; (5) 1.

三、计算题, 每小题7分,共4小题. 1. 解法一：设2x?1=t, 则x?1(t?1)?2ttdt?212(t?1),dx=tdt,x=0

2时,t=1,x=4时,t=3,

3原式=?21312?313?1?t222(t?3)dt???3t??2?33?1,

解法二：原式=

?40(x?2)d2x?1

14 =(x+2)

2x?140??202x?1d(2x?1)

12=16–?(2x?1)223340?223

解法三：原式=

112?44(2x?1)?32x?10dx

=

?402x?1d(2x?1)+

3?44d(2x?1)2x?11400

12=?(2x?1)243340?34?2(2x?1)2?23.

12. 解法一：原式=?21(2x?4)?2x?4x?52dx

d(x?2)1?(x?2)2 =lnx2?4x?5?2?21

=lnx2?4x?5?2arctan(x+2)+C.

2(不加任意常数扣一分,不加绝对值符号不扣分,下同).

87452137.doc - 25 -

解法二：设x+2=t, 则dx=dt,

原式=? =

t?22t?111dt

d(t2?2t22?1?1)–2?1t2?1dt

=ln(t2?1)?2arctant+C =lnx2?4x?5?2arctan(x+2)+C.

211解法三：设x+2=tant, 则dx=sec2tdt,

原式=?(tant?2)dt??lncost?2t?C =?ln11(x?2)?12–2arctan(x+2)+C

=lnx2?4x?5?2arctan(x+2)+C.

23.

dydx1??11?t2t22?t2dx,

dy22t?()??t212t1?t2?11(?t) 4t1?t4. 解法一：原式=limx2??ln(1?)?

x??x??x1?11? =limxx???ln(1?121x)

=limxt?ln(1?t)1t2t?0(

x?t)

1?1 =limt?01?t2t=lim12(1?t)t?0?12.

1解法二：原式=limx?ln(1?1x21x)x??

1x2?1x2?11?1x?2x3(?) =limx??

87452137.doc - 26 -

=lim解法三：令

1x?t(1?x)?x2(1?x)2x???12.

, 则

t?ln(1?t)t2原式=limt?0

=lim2?t2?t??t??o(t)?2??t?0tt222

=lim2t?0?o(t)t2?12.

四、1. 解法一：设圆柱体底半径为r, 高为2h, 体积为V, 则

h2?r2?R2, V=?r2?2h?2?h(R2?h2)

dVdh?2?R?6?h,

2令

dVdh?0,得 h?3R3

此时, r =

3R323R. 又

dVdh22??6?h?0,

故h?为极大值点, 由于驻点唯一, 故该点为最大值点, Vmax?4?33R.

3解法二：设圆柱体底半径为r, 高为h, 体积为V, 则 ()?r?R, V=?r?h??(Rh?2dVdh34dVdhh22222h34)

??(R2?h)2, 令

?0,得 h?23R3,

此时, r =

3R323R. 又

dVdh22??32?h?0,

故h?为极大值点, 由于驻点唯一, 故该点为最大值点, Vmax?dVdh224?33R.

3(不求点也可”)

,用一阶导数判定,或说明”由实际问题可知,唯一驻点就是最大值

87452137.doc - 27 -

2. 解法一：设所求面积为A, 体积为V, 则 A = 4? =4?V = 2? =2?aba?a0a?xdx1422 .

2ba?aba2??aba?x2?0?ba22?2dx

?22a0(a?x)dx

22a =2??ba3?x?4?ax??ab??3?03?2.

?2解法二：令 x=accost, y=bsint, 0?t? A = 4??bsint(?sint)dt

20 , 则

? =4ab?2sin2tdt?4ab?01???ab. 22V = 2?=4?=

4?3?b02y?abb?ydy322

b0ab(?212)?23(b?y)222

ab.

3. 解法一：设曲线过M(x, y)的切线方程为Y?x?y?(X?x),

?y?xy??2xy2,令X=0, 得Yb?y?xy?, 得bernoulli方程为?

y(1)?2.?令z?y?1,得

dzdx?1xz?2, 解之得z?x?12Cx, 即z?y?1,y?1=x?2x2x?12Cx.

代入初始条件y(1)=2, 得C=?, 即所求曲线为y=.

解法二. 设曲线过M(x, y)的切线方程为Y?x?y?(X?x),

?y?xy??2xy2,令X=0, 得Yb?y?xy?, 得bernoulli方程为?

y(1)?2.?87452137.doc - 28 -

令u?yx,得

dudx??2xu2, 解之得

121u?x?C2, 即

xy2?x?C

代入初始条件y(1)=2, 得C=?3*. 解：平面束方程为

, 即所求曲线为y=

2x2x?12.

(2x+ y -3z+2)+?(5x+5 y -4 z+13)=0, 代入点(4, -3,1), 得?=-1, 回代得过已知点的平面为 3x+ 4y -z+1=0.

将平面束改写为 (2+5?)x+(1+5?)y-(3+4?)z+(2 +3?)=0,

记 n1=(3,4, -1), n2=(2+5?,1+5?, -(3+4?) ),

令n1. n2=0, 得???, 回代得另一平面为

31 x-2y -5z+3=0,

其中?为待定常数.该平面与x+y+z=0垂直的条件是 (1+?).1+(1-?).1+(-1+?).1=0. 由此得?=-1, 得平面方程为2y-2z-2=0, 即y-z-1=0.

五、证明：设?(x)=x f(x), 则?(x)在[0,3]上连续, 在(0,3)内可导, 由已知条件得?(3)=3f(3)=?xf(x)dx,

01由积分中值定理, 必有??[0,1], (或??(0,1)), 使?xf(x)dx=?f(?),

01即存在??[0,1],使?(?)??10xf(x)dx, 于是?(?)??(3), 所以?(x)在[0,3]上满足

Rolle定理条件, 所以有??(?,3)?(0,3), 使??(?)?0, 即 f?(?)??f(?)?, ??(0,3).

f(?) 注：对?(x)在[?,3]使用拉格朗日定理也可得到f?(?)??

?.

87452137.doc - 29 -

高等数学答案及评分标准 2006.1.10

一、单项选择题(本大题分6小题, 每小题4分, 共24分)

1．(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B)

二、填空题（本大题分9小题, 每小题4分, 共36分）

1.e2 2.x7.ln32?0 3.dy3??11?x2dx

4.1?2e

5.

?13

6.??52

8.

dydx22?4(1?t)2

9.y?x(1?4lnx) 9*.a?b?i?5j?3k

????三、(8分)计算不定积分?xarctanx1?x22xarctanx1?x22dx.

解：?dx??(x?1)arctanx?arctanx1?x2dx------------2分

??arctanxdx??arctanxx2xdarctanx ------------4分

?xarctanx??1?12dx?12(arctanx)?C------------6分

2?xarctanx?ln(1?x)?212(arctanx)?C-----------8分

2四、(8分)求曲线y?x3?6x2?12x?4的升降区间, 凹凸区间及拐点. 解：y??3x2?12x?12?令 y??0，得x=2.

x?2, y?>0

故在(??,??)内为上升曲线. -----------2分

y???6(x?2)?令y???0? 得? x=2. - -----------4分 因为当x?2时? y???0?

当x?2时? y???0? -----------6分

所以凸区间为(??, 2]? 凹区间为[2, ??)? 拐点为(2, 12).-----------8分 五、(8分)求微分方程y???3y??2y?3xe?x的通解. 解：微分方程的特征方程为 r2?3r?2?0?

特征根为r1??1? r2??2? ------------2分 齐次方程的通解为Y?C1e?x?C2e?2x? -----------4分

87452137.doc

- 30 -

因为f(x)?3xe?x? ???1是特征方程的单根?

故原方程的特解设为y*?x(Ax?B)e?x? -----------6分 代入原方程并整理得 2Ax?(2A?B)?3x? 比较系数得A?32? B??3? 从而y*?e?x(x2?3x)?

23 因此? 原方程的通解为

y?C1e?x?C2e?2x?e?x(32x?3x). -----------8分

2五*、(8分)求直线??x?y?z?1?0?x?y?z?1?0在平面x?y?z?0上的投影直线的方程.

解: 设过直线??x?y?z?1?0?x?y?z?1?0的平面束的方程为

(x?y?z?1)??(x?y?z?1)?0?

即 (1??)x?(1??)y?(?1??)z?(?1??)?0? ------------2分 其中?为待定的常数? 这平面与平面 x ?? y ?? z ??0垂直的条件是 (1??)?1?(1??)?1?(?1??)?1?0?

即 ????1? -----------4分 将??? ?1代入平面束方程得投影平面的方程为2y?2z?2?0? 即 y?z?1?0? ------------6分 所以投影直线的方程为 ??y?z?1?0?x?y?z?0? -----------8分

六、(10分)在[0，1]上给定函数y?x2，问t为何值时,如图所示阴影部分的面积S1与S2的和最小，何时最大？并求此时两图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.

解：点的坐标为(t,t2) 故

S1?t?t?2y?t0xdx?223t

3y?x2t2AS1tS2087452137.doc

- 31 -

1xS2??1txdx?(1?t)t22?1313?2332t?t

S?S1?S2?43t?t?32----------3分

S?(t)?2t(2t?1)令S?(t)?0得t?0,t?12---------6分

比较s(0)?1112，s()?，s(1)? 324312,S(t)最小 ---------8分

可知， ,t?此时，所求体积为

112144V??()????2xdx???1xdx??()?

0424222111 =

316? -----------10分

七、设f(x)在[a,b]上连续,且不恒为常数.又f(x)在(a,b)内可微,且f(a)?f(b). 试证:???(a,b)使f?(?)?0.

证明：因为f(a)?f(b), f(x)在[a,b]上不恒为常数。必有c?(a,b), 使f(c)?f(a), 不妨假设f(c)?f(a), 于是在[a,c]?[a,b]上使用lagrang中值定理，

???(a,c)?(a,b)使

f(c)?f(a)?f?(?)(c?a)--------2

分

从而f?(?)?f(c)?f(a)c?a?0---------4分

??若???f(c)?f(b)?则?

f(b)?f(c)?f?(?0)(b?c)

f?(?0)?f(b)?f(c)b?c?0---------6分

87452137.doc

- 32 -

东北大学2006-2007第一学期高等数学(上)

期末考试试卷答案及评分标准

2007.1.10

一．单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1． C ；2．A ；3．B；4．D；5．A．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）

31． e2 ；2．1 ；3．

?2

2；4．(arctanx)?C；5．0.32?．

6．C1e?3x?C2ex．(或为2)

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共计24分） 1．

dydx?3t1t2?3t---2分；

3dydx22?9t1t2?9t---4分 ；

3dydx2t?12?9------6分．

2．lim(x?01x2?1xtanx)= limtanx?xxtanx2x?02= limtanx?xx3x?0---2分

=limsecx?12x?03xtan22--------------------------4分

13=limxx?03x?------------------------6分

3．令x?2sint,t?(?x22??2,2)

?4?xdx=4?sintdt=2?(1?cos2t)dt-------------------2分

2=2(t?sintcost)?C-----------------------------4分 =2arcsinx2?12x4?x2?C------------------6分

4．原方程化为齐次方程

dydx?yx?yx22-------------------2分

87452137.doc - 33 -

令u?yx,则y?xu,dydxdyu2?u?xdudx

齐次方程化为 ?1u?dxx-------------------------4分

积分得 ?lnx?lnC

x回代u?yx,得 x?Cey--------------------------6分

4．将直线化为参数式

?x?2?t??y?3?t-----------------------2分 ?z?4?2t? 代入平面方程 2(2?t)?(3?t)?(4?2t)?6?0 得 t??1-------------------4分

代入参数方程得 x?1,y?2,z?2

故交点为 (1,2,2)---------------------6分

四．（10分）(1)求函数的极大值与曲线的拐点

y??(1?x)e?x，y???(x?2)e?x，

令y??0,x?1;令y???0,x?2-----------------------3分

y??(1)??1e?0 极大值点为x1?1;极大值为y1?y(1)?x?2时,y???0

1e．

当0?x?2时,y???0;当(2,2e2)为曲线的拐点, 即x2?2;y2?2e2。----------------6分

(2)曲边梯形面积

A??21xe?xdx??xe??x?e?x?21?2e?3e2--------------8分

(3)旋转体体积

V???21(xe?x)dx??2?21xe2?2xdx

87452137.doc - 34 -

=

?4?(?2x2?2x?1)e?2x?21??4e(52?13e4).--------------10分

五．（8分）过M(x,y)的切线方程为 Y?y?y?(X?x)

令X?0,得Y?y?xy?。

?y?xy??2xy2由题设得微分方程 ?-----------------4分

y(1)?2?令z?y?1,得

1xdzdx2?1xz?2

通解为 z?(x?C) , 即

1y?1x(x?C)----------------6

2分

代入y(1)?2，得 C??2x2x?1212

所求曲线方程为 y?-----------------8分

?2x?5y?9?0五．（8分）把直线方程改写为?

2y?z?4?0?过此直线的平面束方程为

2x?5y?9??(2y?z?4)?0-----------------4

分

其法向量为 (2,2??5,??)

由(2,2??5,??)?(1,4,?3)?0 得??18111811-----------------6分

2x?5y?9?(2y?z?4)?0

即 22x?19y?18z?27?0-----------------8分 六．（8分）f(x)在x?1处可导，必连续?。

2由 f(1?0)?limx?1?f(1)

x?1f(1?0)?lim?(ax?b)?a?b

x?187452137.doc - 35 -

可得 a?b?1-----------------3分 由 f??(1)?limx?1?x?1x?12?2，f??(1)?lim?x?1ax?b?1x?1?a

则有 a?2, b??1.-----------------5分

?x2f(x)???2x?10?x?1x?1x2

x3当x?1时, ?(x)?当x?1时，

?(x)??0xdx?3

?x0xdx??xdx?0212?x1(2x?1)dx?x?x?213-----------------8分

七．（6分）由于f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)?f(b).

由Rolle定理，???(a,b)，使f?(?)?0．-----------------2分

对于f?(x)在[a,?]和[?,b]应用Lagrange中值定理，??1?(a,?),??2?(?,b)使

f??(?1)?f?(?)?f?(a)?0,f??(?2)?f?(b)?f?(?)b???0,--------------4

??a分

又f??(x)在[?1,?2]上连续，f??(?1)f??(?2)?0,由零点定理???(?1,?2]?(a,b)使f??(?)?0 -----------------6分

??1?(a,?),高等数学(A)参考答案

2008-1-18

一．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. B. 2. A. 3. A. 4.C.

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. y?13x?1. 2.

425?h. 3. (2,12). 4.y?tan(e?2x?4?1).

?3?x2, 0?x?1;??2三、（7分）设 f(x)?? 试研究函数f(x)在[0, 2]上是否满足拉格朗

?1, 1?x?2.??x日中值定理的条件.

解 f(x)在区间[0,1)和(1,2]内连续且可导.

87452137.doc - 36 -

x?1时，limf(x)?lim??x?1x?13?x22?1

x?1lim?f(x)?lim?x?11x?1

x?1lim?f(x)?limf(x)?f(1)

x?1?因此，f(x)在x?1处连续.

3?xx?12lim?f(x)?f(1)x?1?lim?x?12x?1?1?lim?x?11?x2x?1??1, f??(1)??1

x?1lim?f(x)?f(1)x?1?11?xx?lim??lim???1, f??(1)??1?f??(1)

x?1x?1x?1x(x?1)1f(x)在x?1处可导。

因此，f(x)在[0, 2]上满足拉格郎日中值定理的条件.

四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1. limln(1?2sinx)1?x?1?xln(?1

x?0解 limx?02sxin1?x?1?x2()?limx?01?x?2x1?x)sixn

?2

1??sinx?1??sinx?x?explim?12. 解 lim ??? ????x?0x?0?x??x???x?sinx?x??explim?? 2x?0x???explim?explimcosx?12x?sinx2x?0

x?0?1

22?dy?x?ln1?t3. 设?， 计算2．

dx??y?arctant 解

dxdt?121?t?2t2?t1?t , 2dydt?11?t2

87452137.doc - 37 -

dy则

dy1?dt? dxdxtdt1t1?t21d()dyt?dt??1??22dxdtdxt2??1?tt32

4. 计算积分 解

?ln(x??1x21?x)dx．

xdx1?x22(??lnx?xln(x?d)x1?x2)??

22?xln(x?1?x)?1?x?C

5.

?1121?xx22dx

2解 设x?sint，则1?x?cost，dx?costdt，

且x?12112时，t??4；x?1时，t??2?。于是

?1?xx22?dx??2?4cottdt?2?2?4(csct?1)dt

2??(?cott?t)22?4=1??4

6. 求微分方程y???4y?xcosx的通解．

2解 对应的齐次方程的特征方程为r?4?0， 其根r1,2??2i

齐次方程的通解 yh?C1cos2x?C2sin2x

?i不是特征方程的根，则设非齐次的特解

yp?(ax?b)cosx?(cx?d)sinx y?p??(ax?b?c)sinx?(cx?d?a)cosx

y????2asinx?(ax?b)cosx?2ccosx?(cx?d)sinx p??axcosx?(b?2c)cosx?cxsinx?(2a?d)sinx

87452137.doc - 38 -

代入原方程，整理得

3axcosx?(3b?2c)cosx?3cxsinx?(3d?2a)sinx?xcosx

比较两端同类项系数得

?3a?1?12?3b?2c?0，解得 a?, b?0, c?0, d??393c?0???3d?2a?0yp?13xcosx?29sinx

13xcosx?29sinx

通解 y?C1cos2x?C2sin2x?五、解 设P(x,x2)是曲边OB上任一点。过该点的切线方程为Y?x2?2x(X?x) 令Y?0得切线与OA的交点C的坐标(,0)；

2x令X?8得切线与AB的交点D的坐标(8,16x?x2)。 所围成的三角形面积

S(x)?S?(x)?1214(8?x2)(16x?x)?214x(16?x) （0?x?8）

2(16?3x)(16?x)

163令S?(x)?0，得x?0?x?163

163?x?8时，S?(x)?0。

时，S?(x)?0；

163因此，x?时，S(x)取极大值，也是最大值。

16256,)。 39所求点为(六、求心形线r?a(1?cos?)与圆r?3acos?所围成公共部分图形的面积。 解 由于图形关于极轴对称，故所求图形的面积就是极轴上方图形的面积A1的二倍。 解方程 ?所求的面积

?r?a(1?cos?)?r?3acos? 得???3.

87452137.doc - 39 -

A?2A1?2[212??30a2?1?cos??2d??12??2?39acos?d?]?22

??1?3?a??3??2cos??cos2?02??29?d???2???23?1?cos2?d????????1?392??3?a????2sin??sin2???42?2?0???1??2????2sin2???????3?

?54?a.2七、 解1. 所给等式变形为

(x?1)f?(x)?(x?1)f(x)??f(t)dt?0

0x上式两端对x求导，得

(x?1)f??(x)??(x?2)f?(x) dudxx?2x?1令u?f?(x)，则即

f?(x)?Ce?x??u，解之得，u?Ce?x1?x

1?x

??1，因此 f?(x)??由f(0)?1及f(0)?f?(0)?0，知f?(0)??1，从而C2 设?(x)?f(x)?e?x，则?(0)?0.

?xe?x1?x。

??(x)?f?(x)?e?xe?x1?x，当x?0时，??(x)?0，

即?(x)单调增加，因此

?x?(x)??(0)?0 即有 f(x)?e。

八、证明 f(x)在x?f(x)?f(a?b2)?f?(a?b2a?b2处的一阶Taylor公式为

)(x?a?b2)?12!f??(?)(x?a?b2)

2（?在x与

因f??(x)?0，所以f(x)?f((1)式两边在[a,b]上积分得，

a?b2)?f?(a?b2)(x?a?b22之间） （1）

)

a?b?baf(x)dx?a?b2?baa?ba?b??a?b?(f()?f)(x?)?dx ?222???f()(b?a).

87452137.doc - 40 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hg47.html