第10章压杆稳定

第10章 压杆稳定

10.1【学习基本要求】

1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。 2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。

3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。 4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。 5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。 6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。

7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。 8、掌握压杆的稳定条件。

9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。 10、掌握提高压杆稳定性的措施。 10.2【要点分析】

1、压杆稳定的概念

稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。 失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。

稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。 ．．．不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的平衡为不稳定平衡。 ．．．失稳：轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。

临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。

临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）

【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。

2、理想压杆

理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。

工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。这些缺陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。

3、细长压杆的临界力

细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形式有关。临界力计算公式称为欧拉公式，其统一形式为

?2EI?2EI (10.1) Fcr??2??l?2l0【说明】①EI为杆件的抗弯刚度；②l0=μl称为相当长度或计算长度，其物理意义为

各种支承条件下，细长压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度，也就是挠曲线上两拐点间的长度，即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离；③μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的影响，具体情况见表10-1。

4、细长压杆的临界应力

压杆处于临界状态时横截面上的平均应力称为临界应力，用σcr来表示。压杆在弹性范围内的临界应力为

?2EI?2EFcr? (10.2) ?cr?2?2A(?l)A?【说明】①这是欧拉公式的另一种表达形式。②EI为杆件的抗弯刚度。③I、A、i2=I/A

是只与杆横截面的形心主矩和截面面积，都是与截面形状和尺寸有关的几何量；④式中λ=μl/i称为压杆的柔度或长细比，它全面地反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界荷载的影响，是压杆的一个重要参数。

表10-1 各种约束条件下等截面细长压杆的长度系数 杆端支承情况 两端铰支 一端固定，一端铰支 两端固定 一端固定，一端自由 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 μ=1 μ=0.7 μ=0.5 μ=2 长度系数μ 5、欧拉公式的适用范围

欧拉公式是以压杆的挠曲线近似微分方程为依据而得到的，因此欧拉公式的适用条件是材料在线弹性范围内工作，即临界应力不超过材料的比例极限，即

?2E ?cr?2??p或 ???E或???P (10.3)

??P【说明】①式中λ为压杆的柔度或长细比。②式中?P??E/?P，完全取决于材料的力学性质。③满足λ≥λp的压杆才能适用欧拉公式。④适用欧拉公式的压杆称为细长杆或

大柔度杆。 6、中长杆的临界应力

1）直线公式

对于中长杆，把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。

?cr?a?b? (10.4)

【说明】①式中a、b是与材料力学性质有关的系数，可以查相关手册得到。②临界应力σcr随着柔度λ的减小而增大。③该式适用于?S????P的压杆，称为中长杆或中柔度杆，式中?S?(a??S)/b，σS为材料的屈服极限。

2）抛物线公式

把临界应力?cr与柔度?的关系表示为如下形式

2??????? ????c? (10.5) ?cr??s?1?a?????c?????【说明】①式中σs是材料的屈服强度。②a是与材料性质有关的系数。③λc是欧拉公式与抛物线公式适用范围的分界柔度。

7、粗短杆的临界应力

当压杆的柔度满足λ<λs条件时，这样的压杆称为粗短杆或小柔度杆。实验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度（或抗压强度σb）而发生失效，属于强度问题。

8、临界应力总图 以柔度λ为横坐标，以临界应力σcr为纵坐标，作出σcr-λ图，能够反映三类压杆的临界应力σcr随压杆柔度λ变化的情况，称为临界应力总图。图10-1所示的是中长杆采用直线公式的临界应力

图10-1 总图。

9、压杆稳定计算的安全系数法

在对压杆进行稳定计算时，以临界应力除以大于1的安全系数所得的数值为准，即要求横截面上的正应力σ≤σcr/nst，通常将稳定条件写成下列用安全系数表达的形式：

?Fnw?cr?cr?nst (10.6)

?FN【说明】①式中，nst为规定稳定安全系数。②nw称为压杆的工作安全系数。③FN是

指压杆的轴力。④σcr和Fcr是指由临界应力总图得到的临界应力和临界力。

10、压杆稳定计算的折减系数法

nst稳定安全系数，[?]为强度计算时的许用应力。?称为折减系数，是一个小于1的数，是压杆长细比的函数，反映了随着压杆长细比的增加对稳定承载能力的降低。

因此，对于同种材料制成的等截面压杆，稳定条件可表达为

F?w?N??[?] (10.7)

A如果定义[?]st??cr??[?]为稳定许用应力，其中σcr为压杆的临界应力，nst为规定

式中，FN为压杆轴向；A为压杆的横截面面积。

【说明】①利用式(10.6)或式(10.7)就可进行稳定性校核、设计截面和确定许可荷载等三个方面的计算。②需要指出的是，当压杆由于钉孔或其他原因而使截面有局部削弱时，因为压杆的临界力是根据整根杆的失稳来确定的，因此在稳定计算中不必考虑局部截面削弱的影响，而以毛面积进行计算。③在强度计算中，危险截面为局部被削弱的截面，应按净面积进行计算。

11、提高压杆承载力的措施 影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状，压杆的长度、约束条件和材料的性质等。所以提高压杆承载能力的措施可以从选择合理的截面形式、减小压杆长度、改善约束条件及合理选用材料等几个方面着手。 10.3【范例讲解】

? 例10-1图10-2所示两端球铰支承细长杆，弹性模量E＝200GPa，试用欧拉公式计算其临界力。

1）圆形截面，d=25 mm，l=1.0 m；

2）矩形截面，h＝2b＝40 mm，l＝1.0 m； 3）No16工字钢，l＝2.0 m。 解：1）圆形截面杆：

两端球铰： μ=1，

?d4I? ?1.9?10-8 m4 l 64 229?8?EI??200?10?1.9?10Fcr1???37.8 kN22??l??1?1?2） 矩形截面杆：

两端球铰：μ=1， Iy

hb3 Iy??2.6?10-8 m4 12 229?8?EIy??200?10?2.6?10Fcr2???52.6 kN22??l??1?1?3） No16工字钢杆： 两端球铰：μ=1， Iy

?2EIy?2200?109?93.1?10?8Fcr3???459 kN 22??l??1?2?F d h b y z y z 图10-2

? 例10-2图10-3所示矩形截面压杆，有三种支承方式。杆长l＝300 mm，截面宽度b＝20 mm，高度h＝12 mm，弹性模量E＝70 GPa，λp＝50，λ0＝30，中柔度杆的临界应力公式为σcr＝382 MPa – (2.18 MPa)λ。试计算它们的临界力，并比较其大小。 F F F

A-A

h

l l l A A b z

y (c) (a) (b) 图10-3 解：(a)比较压杆弯曲平面的柔度：

?l?lIy?Iz, iy?iz, ?y?, ?z?,??y??z

iyiz长度系数： μ=2

?y??liy?12?l12?2?0.3??173.2 h0.012压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

Fcr(a)?2E?2?70?109??cr?A?2?A??0.02?0.012?5.53 kN

?y173.22??1,?y??liy?12?l12?1?0.3??86.6 h0.012(b)长度系数和失稳平面的柔度：

压杆仍是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

Fcr(b)?2E?2?70?109??cr?A?2?A??0.02?0.012?22.1 kN

?y86.62??0.5,?y??liy?12?l12?0.5?0.3??43.3 h0.012(c)长度系数和失稳平面的柔度：

压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力

Fcr(c)??cr?A??a?b??A?(382?2.18?43.3)?106?0.02?0.12?69.0kN

三种情况的临界压力的大小排序为Fcr(a)?Fcr(b)?Fcr(c)。

? 例10-3图10-4所示压杆，截面有四种形式。但其面积均为A＝3.2×10 mm2， 试计算

它们的临界力，并进行比较。弹性模量E＝70 GPa，λp＝50，λ0＝30，中柔度杆的临界应力公式为σcr＝382 MPa – (2.18 MPa)λ。

b a F

z a z 2b

y y

3m

解：(a)比较压杆弯曲平面的柔度：

(a)

(b)

d 0.7D D (c)

(d)

图10-4

Iy?Iz, iy?iz, ?y?矩形截面的高与宽：

?liy, ?z??liz??y??z

A?2b2?3.2?10mm2 ?b?4 mm 2b?8 mm

长度系数：μ=0.5

?y??liy?12?l12?0.5?3??1299 b0.004压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：

? 例10-10图10-11所示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成，C、D两处均为球铰。已知d=200mm，b=100mm，h=180mm；E=200GPa，σs=235MPa，σb=400MPa；强度安全系数n=2.0，稳定安全系数nst=3.0。试确定该结构的许可荷载。 解：1）求内力

杆CD受压力为FCD?2）梁BC的强度计算 ??F2F，梁BC中最大弯矩为MB? 33MB2F?64F?s ??2?2W3bhbhn?sbh2235?106?100?1802?10?9F???95175N?95.2

n4?2.03）杆CD 的稳定性计算

1?1?200??p

20i?10?34?2EI?2E??d4?3?200?109?204?10?123Fcr?2?2??15.5?10N=15.5kN2l?64l?6464?1F?3FCD?3Fcr

F15.5?3?15.5kN ?F?st??3.03.0???l?

? 例10-11图10-12(a)示桁架结构，在节点C承受铅垂方向的荷载F=100kN，二杆均为

圆截面杆，材料为Q235钢，许用应力[σ]=180MPa，试确定杆的直径。 解：受力分析如图10-12(b)所示，由平衡条件得

55F??100kN?83.33kN 666161F2?F??100kN=130.17kN

66F1?首先确定AC杆件的直径，AC杆受拉，得

A1?d????F1?83.33kN?4.63cm2

180MPa(a)

4?4.63cm=24.3mm

?3.14由此得，d?24.3mm

?在计算BC杆件的直径，

1）初次估算，先取?1?0.6，利用公式计算压杆面积。

4A1A1??1???F2?130.2kN?1.2056?10?3m2

0.6?180MPa4A1(b) 图10-12

直径为d1???4?1.2056?10?3m?39.19mm

3.14惯性半径为i?d?39.19?9.7975mm 44?l10061柔度为????79.72

i9.7975??0.733，校核其稳定性。 查折减系数表，并用插值法得到?1F130.2kN??2??108.00MPa ?32A11.2056?10m??st???1?????0.733?180MPa=131.97MPa

材料未充分利用，需要进一步试算； 2）第二次试算，取?2??1??1?2F2130.2kNA2???1.0853?10?3m2

?2???0.6665?180MPa4A2?0.6?0.733?0.6665，计算压杆面积得

24?1.0853?10?3?m?37.18mm 直径为d2??3.14惯性半径为i?d?37.18?9.295mm

44?l10061??84.03 柔度为??i9.295??0.706，校核其稳定性。 查折减系数表，并用插值法得到?2F130.2kN??2??119.97MPa

A21.0853?10?3m2??st???2?????0.706?180MPa=127.08MPa

许用稳定应力略大于工作应力，但在允许的范围之内，所以认为满足稳定条件，可设计的BC压杆的直径应为d?37.18mm。

? 例10-12如图10-13两根槽钢由缀板连接组成立柱，柱的两端均为球铰支承，柱长l=4m，受轴向压力F=800kN。槽钢材料为Q235钢，许用应力[σ]=120MPa。试从稳定条件考虑选择槽钢的号码，并求两槽钢间的距离2b及缀板间的距离a。 解：1）用迭代法设计槽钢型号

① 设??0.5，则[?]w?0.5[?]?0.5?120?60 MPa

由??F?[?]w有2A800?103?422 A???66.7?10 m?66.7 cm62[?]w2?60?10F查型钢表，36b槽钢 A?68.11 cm，iz?13.6 cm

2图10-13

1?400?30

iz13.6查折减系数表，??30时，??0.958

则有 ???l?② 再设??0.73，则[?]w?0.73[?]?0.73?120?87.6 MPa

800?103?422A???45.7?10 m?45.7 cm 62[?]w2?87.6?10F查型钢表，32a槽钢，A?48.5 cm，iz?12.5 cm 则有 ??2?liz?1?400?32 12.50.927?0.958(32?30)?0.952

40?30③ 再设??0.84，则[?]w?0.84[?]?0.84?120?101 MPa

查折减系数表，用内插法查得，??32时，??0.958?800?103?422A???39.6?10 m?39.6 cm 62[?]w2?101?10F查型钢表，25b槽钢，A?40 cm，iz?9.41 cm 则有 ??2?liz?1?400?42.5 9.410.888?0.927(42.5?40)?0.92

50?40④ 再设??0.88，则[?]w?0.88[?]?0.88?120?105.6 MPa

查折减系数表，用内插法查得，??42.5时，??0.927?800?103?422A???37.9?10 m?37.9 cm

2[?]w2?105.6?106F2查型钢表，22槽钢，A?36.2 cm，iz?8.42 cm(面积小4.5%)

则有 ???liz?1?400?47.5 8.420.888?0.927(47.5?40)?0.90

50?40⑤ 再设??0.89，则[?]w?0.89[?]?0.89?120?106.8 MPa 查折减系数表，用内插法查得，??47.5时，??0.927?800?103A???37.5?10?4 m2?37.5 cm2 62[?]w2?106.8?10F2查型钢表，22槽钢，A?36.2 cm，iz?8.42 cm(面积小3.5%，满足工程要求)

故可选22槽钢。 （2）确定槽钢间距b

42查型钢表，22槽钢，A?36.2 cm，Iz?2570 cm，z0?2.03 cm，Iy?176 cm

4合理的间距应使Iy?Iz，即

176?36.2(b?2.03)2?2570 解出b?10.2 cm。

（3）确定缀条间距a

理论上，如果将两槽钢拉开一定距离b后，立柱在y轴方向，和z轴方向上的整体柔度都相同。但实际上，对于每一根槽钢来说，y轴方向上的稳定性仍然较另一轴差一些，

为了防止在局部出现失稳，常常需要用缀条将两根槽钢固定起来。两缀条之间的槽钢视为两端铰支，应使两缀条之间槽钢的局部柔度与整体柔度相同。

查22槽钢,iy?2.21 cm,?y??aiy?a,而22槽钢??47.5令?y??z，即 2.21a?47.5，解出a?105 cm。 2.21? 例10-13图10-14(a)示刚性横梁AB水平放置，A端是固定铰支座支承，B端作用有向下的力F，试计算其临界压力Fcr。CD和EF均为两端铰支的长为l的细长压杆，且EI已知。 (a) (b)

图10-14

MA?0，得 解：设杆件CD，EF受到轴力分别为FN1,FN2。由梁AB的平衡方程

?aFN1?2aFN2?4aF?0

由于横梁AB是刚性杆，结构变形后，它仍为直杆，有图a中看出，杆件AB,CD两

杆的伸长?lCD，?lEF应满足以下关系：?lEF?2?lCD

FN1lFl, ?lEF?N2 EAEAFlFl代入得 N2?2N1

EAEA48由以上各式解出FN1?F, FN2?F

55由胡克定理， ?lCD?由以上分析得，杆件EF受压力最大，只要其达到临界压力，即为结构达到临界压力 得 FcrEF?2ll255?2EI所以F?FcrEF? 288l由Fcr??2EI?2EI

10.4〖练习题〗

10-1判断题：试判断下列说法是否正确，正确的划“√”，错误的划“×”并请说明理由。

1）压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。 2）同种材料制成的压杆，其柔度越大越容易失稳。

3）两根材料、长度、横截面面积和约束都相同的压杆，其临界力也必定相同。 4）对于轴向受压杆件来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。

5）细长压杆的长度加倍，其他条件不变，则临界力变为原来的1/4；长度减半，则临界力变为原来的4倍。

6）满足强度的压杆不一定满足稳定性；满足稳定性的压杆也不一定满足强度。 7）压杆失稳是指在轴向压力作用下，危险面发生屈服或断裂。 8）压杆的失稳将在惯性半径小纵向面内发生。

9）细长杆的临界压力与杆件承受轴向压力无关。

10）一细长压杆当轴向压力F达到临界压力Fcr时受到微小干扰后发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力F，则压杆的微弯变形将会完全消失。 10-2选择题：

1）题10-2图(1)所示一正方形截面细长压杆，因实际需要在n-n横截面处钻一横向小孔如图所示。在计算压杆的临界力时，所用的惯性矩为 ；

b4b4?d4b4bd3b4b3d?? (C) (D) (A) (B)?12121212121264在对杆进行强度计算时，横截面面积应取 。

(A)b2 (B)b2?d2 (C)b2??db (D)b2?bd

2）矩形截面细长连杆，两端用柱行铰链连接，其在xy平面内可视为两端铰支，在xz

平面内近似为两端固定，如题10-2图(2)所示。从稳定性角度考虑，截面合理的高、宽比为h/b= 。

(A)2 (B) 1.4 （Ｃ）0.7 (D)0.5

题10-2图(2) 题10-2图(1)

3）图示a、b、c、d四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力FPmax有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。 (A)FPmax(a)?FPmax(c)?FPmax(b)?FPmax(d)； (B) FPmax(a)?FPmax(c)?FPmax(b)?FPmax(d)； (C)FPmax(a)?FPmax(d)?FPmax(b)?FPmax(c)； (D) FPmax(a)?FPmax(b)?FPmax(c)?FPmax(d)。 题10-2图(3)

4）图题10-2图(4)所示材料、截面形状、面积均相同的压杆AB、BC， AB＝2BC，在受到压力F时 。

(A)AB杆先失稳 (B)BC杆先失稳 (C) 两杆同时失稳 (D)无法判断

题10-2图(5) 题10-2图(6) 题10-2图(7)

题10-2图(4)

5）题10-2图(5)所示中钢管在常温下安装，当 会引起钢管的失稳。 (A)温度降低； (B)温度升高与降低都会引起失稳； (C)温度升高； (D)温度升高或降低都不会引起失稳； 6）题10-2图(6)所示边长为a=2×1.732×10mm的正方形截面大柔度杆，杆长为500毫米，

2

承受轴向压力F=4πkN，材料的弹性摸量为E＝100GPa，则该压杆的工作安全系数为 。 (A)n=1； (B)n=2； (C)n=3； (D) n=4；

7）题10-2图(7)所示结构中，当 时，结构的承载力最大。 (A)θ=0； (B)θ＝90o； (C)二杆轴力相等； (D)二杆同时达到各自的临界压力； 8）题10-2图(8)所示力F由向下改成向上，则结构的稳定性 。 (A)提高； (B)：不变； (C)降低： (D)不确定；

题10-2图(8) 题10-2图(9)

9）由四根相同的等边角钢组成一组合截面压杆，若组合截面的形状分别如题10-2图(9)所示，在此两种截面形式下： 。

(A)稳定性不同，强度相同； (B)稳定性相同，强度不同； (C)稳定性不同，强度不同； (D)稳定性相同，强度相同； 10）中心受压细长直杆丧失承载能力的原因为 。 (A)横截面上的应力达到材料的比例极限； (B)横截面上的应力达到材料的屈服极限； (C)横截面上的应力达到材料的强度极限； (D)压杆丧失直线平衡状态的稳定性

11）压杆失稳将在 的纵向平面内发生。

(A)长度系数?最大； (B)截面惯性半径i最小； (C)柔度?最大； (D)柔度?最小。

12）两根细长压杆a、b的长度，横截面面积、约束状态及材料均相同，若其横截面形状

分别为正方形和圆形，则两压杆的临界压力Facr和Fbcr的关系为 。 (A)FacrFbcr； (D)不可确定。 13）在稳定性计算中，有可能发生两种情况：一是用细长杆的公式计算中长杆的临界压力；一是用中长杆的公式计算细长杆的临界压力。其后果是 。 (A)前者的结果偏于安全，后者偏于不安全； (B)二者的结果都偏于安全；

(C)前者的结果偏于不安全，后者偏于安全； D、二者的结果都偏于不安全。

14）由低碳钢制成的细长压杆，经过冷作硬化后，其 。 (A)稳定性提高，强度不变；(B)稳定性不变，强度提高； (C)稳定性和强度都提高；(D)稳定性和强度都不变。 15）两端球形铰支的细长中心压杆，横截面为b×h的矩形，且h=2b，材料为A3钢。为提高压杆的稳定承载能力，下列方案中提高承载力最大的是 。 (A)压杆材料改用高强度合金钢

(B)将压杆下端铰支座改为固定端支座 (C)在压杆的中央增设一铰支座

(D)将压杆矩形截面改为边长为bh的正方形截面

10-3试分析当分别取图(a)(b)(c)(d) 所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在临界力Fcr作用下的挠曲线微分方程是否相同，由此所得临界力计算Fcr公式又是否相同。

题10-3图 题10-4图

10-4图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？

10-5图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。已知l = 3m，直径d = 20mm，柱子轴线之间的间距a = 60mm。柱子的材料均为Q235钢，E = 200GPa，柱子所受载荷FP的作用线与两柱子等间距，并作用在两柱子所在的平面内。假设各种情形下欧拉公式均适用，试求结构的临界力。

10-6图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在B点铰支，而在A点和C点固定，D为铰接点，l/d=10π。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。

10-7图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的θ角（假设0<θ<π/2）。

10-8长5m的10号工字钢，在温度为0℃时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数αl=125×10-7 (℃) -1，E=200GPa。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？

题10-6图 题10-7图 题10-5图

10-9如果杆分别由下列材料制成：

1）比例极限σp=220MPa，弹性模量E=190GPa的钢； 2）σp=490MPa，E=215GPa，含镍3.5%的镍钢； 3）σp=20MPa，E=11GPa的松木。

试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。

10-10下端固定、上端铰支、长l=4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力[σ]=170MPa，试求压杆的许可荷载。

题10-10图 题10-11图 题10-12图

10-11图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连接均为铰连接，在B点处承受竖直荷载F=1.3kN，木材的强度许用应力[σ]=10MPa。试校核BC杆的稳定性。

10-12一支柱由4根80mm×80mm×6mm的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长l=6m，压力为450kN。若材料为Q235钢，强度许用应力[σ]=170MPa，试求支柱横截面边长a的尺寸。 10-13某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，[σ]=170MPa。若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。

10-14图示结构中，BC为圆截面杆，其直径d=80mm；AC边长a=70mm的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A端固定，B、C为球形铰。两杆的材料均为Q235钢，弹性模量

E=210MPa，可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数nst=2.5，试求所能承受的许可压力。

10-15图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度等级为TC15。若架上受集度为q=50kN/m的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许用应力 [σ]=11MPa，试求撑杆所需的直径d。 题10-15图 题10-13图 题10-14图

10-16图示为一用20a工字钢制成的压杆，材料为Q235钢，E=200MPa，?p=200MPa，压杆长度l=5m，F=200kN 。若nst=2.0，试校核压杆的稳定性。

题10-16图 题10-17图题10-18图

10-17简易吊车摇臂如图所示，两端铰接的AB杆由钢管制成，材料为Q235钢，其强度许用应力????140MPa，试校核AB杆的稳定性。

10-18机车摇杆（近似视为等截面杆）如图所示，截面为工字形，材料为Q235钢，杆所受的轴向压力460kN。有摇杆运动平面内（图中xz面）发生屈曲时，两端可视为铰链约束；而在xy平面内发生屈曲时，两端可视为固定。试确定摇杆的工作安全因数。（已知中长杆临界应力用式?cr??0?k??235?0.00668??MPa计算）

10-19图示连杆，材料为Q235钢，其E=200MPa，?p=200MPa，?s?235MPa，承受轴向压力F=110kN。若nst=3，试校核连杆的稳定性。

10-20图示结构中AB为圆截面杆，直径d = 80mm，杆BC为正方形截面，边长a = 70mm，两杆材料均为Q235钢，E = 200GPa，两部分可以各自独立发生屈曲而互不影响。已知A端固定，B、C为球铰，l = 3m，稳定安全因数[n]st= 2.5。试求此结构的许可载荷[FP]。

22

题10-20图

题10-19图

10-21图示刚性杆AD在A端铰支；点B与直径d1 = 50mm的钢圆杆铰接，钢杆材料为Q235钢，E1 = 200GPa，[?]1= 160MPa；点C与直径d2 = 100mm的铸铁圆柱铰接，铸铁的E2 = 120GPa，[?]2= 120MPa。试求结构的许可载荷。 题10-22图 题10-21图

10-22图示梁及柱的材料均为Q235钢，E = 200GPa，?s= 240MPa，均布载荷q = 24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。

10-23图示工字钢直杆在温度t1 = 20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l = 6m，材料为Q235钢，E = 200GPa。试问当温度升高到多少度时，杆将失稳。（材料的线膨胀系数

??12.5?10?6/℃）

题10-4图 题10-24图

10-24图示桅杆塔由4根45mm×45mm×5mm的等边角钢焊制而成，材料为Q235钢，规定安全因数[n]st= 2.32，杆长l = 12m。中长杆临界应力由式?cr?235?0.0068?2MPa计算若将塔上端视为自由、下端视为固定端约束，顶部压力F = 150kN，试： 1）求最合理的b值；

2）讨论连接板之间的间距a对承载能力有无影响。a 为何值时最为合理。 10.5〖练习题参考答案〗

最大柔度61，属中长杆。 ?cr??0?k?2

FPcr??crA?(?0?k?2)A?(235?0.00668?612)?106?7238?10?6?1521kN nst?FPcr1521??3.30 FP46010-19解：根据图中连杆端部约束情况，在xy纵向平面内可视为两端铰支；在xz平面内可

视为两端固定约束。又因压杆为矩形截面，所以Iy?Iz。

根据上面的分析，首先应分别算出杆件在两个平面内的柔度，以判断此杆将在哪个平面内失稳，然后再根据柔度值选用相应的公式来计算临界力。

1） 计算?

在xy纵向平面内，??1，z轴为中性轴

iz?Izh6??cm?1.732cm A2323? l1?94?z???54.3

iz1.732IyAb2.5在xz纵向平面内，??0.5，y轴为中性轴

iy?2323? l0.5?90?y???62.3

iy0.722??cm?0.722cm

?y??z，?max??y?62.3。连杆若失稳必发生在xz纵向平面内。

2） 计算临界力，校核稳定性

?p??E?P??200?109200?106?99.3

?max??p,该连杆不属细长杆，不能用欧拉公式计算其临界力。这里采用直线公式，查表

得Q235钢的a?304MPa，b?1.12MPa

?s??s??max??p，属中等杆，因此

a??s304?235??61.6 b1.12?cr?a?b?max??304?1.12?62.3?MPa?234.2MPa

Fcr?A?cr?6?2.5?10?4?234.2?103kN?351.3kN

nst?该连杆稳定。

10-20解：1）计算柔度 AB杆：??0.7，i?BC杆：??1，i? 2）临界力

?l0.7?1.5?3d?20mm，????157.5 4i02Fcr351.3??3.2??n?st F110Ia43?l1?3??a?20.2mm，????148.5 A12a26i0.0202 AB杆：FPcr BC杆：FPcrππ2?200?109??802?10?6πEA4??crA???400kN 22?157.5π2EAπ2?200?109?702?10?6??crA???438.6 22?148.52 ∴ FPcr = 400 kN [n]st?FFPcr400?160kN ，[FP]?Pcr?[FP][F]st2.510-21解：设横梁AD可视为刚性，本题为一次静不定，BD受拉力FB，CF受压力FC。

?MA?0，2FB?4FC?6FP?0 (1) 变形：?lB?1?lC 2FlFl物理：?lB?BBE，?lC?CCF，

E1A12E2A2FlFl即：BBE?CCF，

E1A12E2A2FCFB ?ππ200??5022?120??100244 FB = 0.283FP(拉) ，FC = 1.3585FP(压)

BE杆按强度：

FB?[?]1A1?160?10? FP?6(2)

π?502?10?6?314kN 4(3)

FB?1110kN 0.283 CF杆按稳定： ???li? 查压杆的折减系数?表得：??0.26

FC?[?w]A2??[?]2A2?0.26?120?10? FP?61?2?80 0.14π?1002?10?6?245kN 4FC?180kN

1.3585(4)

比较(3)、(4)得：[FP] = 180 kN 10-22解：1）查型钢表得

No.16aI：Iz = 1130cm4，Wz = 141cm3，

2No. 63×63×5：A?2?6.143?12.286cm2，iy = 1.94cm，Iy?2?23.17?46.34cm4 2）梁为静不定，由变形谐调得：

FNl3Fl5ql4 ??N

384EIz48EIz2EAI5ql3FNl2 ??zFN (1)

384482A5ql35?24?103?43 FN???59.18kN

Izl2421130?10?8384(?)384(?)?4482A482?12.286?10 3）梁：?Yi?0，2FA?FN?4q

梁的支反力：FB?FA?(4?24?59.18)/2?18.41kN(↑) MC?FA?2?11m q?22?18.41?2??24?4??11.18kN·

22 梁弯矩值：

FS?FA?qx?0，18.41?24x?0，x = 0.767 m Mmax?18.41?0.767?1m ?24?0.7672?7.0625kN·

2 ∴ |M|max?|MC|?11.18kN·m 梁内：?max|M|max11.18?103???79.29MPa ?6Wz141?10?s240??3.03 ?max79.29?l1?200 4）柱：????103<132

i1.942 ?cr?235?0.0068??162.9MPa

梁的安全系数：n? FPcr??crA?162.9?10?12.286?10 ∴ nst?6?4?200kN

FPcr200??2.028?2.03 FN98.63 讨论：为凑书后答案，现将q改为：q = 40 kN/m，则由(1)式得：

5ql440FN??59.18??98.63kN 2I24l384(?z)482A4q?FNFA?FB??30.68kN

21m MC?FA?2?q?22??18.63kN·

2FS?FA?qx?0，x = 0.767 m

1m Mmax?FAx?qx2?11.76kN·

2 ∴ |M|max?|MC|?18.63kN·m ?max|M|max18.63?103???132MPa ?6Wz141?10 得，梁的ns??s240??1.82 ?max13210-23解：查型钢表Nom20aI的imin = 2.12 cm

π2E0.5?600 ????141.5，为细长杆，?cr?2

?i2.12?l 当温升?t?时，杆中应力

?t??E?t???cr ?E?t??π2E?2

π2Eπ2π2???39.43? ?t???E?2??212.5?10?6?141.52 即温度升高39.43°时杆将失稳。 讨论：若取??142，则

π2Eπ2??39.16? ?t??2?62?E?12.5?10?14210-24解：1）查型钢表，45×45×5等边角钢的

A1?4.292?10?4m2 ， A?4A1?17.168?10?4m2， Iz0?Iy0?8.04?10?8m4，y0 = z0 = 0.013 m

Iz?Iy?4[Iz0?(?z0)?A1] i?b22Iz4l2A?l2，??2，??，??

IzAi 若按大柔度杆设计

2π FPcr?EA?FP[n]st ?2EA206?109?17.168?10?4 ??π?π?100??P?132 3FP[n]st150?10?2.32 所以不能按大柔度杆设计，故此桅杆塔按中柔度杆设计： ?cr?(235?0.0068?)?10 FPcr??cr?A?[n]st?F

即 (235?0.0068?2)?106?17.168?10?4?2.32?150?103

????4?122?17.168?10?4 ?235?0.0068??1716.8?2.32?150?103

b???82?4??48.04?10?(?0.013)?4.292?10????2????26 b?0.722m?722mm

2）连接板之间的间矩a对承截能力有影响，间距a的合理值由单板钢局部失稳值确定。

查表imin?0.88cm?8.8?10?3m ??1（距离a间视为两端简支），??2?li?1?a

8.8?10?3a2 ?cr?235?0.0068??(235?0.0068?2?106)MPa

8.8 FPcr1??cr?A1?[n]st?F 40.0068?106?a21506?4)?10?4.292?10?2.32??103 (235?248.8 a?0.6065m?607mm

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