数值分析试卷(2009-2)

数值分析（研究生，2009-12-20）

1.（10分）求函数f(x)?xex在区间[0，1 .5]上的最佳平方逼近多项式

?(x)?a?bx?cx2.

2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量

?1?10???13?1?，初始向量为x?[1,0,0]T（要求结果有三位有效数字）。同时计算0????0?11??该矩阵的?-条件数和谱条件数。

3.（15分）假定给出函数f(x)?exsinx的等距点函数表(?1?x?1)。若用二次抛物线插值求f(x)的近似值，要使截断误差不超过10?3，问使用函数表的步长h应取多少？

4.（15分）用Newton迭代法求方程x?cosx?0在区间（0，

?）内的解，选择2你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解的相对误差不超过10?2。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

5.（15分）用SOR迭代法解方程组

?3?10??x1??1??16?2??x????4? ???2?????0?38????0???x3???取初始近似向量x0?[0,0,0]，估计达到精度达到10?3需要的迭代次数，并实际计算之。计算该迭代的渐进收敛速度，并估计计算结果的误差为初始误差1%需要的迭代次数。

T

6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组

1?3x?cos(yz)??0?2?? ?x2?81(y?0.1)2?siny?1.06?0

?10??3?e?xy?20z??0?3?取[0.1,0.1,?0.1]T作为初始值，终止容限??10?2。

7.（10分） 设

ixi??1?,i?0,1,2,?,2n,

n1f(x)?(x?|x|).

2求(xi,f(xi))(i?0,1,2,?,2n)的最小二乘拟合g(x)?a?bx。

8. （10分）用复合梯形公式计算积分 I(f)??x3sin xdx01讨论在误差要求不超过10?2的条件下的步长，并比较实际计算结果与精确结果。

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