第一讲 函数的基本性质(4h)
更新时间:2024-02-29 21:03:01 阅读量: 综合文库 文档下载
函数复习
一、函数的概念与表示 1、映射
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。 注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射 例1、已知映射f:A→B,在f的作用下,下列说法中不正确的是( )
A、A中每个元素必有象,但B中元素不一定有原象 B、B中元素可以有两个原象 C、A中的某个元素在B中可以没有象 D、A与B必须是非空的数集 例2、设X={x|0≤x≤2},Y={y|0≤y≤1},则从X到Y可建立映射的对应法则是 (A)y?21x (B)y?(x?2)2 (C)y?x2 (D)y?x?1 34例3、已知集合A={a,b},B={1,2},则下列对应不是从A到B的映射的是( )
2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件:定义域和对应法则相同
例1、下列各对函数中,相同的是( ) A、f(x)?lgx2,g(x)?2lgx B、f(x)?lgx?1,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1) x?1C、 f(u)?1?u1?v D、f(x)=x,f(x)?,g(v)?1?u1?vx2
变式:设x取实数,则f(x)与g(x)表示同一个函数的是 ( )
(x)2xA、f(x)?x,g(x)?x B、f(x)?,g(x)? 2x(x)2x2?9C、f(x)?1,g(x)?(x?1) D、f(x)?,g(x)?x?3
x?30例2、M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
y 2 1 O y 2 1 1 2 x O y 3 2 1 2 1 1 2 x
O y 1 2 x O 1 2 x
1
二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; 例.函数y?log0.5(4x2?3x)的定义域为________________________
x?1的定义域为( ) x?2变式1:函数f(x)?A.[1,2)∪(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,2) D.[1,+∞) 变式2:函数y?log(2x?1)3x?2的定义域是( ) A、??2??1??2??1?,1???1,??? B、?,1???1,??? C、?,??? D、?,??? ?3??2??3??2?(x?1)0x?x的定义域为_____________________
变式3:函数f(x)?2、求函数定义域的两个难点问题
例3:
(1) 已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
(2) 已知f(2x-1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域。
变式:(1)已知函数y?f(x)的定义域为(0,1),则y?f(x2)的定义域 ; (2)已知函数y?f(2x?1)的定义域为(0,1),则y?f(x)的定义域 ; (3)已知函数y?f(x?1)的定义域为[?2,3],则y?f(2x2?2)的定义域 ; 例4:设f(x)?lg
变式练习:f(2?x)?
2
2?xx2,则f()?f()的定义域为__________ 2?x2x4?x2,求f(x)的定义域。
三、函数的值域
1、基本函数的值域问题:
名称 一次函数 解析式 值域 y?kx?b R 二次函数 y?ax2?bx?c 4ac?b2a?0时,[,??) 4a4ac?b2a?0时,(??,] 4a反比例函数 指数函数 对数函数 y?k x{y|y?R,且y?0} {y|y?0} R y?ax y?logax y?sinx 三角函数 {y|?1?y?1} R y?cosx y?tanx
2、求函数值域的方法
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数; ②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;
③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且x∈R的分式; ④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图); ⑤单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;
⑦几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例:
1.(直接法)y?
3.(换元法)y??x?2x?1 4. (Δ法) y?
5. (分离常数法) ①y?
1 2.f(x)?2?24?2x?x2 2x?2x?33x
x2?4x3x?1(?2?x?4) ②y?x?12x?1 3
6. (单调性)y?x?
3(x?[?1,3]) 2x7.(图象法)y?3?2x?x2(?1?x?2)
8. (几何意义)y?x?2?x?1 变式练习
1、求下列函数的值域
(1)y?x?1 (2)y?
2、求下列函数的值域
(1)y?
(3)y?x?1?2x
4、 求下列函数的值域
(1)y?12 (3)y??x?2x?3x
1 (2)y??x2?2x?3 2?x?2x?32x?12x?1 (2)y?(x?0) x?1x?1
四.函数的奇偶性
1.定义: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意x∈A,都有f(?x)?f(x),则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意x∈A,都有f(?x)??f(x),则称y=f(x)为奇函数。
2.性质:
①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0
4
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ,D2,D1∩D2要关于原点对称] 3.奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
4..已知f(x)、g(x)分别是定义在区间M、N(M?N??)上的奇(偶)函数,分别根据条件判断下列函
数的奇偶性.
f(x) g(x) ?f(x) 奇 奇 偶 偶 奇 奇 偶 奇 偶 偶
例1、判断下列函数的单调性
1 f(x)?g(x) f(x)?g(x) f(x)?g(x) f(x)奇 偶 偶 偶
奇 奇 奇 偶 2???x?x(x?0),(1)f(x)?x?x?1?1; (2)f(x)??2??x?x(x?0).
2
例2、 已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时,f(x)?x?x4,则当x?(0,??)时,f(x)? .
变式:已知f(x)是R上的奇函数,且当x?(0,??)时,f(x)?x(1?3x), 则f(x)的解析式为 .
?2x?b例3、 已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。
2?a(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若对任意的t?R,不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立,求k的取值范围;
5
22
例4 、已知f(x)在(-1,1)上有定义,且满足x,y?(?1,1)有f(x)?f(y)?f(x?y), 1?xy证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;
例5 、若奇函数f(x)(x?R)满足f(2)?1,f(x?2)?f(x)?f(2),则f(5)?_______
【练习】
1、如果奇函数f(x)在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5,那么f(x)在区间??7,?3?上是( ) A.增函数且最小值是?5 B.增函数且最大值是?5 C.减函数且最大值是?5 D.减函数且最小值是?5
2、若偶函数f(x)在???,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
3233C f(2)?f(?1)?f(?) D f(2)?f(?)?f(?1)
22A f(?)?f(?1)?f(2) B f(?1)?f(?)?f(2)
323、若函数式xff(x)在(??,0)?(0,??)上为奇函数,且在(0,??)上是单调增函数, f(?2)?0,则不等
(x)?0的解集为______
4、已知函数f(x)的定义域为??7,7?,且同时满足下列条件:
(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)在定义域上单调递减;(3)f(1?a)?f(2a?5)?0, 求a的取值范围.
6
?2x?b5、已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数.
2?a(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若对任意的t?R,不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立,求k的取值范围;
五、函数的单调性 1、函数单调性的定义
定义:一般的,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1?x2时满足:
⑴ f(x1)?f(x2),则称函数f(x)在该区间上是增函数;?若??f?x1??f?x2???0,则为增函数?
x1?x2??f?x1??f?x2?? ⑵ f(x1)?f(x2),则称函数f(x)在该区间上是减函数.?若?0,则为减函数?
x?x12??2、判断函数单调性的常用方法:
1.定义法:
⑴ 取值; ⑵ 作差、变形; ⑶ 判断: ⑷ 定论:
3、设y?f?g?x??是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则y?f?g?x??在M上是减函数;若
f(x)与g(x)的单调性相同,则y?f?g?x??在M上是增函数。 例1、判断函数f(x)??x(x?R)的单调性。
例2、函数f(x)对任意的m,n?R,都有f(m?n)?f(m)?f(n)?1,并且当x?0时,f(x)?1, ⑴求证:f(x)在R上是增函数; ⑵若f(3)?4,解不等式f(a?a?5)?2
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23
例3、函数y?log0.1(6?x?2x2)的单调增区间是________ 例4、已知f(x)???(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数,那么a的取值范围是 ( )
logx,x?1a?131173(D)[,1)
(A)(0,1) (B)(0,) (C)[,)
17变式:若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在区间(??,4)上是减函数,则实数a的取值范围是( )
(A)a??3
(B)a??3 (C)a?5 (D)a?3
例5、函数f(x)??x2?2(a?1)x?2在区间(??,4)上是增函数,求a的范围
【练习】
1.已知偶函数f(x)在区间[0,??)上单调增加,则f(2x?1)?f(13)的x取值范围是
A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2 33332323)
2、已知函数f(x)???3x?1,x?0,x?0.若f?x0??3,则x0的取值范围是高考资源网
?log2x,A.x0?8. B.x0?0或x0?8. C.0?x0?8. D.x0?0或0?x0?8.
3、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x),且在[-1,0]上单调递增,设a?f(3),c?f(2),则a,b,c大小关系是
A.a?b?c B.a?c?b C.b?c?a D.c?b?a
4、函数f(x)?log21(6?x?x)的单调递增区间是
3A.[-
12,+∞) B.[-12,2) C.(-∞,-112) D.(-3,-2) 5、已知函数f(x)?log22(x?ax?3a)在区间[2,+?]上是增函数,则a的取值范围是 A.(??,4] B.(??,2] C.(?4,4] D.(?4,2]
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b?f(2),
6.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0满足f()=f(x)-f(y),且f(6)=1, 解不等式
xyf(x+3)-f(
1)<2. x
六、单调性奇偶性综合
1.f(x)为奇函数,当x?0时,f(x)?x(1?x)则x?0时,f(x)?
2.f(x)?x5?px3?qx?8满足f(?2)?10,求f(2)
3. 函数f(x)在(??,??)上满足(1)f(x?y)?f(x)?f(y)(2)f(x)在定义域上单调递减(3)
f(1?a)?f(1?a2)?0
求:(1)f(x)为奇函数(2)a的取值范围
4.已知f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,若f(a?2)?f(4?a2)?0,试确定a的取值范围
25、已知奇函数f(x)在R上的减函数,对任意的实数x,恒有f(kx)?f(?x?x?2)?0成立,求k的取
值范围。
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6、函数f(x)?ax?b12f()?是定义在上的奇函数,且 (?1,1)2251?x(1)确定f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(?1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t?1)?f(t)?0
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