大学物理第9章静电场习题参考答案

大学物理 (第二版)屠庆铭

第9章 静电场

9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T，重力mg以及库仑力F

,由于θ很小，故 的作用，则有Tcos mg和Tsin F,∴F mgtg

q2x

F mgtg mgsin mg

4 0x22l

1

∴

q2l

2 mg

0

1/3

习题9-1图

9-2 设q1,q2在C点的场强分别为E1和E2，则有

q1

1

方向沿∴ C 设E的方向与CB的夹角为α，则有

tg 1

E11.8

tg 1 33.7 E22.7

9-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元dq dl，它在圆心O处的场强为

dE1

1 dl

2

4 0R

，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两

带电圆弧中对应电荷元在圆心O处产生的dE1和dE2在x方向分量相

互抵消。

习题9-3图

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Ex 0，圆心O处场强E的y分量为

Ey 2 6

1 dl

4 0R2

sin 2 6

14 0

Rd

R2

sin

1 2 0R 2

方向沿y轴正向。

9-4 （1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d1的P点为坐标原点,x轴向右为正。设带电细棒电荷元dq dx至P点的距离x，它在P点的场强大小为 dEP

1 dx

4 0x2

方向沿x轴正向

习题图（a）

各电荷元在P点产生的场强方向相同，于是 EP dEP

dx

2 (d L)14 0x

d1

1

方向沿x（2Q点距离为r，电荷元在Q以Ex=0, 因r d2csc ,x d2tg

2

d2ctg ,dx

d2csc d 2

∴ dEy

14 0

dx

sin sin d

4 0d2r2

2

1

习题9-4图（b）

Ey dEy

sin d (co ss2) 1 co 4 0d24 0d2

,

co s2

L/2d (L/2)

2

2

2

其中 co s1

L/2d (L/2)

2

2

2

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代入上式得

Ey

4 0d2

Ld (L/2)

22

2

9 109 3 10 8 0.28 10(8 10) (0.2/2)

2

22

12

5.27 103V m 1

方向沿y轴正向。

9-5 带电圆弧长l 2 R d 2 3.4 0.50 0.02 3.12m,电荷线密度

q3.12 10 9

1.0 10 9C m 1。带电圆弧在圆心O处的场强等价于一个闭合带电

l3.12

圆环（线密度为 ）和一长为d、电荷线密度为- 的小段圆弧在O闭合圆环在圆心处的场强为零，而d<<R,

q 的场强，

E 9-6 通过每一（2E平q全部包围需

1

，即 24

1S1

2424 024

0

9-7 解法（一）通过圆形平面的电通量与通过以A为球心，AB

x2 R2 r为半径，

以圆平面的周界为周界的球冠面的电通量相等，该球冠面的面积S 2 rH，通过整个球面

S0 4 r2的电通量 0

q

0

，所以通过该球冠面的电通量为

0

Sq2 rHqH 2S0 04 r2 0r

习题9-7图（a）

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qr rcos

2 0r

22 x R x

qq

1 (1 cos )

2 02 0

解法（二）在图形平面上取一同心面元环，设其中半径为r，宽为dr,此面元的面积

ds 2 rdr。设此面元对A点的半张角为 ，见图所示，由通量公式可得

S

E dS 1

q4 0

x

R

1qx

cos 2 rdr

2 0x2 r2

R

rdr

(x

2 r2)3/2

q

2 0

22 x R

习题9-7(b)图

9-8 通过此半球面的电通量与通过以O9-9 9-10 半径r ∴ E

qi

2

4 0r

当r 5cm R1时， qi 0,∴E1 0

R1 r 8cm R2

4

qi dV 4 r2dr (r3 R13)

R1R1

3

r

r

4

(r3 R13)

E2

3 04 0r2

R13

r r2

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2 10 5

3 8.85 10 12

4

(6 10 2)3 2

8 10 22 (8 10)

1

3.48 10V m r 12cm R2

43

qi (R2 R13)

3

43 (R2 R13)3

(R2 R13) ∴ E3

4 0r23 0r2

2 10 5(0.13 0.063)4 1

4.1 10V m 122

3 8.85 10 0.12

9-11 r作一与

由高斯定理可得

∴ （1 （2 ∴ E （3

9-12 S0（图中虚线）对称，电场分布也应具有均匀性和对称性，即在与带电板平行且位于中心面S0两侧距离相等的平面上场强大小应处处相等，且方向垂直该平面。过板内P点或板外Q点作轴线与x轴平行，两底面积为S且相对中心面S0对称的闭合正圆柱面为高斯面，由高斯定理可得： （1）平板内

qi2xS

E dS 2E内S

0 0

∴ E内 方向垂直板面向外

x 0

x d 2

习题9-12图

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（2）平板外

d

E dS 2E外S s

0

∴ E外

d2 0d

x

2

方向垂直板面向外。

9-13 由于电荷分布具有轴对称性，故其场强必沿柱体的径向，其大小也具有轴对称性，故在圆柱体内取下同心薄圆筒，其半径为r，厚度dr，长l，见右图示，根据高斯定理可得

S

1E dS

0

dv

v

2E2 rl

∴ 1

0

1 (r/a)0

r

0

22

2 rldr

习题9-13图

9-14 则原带电荷等价

的对于球心O处，方向由O 习题9-14图

qdd ∴ EO E1 33

3 04 0R4 0R

方向由O指向O 。

对于空腔内的任一点P，位置如图所示。

43 43 R a r b qaq b

E E1 E2 3333

4 0R4 0r4 0R4 0r

a b (a b) d 3 03 03 03 0

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以上计算表明空腔任意点的场强大小均为

为匀强电场。

9-15 电偶极子在均匀电场中所受的力矩为

d

且方向均由O指向O ，所以，空腔内3 0

M PEsin 为电矩P

与E两方向间的夹角，当 时，外电场作用于电偶极子上

2

的力矩最大

Mmax qEd 1.0 10 6 1.0 105 2 10 3 2.0 10N m 9-16 外力所作的功为

4

习题9-15图

9-17 （1

E1

的大小为

S

1

E1 dS

0

dv

r

E14 r

2

qe 2r/a0

e4 r2dr 3 00 a01

E1

qe

3

0r2a0

r

e 2r/a0r2dr

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2r22r 2r/a0qe 1 e 2 22

a04 0r a04 r

正电荷 qe在球心，其产生的电场强度E2的大小为

qe

E2

qe4 0r

2

则在距球心r处的总电场强度为E E1 E2，其大小为

E E2 E1

E的方向沿径向向外。

9-18

2r22r 2r/a0 2 1 e2 a04 0r a0 qe

9-19 离球心为

12Q2(R r)

4 0R4 0R32Q(3R r)

8 0R3

2

2

Q

9-20 （1）电荷线密度

q

，坐标如题9-20图(a)所示，距原点O为x处取电荷元2l

dq dx，它在P点的电势du

∴ P点的总电势

1 dx

4 .0(r x)

习题9-20图(a)

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u du

l

1 dx

l

4 0r x

r l

ln

4 0r l

q8 0l

lnr l

r l

（2）坐标如题9-20图(b)所示，电荷元dq dx在Q点的

图（b）

9-21 O处场强

dE

y分量为

dEy∴

O处的电势

2 0R

1

习题9-21图

u u1 u2 u3 2

2R

dx

R

4 0x

R

1 dl

4 0R

ln2 R 2 04 0R

ln2 2 04 0

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9-22 由高斯定理可求得两无限长同轴圆柱面间的场强为

，所以两圆柱面间的电势2 0r

差 u

R2

R1

R

dr ln2 2 0r2 0R1

9-23 静电平衡时，导体球壳内、外表面均有感应电荷，由于带电系统具有球对称性，所以

内表面均匀分布有-q电荷，外表面均匀分布+q电荷，可判断电场分布具有球对称性，以任意半径r作一与球壳同心的高斯球面S，由高斯定理可得

E dS 4 r2

E qi 0

E

qi

4 2

0r

当

r R1 R1 r r R2

r 0102

R1 r R2

uR2

2 r

E2dr RE3dr

2

q1R4 2

r

q

2

0r

4 0

R 2

r R2

u

13 rE3dr

r

4 2

dr

0r

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q

4 0r

1

9-24 （1）内球电荷q均匀分布在外表面，外球内表面均匀感应电荷-q，外表面均匀分布电荷q+Q，由高斯定理可求得电场分布（略） r R1 R1 r R2 R2 r R3 r R3

E1 0

E2

q

4 0r21

E3 0

E4

q Q

2

4 0r1

（2带有q+Q球壳电势 （3）若外球壳接地，外球电势为零，外球外表面电荷为零，内球的电荷以及外球内表面电荷分布不变，所以内球的电势

u内

R2

R1

qqdr

4 0r24 0

9

10

1

11

RR

2 1

9 10 1.0 10

1 1

60V 0.010.03

9-25 由于带电系统具有轴对称性，所以电荷分布和电场分布也应具有轴对称，静电平衡时，圆柱形导体电荷均匀分布在其外表面，单位长度电量为 1，导体圆筒内表面均匀分布有感

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应电荷，其单位长度的电量为 1，外表面电荷均匀分布，单位长度的电量为 1 2。以任意半径r作同轴封闭圆柱面为高斯面，则由高斯定理得：

qi

E dS 2 rlE

0

E

qi2 0rl

当r a

qi 0 ∴ E1 0

a r bb r cr c

qi l 1 ∴ E2

l 12 0rl

1

2 0r

qi 0 ∴ E3 0 qi l( 1 2)

∴

9-26 （11，C板感应电荷为

AB、AC

依题意 dABEAB dACEAC 可得

EABdAC1

EACdAB2

7

∴ q1 1.0 10C

q2 2.0 10 7C

7

7

即B板上感应电荷为 q1 1.0 10C,C板上感应电荷为 q2 2.0 10C A板的电势

uA EABdAB

q1

dAB 0S

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1.0 10 7 4.0 10 33

2.3 10V 12 4

8.85 10 200 10

（2）当AB间充以电介质时，则有下列关系

q1 q2 q

EAB

q1

r 0S

EAC

q2

0S

q1 rEAB rdAC5 q2EACdAB2

仍可解得 q1 2.14 10 7C, q2 0.86 10 7C 所以B板上的感应电荷为 q1 2.14 10 7C C

A 9-27 设A、B两

∴

2 3 （1）

1 2 3 4

0 2 02 02 02 0

习题9-27图

A板内的P点场强为

Ep

∴

1 4

（2）

若A板带电QA，B板带电QB，板面积为S，则有

( 1 2)S QA （3） ( 3 4) QB （4）

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由（1）、（2）、（3）、（4）式可得 1 4

QA QB

2S

6 10 8 4 10 8 6 2

5 10C m 4

2 100 10

2 3

QA QB

2S

6 10 8 4 10 8 6 2

1.0 10C m 4

2 100 10

9-28 点电荷q使金属球上产生感应电荷q

0 9-29 （1 （2 （3 （4） 3u1.0 10u1.0 103

1.0 105V m 1 E 2

d1.0 10

（5） 设极化电荷产生的场强为E ，则E E0 E 为极板上极化电荷面密度， 0E，则极化电荷

，其中 0 0 0

Q S S 0ES Q 0ES

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5.31 10 7 8.85 10 12 105 0.2 3.54 10 7

C

（6） E5

0r E 3 101.0 10

5 3 或

r

cc 5.311.77

3 09-30 （1）以任意r为半径作金属球的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理得D dS 4 r2D qiD

qi

4 r

2

E

D

qi0 r

4 0 rr

2

当

r R R r r R

（2 4 0 r rR u

Q外

r

4 2

dr

Q0r

4 0r

（3） u

R

Qdr

Q

球

R

4 2

0 rr

R

4 dr

0r

2

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Q 11

4 0 r RR 4 0R

Q 1 r 1

4 0 r RR

Q

9-31 （1） D E 0 rE 8.85 10 12 3 1.0 106 2.66 10 5

C m 2

（2）

0 D 2.66 10 5C m 2

（3） E E 0

0 E 0

0 0E 2.66 10 5 8.85 10 12 6

（4 9-32 设

uu0A B

9-33 用导线连接二导体，这相当将电容C1和C2并联，此时等效电容和总电量分别为C C1 C2Q c1u1 c2u2

根据电容C Q/u，故联接二导体后它们的电势为

u Q/C

C1u1 C2u2

C

1 C2

这时电容C2上的电量为

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C2u Q2

则由导体1流向导体2的电量为

C2

(C1u1 C2u2)

C1 C2

C Q Q Q2

2

2 C(C1u1 C2u2) C1u1

1 C2

C1C2

CC(u1 u2)

1 2

9-34 （1）以任意半径r作金属球的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理可得：D dS D 4 r2

qi

D

qi

4 r

2

,E

D

qi

0 r

4 0 rr

2

当

r R

R r a

a r b

r b

（2r R

R4 r20

a4 0 rr2b4 20r

Q 11 1

4 R a 10 r a 1 1 b b

Q 1( r 1)(a b4 )

0 Rab r

R r a

u

a

E b

2 r

2 dr a

E3 dr b

E4 dr

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Q 11 1 11 1

4 0 ra r ab b

Q 1( r 1)(b a) 4 0 rab r

a r b

u3

b

r

E3dr E4 dr

b

Q 1 11 1

4 0 r rb b

Q 1 1 4 0 r rb r b

Q （3a与b其中C1 将C1、C29-35 （定理可得

∴ D

2 r

E

D

0 r

2 0 rr

（2）设介质内表面上单位长度的极化电荷为 ，则对上述高斯面应用高斯定理

E dS

1

2 rl (l l )

2 0 rr 0 1

( ) 0 r 0

1

1

r

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则介质内表面上的极化电荷面密度为

内

介质外表面上的极化电荷密度为

( r 1)

2 R12 rR2

( 1)

r

2 R22 rR2

外

9-36 （1）设两电介质中的电位移和场强分别为D1、D2和E1、E2，两板板间的电势差

u ED1d1

D2d2

d 1d

1d1 E2d2 2

0 r 1 0 r2 0 r1 0 r2

∴

u r1

r2d

u 01

d

1 r

d2

2 d2 r1

0 r

0 r

（2） 8.88 10 8J

W 2 3 4

2 w2d2s 2.22 10 3 10 40 10 2.66 10 7

J （3） W W1 W2 8.88 10

8

2.66 10 7 3.55 10 7J

9-37 （1）由高斯定理可求得电场分布 R1 r R2

E

Q4 0r2

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r R1,E 0

r R3 E R2 r R3,E 0 整个电场储存的能量

11

0E2dV 0E2dV

R322

Q4 0r2

W W1 W2

R2

R1

R2

R1

1Q21Q222

04 rdr 4 rdr0224234 R3216 0r216 0r

Q2

8 0

111 RR R3 2 1 （2

由W Q2(3 10 8)2 12

C 4.46 10F 4

2W2 1.01 10

9-38 （1）平行板电容器抽出金属板后的电容为C0

0S

d1

，插入金属板时的电容为

C

0S

d1 d2

，当充电到u 600V后拆去电源，然后抽出金属板，除金属板秘在位置外的

空间场强不变，均为

E

u600

3 105V m 1 3

d1 d2(3 1) 10

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（2） 抽出金属板需作功

11

A W2 W1

2 0E2Sd1 2

0E2S(d1 d2)

1

2

20ESd2

1

2 8.85 10 12 (3 105)2 300 10 4 1.0 10 3

1.2 10 5J

9-39 由高斯定理可求得带球体内、外的场强为（略）

E1

内

rQ4 R3

0E1

Q外

4 r2

0 r2dr 9-40 由此可得

W

12Cu21211 2

(C1 C2)u2 1

2 100 10 12 1002 1

2

(100 233) 10 12 302

3.5 10 7J

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