数理统计作业

[0348]《数理统计》

第一次作业

1 [论述题] 从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量（单位：kg）为：230，

243，185，240，228，196，246，200。 （1）写出总体，样本，样本值，样本容量； （2）求样本的均值，方差及二阶原点距。

22

2 设总体X服从正态分布N?,?，其中?已知，?未知，X1,X2,X3是来自总体的简

??单随机样本。

（1）写出样本X1,X2,X3的联合密度函数；

X1?X2?X3X12?X22?X32,max?Xi,1?i?3?,X1?2?,（2）指出之中哪些是统计量，

3?2哪些不是统计量。

3 设总体X服从两点分布B（1，p），其中p是未知参数，X1,L,X5是来自总体的简单随机样本。指出X1?X2,max?Xi,1?i?5?,X5?2p,?X5?X1?之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？

2??e??x,x?04 设总体服从参数为?的指数分布，分布密度为p(x;?)??

?0,　　x?0求EX,DX和ES.

25 设总体X服从N?0,1?，样本X1,L,X6来自总体X, 令

Y??X1?X2?X3???X4?X5?X6?, 求常数C，使CY服从?2-分布。

26 设总体X服从N?,?，X1,L,Xn是取自总体X的简单随机样本，X为样本均值，

22???Xi????2nSX??,i?1S2,S2分别是样本方差和样本修正方差，问下列统计量n,nn2?2S/n?2各服从

什么分布。

227 设总体X服从N?,?，X和S为样本均值和样本修正方差，又有Xn?1服从

??Xn?1?X??Xn?1?X2N??,??，且与X1,L,Xn相互独立，试求统计量, 服从什么分

nn?1S2/Sn/n?1n?12布。

参考答案：1 解：（1）总体为该批机器零件重量X，样本为X1,L,Xn，样本值为230，

243，185，240，228，196，246，200，样本容量为n=8；

1n1 （2）x??xi??230+243+185+240+228+196+246+200??221 ,

ni?181n122s?(xi?x)2???230?221??L??200?221???566, ??n?1i?17?21n21a2??xi??2302?L?2002??49336.25.

ni?18222 解：（1）因为X服从正态分布N?,?，而X1,X2,X所以有Xi3是取自总体X的样本，

??2服从N?,?，即p?xi????1e2??3??xi???22?2,i?1,2,3,

故样本的联合密度函数为

?p?xi???i?1i?13?1e2???xi???22?2?1?2???3/2e3?i?1??xi???2?232。

（2）

X1?X2?X3,max?Xi,1?i?3?,X1?2?都是统计量，因为它们均不包含任何

3未知参数，而

X12?X22?X32?2不是统计量。

23 解：X1?X2,max?Xi,1?i?5?,?X5?X1?都是统计量，X5?2p不是统计量，因p是未知参数。

.

5 解： 因为样本X1,L,X6独立同分布N?0,1?，所以X1?X2?X3服从N?0,3?，

X1?X2?X33服从N?0,1?，同理2X4?X5?X63?X1?X2?X3?服从N?0,1?, 因此

32服从

?2?1??X4?X5?X6?，

3服从?2?1?，且两者相互独立，由?2-分布的可加性，知Y/3

服从?2?2?，所以取C=1/3。

2n?1?S2n?1?S2??nSn226 解：由定理1.3.6知服从自由度为n-1的?-:??n?1?, 2?22???分布，由定理1.3.6的系1得

X??2服从自由度为n-1的t-分布，由Xi服从N??,??, 可

S/n2得

Xi????X???22服从N?0,1?, ?i? 服从??1?, 由于X1,L,Xn相互独立因此由?-分

?????Xi???布的可加性，得

i?1n2?2服从自由度为n的?-分布。

2??2??n?12?2N?,?7 解：由X服从N??,，服从，服从XN??，X?X??n?1??0,n?1nn????22nSnnSnXn?1?X2服从N?0,1?，又由2服从自由度为n-1的?-分布，由定理1.3.6知X与2??n?1?n2nSnXn?1?X相互独立，而Xn?1与X1,L,Xn相互独立，因此与2相互独立。注意t分布的

?n?1?n定义Xn?1?Xn?1?n/2nSn?2/?n?1??Xn?1?XSn/n?1n?1服从自由度为n-1的t-分布。由Xn?1?X服n?1?n??X?X?n?1从N?0,1?，?n?1??n???n?1?S2?2?服从??1?，又由定理1.3.6知服从自由度为n-1的?2-2????22?n?1?S相互独立。注意F分布的定义X?X分布，由前同理可知n?1与

?2n?1?n??X?X?n?1?n?1??n?

第二次作业

[论述题] 1 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）

??n?1?S22?2X?X??n?1??/服从自由度为（1，n-1）的F-分布。 ?nn?12?S/?n?1?274.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。

????1?x?,0?x?12 设总体X的概率密度为p?x,????，其中???1为未知参数，样本

?0, x?0,or,x?1X1,X2,L,Xn来自总体X，求未知参数?的矩法估计与极大似然估计。

3 求均匀分布U[?1,?2]中参数?1,?2的极大似然估计．

?x?x?e2?,x?04 设连续型总体X的概率密度为p?x,????????0?, X1,X2,L,Xn来自总

?0, x?0?体X的一个样本，求未知参数?的极大似然估计量??，并讨论??的无偏性。

21n??X?74.002,????(Xi?x)2?6?10?6 参考答案：1 解：μ，σ的矩估计是 ?ni?12

2 S2?6.86?10?6。

2 解：首先求数学期望EX??10x???1?x?dx???1 ??2??1?从而解方程 X?

???2??得?的矩法估计为?似然函数为L????n2X?1. 1?X?i????1?xi?1????1?n?xi?1n?i,lnL????nln???1????lnxi,

i?1nndlnL???n???令???lnxi?0 , 解得?的极大似然估计为?d???1i?1n?lnXi?1n?1.

i

??1?n?,若?1?X(1)?X(n)??23 解：先写出似然函数 L(?1,?2)???????

1??2?0,其他?似然函数不连续，不能用似然方程求解的方法，只有回到极大似然估计的原始定义，由似然函数，注意到最大值只能发生在

?1?X（1）?X(n)??2

?尽可能小，??尽可能大，只能取时；而欲L(X;?1,?2)最大，只有使?2??1最小，即使?12?=X． ??1=X(1)，?(n)24 解：似然函数为

nL?????i?1xi?ex2?i2??n?xi?1ni?e?i?1nxi22??n,lnL?????nln??ln?xi?i?1n?xi?1n2i2?,dlnL???dlnL???n?????i?12，令?0，得?d??2?d?i?x2?Xi?1n2i2n.由于

??E??EXi?1n2i2nxx22??x11?2x?2x2?EX??xe?dx???e2?d????2???，

0022?2?2?22因此?的极大似然估计量??是?的无偏估计量。

第三次作业

[论述题] 1设X1,X2是取自正态总体N??,1?的一个容量为2的样本，试证下列三个估计量

都是μ的无偏估计量：X1?2313111X2,X1?X2,X1?X2, 并指出其中哪一个估计量更34422

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