数学中的极限思想及其应用

摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 关键词：极限思想，应用

Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.

Keywords: the limit idea，application

目 录

1 绪 论 ...................................................................................................................................................... 3

1.1 研究意义 ...................................................................................................................................... 3 1.2 国内外研究现状 ......................................................................................................................... 3 1.3 本文解决的主要问题 ............................................................................................................... 3

2 数学极限思想的在解题中应用 .............................................................................................. 5

2.1数学极限思想在数列中的应用 .............................................................................................. 5

2.1.1利用极限思想处理无穷等比数列............................................................................... 5 2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案 ........................................................ 6 2.2数学极限思想在函数中的应用 .............................................................................................. 7

2.2.1利用极限思想确定函数图像 ........................................................................................ 7 2.2.2利用极限思想确定函数定义域 ................................................................................... 7 2.2.3利用极限思想求未知变量的取值范围 ..................................................................... 8 2.3数学极限思想在三角函数中的应用 ..................................................................................... 9

2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值范围 ................................................................. 9 2.3.2通过假设极端状态推出角的取值范围 ..................................................................... 9 2.4数学极限思想在不等式中的应用 ............................................. 错误！未定义书签。

2.4.1通过假设变量的极限求得答案 ............................................ 错误！未定义书签。 2.4.2利用极限思想解决不等式证明题........................................ 错误！未定义书签。 2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题 ........ 错误！未定义书签。 2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用 ..................................... 错误！未定义书签。

2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积 ................. 错误！未定义书签。 2.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题 ................................... 错误！未定义书签。 2.6数学极限思想在立体几何中的应用 .............................................. 错误！未定义书签。

2.6.1数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用 ............ 错误！未定义书签。 2.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系 .......................... 错误！未定义书签。 2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹........................................ 错误！未定义书签。

3 对一道数学题探索解题思路 ................................................................................................. 16 结 论 ........................................................................................................................................................ 17 谢 辞 ........................................................................................................................................................ 18 参考文献 ................................................................................................................................................ 19

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1 绪 论

极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析中的一系列重要概念如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助极限来定义的。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着高中课程的改革，高考中将加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。

本文就数学极限思想在解决几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。

1.1研究意义

极限思想作为一种重要思想，在整个数学发展史上占有重要地位。极限思想在现代数学乃至物理学中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简，拓宽考虑问题的思路，为数学问题的顺利解决提供较大的帮助。

1.2 国内外研究现状

由于数学中的极限思想对学生数学思维方法培养的重要性，因此数学极限思想的相关问题一直受到国内外众多学者的关注。如为了引起广大师生对极限思想广泛关注和高度重视，苟玉德和董玉武在2006年给出了《渗透极限思想，优化解题过程》，说明了利用极限思想，把问题放置于极限状态，能提高解题能力；2007年刘明远给出了《极限思想在解题中的应用》，通过列举极限在函数、三角函数、数列、不等式和解析几何中的应用说明极限思想对于优化解题过程，降低解题难度的重要作用；孙道斌于2007年发表了《利用极限思想巧解立几问题》，列举了极限思想在解决一些立体几何选择题的范例；2005年黄加卫给出了《极限思想在数列中的几个“闪光点”》,认为极限是微积分中最基本、最主要的概念，同时列举了极限思想在解决等比数列问题和数列证明中的几个范例；2007年徐素琳给出了《极限思想的妙用》，认为极限思想即运用“化整为零，又积零为整”的思想在图形面积、周长、体积和函数等方面有重要作用； 2007年牛保华给出了《极限思想在解题中的应用》，分析了极限思想在解题时简化运算过程、优化解题方案、探索解题思路的作用。

1.3 本文解决的主要问题

2

本文主要对数学极限思想在数列中、在立体几何中、在函数中、在三角函数中、在不等式中和在平面几何图中的应用进行分析，然后具体比较了数学极限思想和一般解法在解决一道数学题的不同，进而反映了极限思想的优势。

3

2 数学极限思想的在解题中应用

2.1 数学极限思想在数列中的应用

2.1.1 利用极限思想处理无穷等比数列

例1：（1）已知数列?cn?，其中cn?2n?3n，且数列?cn?1?pcn?为等比数列，求常数p；

（2）已知数列?an? 、?bn?是公比不相等的两个等比数列，cn?an?bn，证明: 数列?cn?不是等比数列。

解：（1）设?cn?1?pcn? 的公比为q，则有：

n?2n?2n?1n?1cn?2?pcn?12?3?p?2?3?2n?1?2?p??3n?1?3?p??nq??n?1n?1 nn2?2?p??3n?3?p?cn?1?pcn2?3?p?2?3?2?2??3??2?p??3?3?p? ???n

?2?2?p?3?p????3????对上式两端取极限，当p?3时，q?lim2?2；

n??n当p?3时，q?lim0?3?3?p??3，此时，cn?2?pcn?1?3?cn?1?pcn?，即

n??0??3?p?2n?2?3n?2?p?2n?1?3n?1??3?2n?1?3n?1??3p?2n?3n?

整理得2n?2?p2n?1?3?2n?1?2n，即4?2p?6?3p，得p?2 故常数p?2 或p?3。

（2） 假设数列?cn?是等比数列，设?an?、?bn?、?cn? 的公比分别为p，q，r

cn?1an?1?bn?1a1pn?b1qn?p?q?，?cn?an?bn?r?c?a?b?apn?1?bqn?1nnn11两边取极限：

?p?a1???b1q ???na1?p?b1??qp?q??n 4

若

p?q，?p?q,?p??q,??1，此时左边极限为r，右边极限不存在，矛盾；

npq?p?a1???b1qbp若p?q，不妨设?lim1?q ?1,则r?lim??nn??qa1?p?b1n??b1??qqp?q??n?1n?1此时an?cn?bn?c1rn?1?bq?c1qn?1?bq??c1?b1?qn?1 11表明数列?an? 的公比p?q，这与题设矛盾。故假设不成立，即数列?cn? 不是等比数列。

注1:极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法，设数列?an?是公比为q的无穷等比数列, 将

an?1aa?q两边取极限, 得limn?1?limq?q，说明等比数列中的n?1的

n??an??anann极限存在, 且就是公比q。

2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案

例2：已知数列?an?中，a1?1，且对于任意自然数N，总有an?1?nan, 是否存在实an?2?2?数a、b, 使得an?a?b??? 对于任意自然数N恒成立? 若存在，给出证明；若不

?3?存在，说明理由。

分析：解此题的一般思路是，按照“从一般到特殊, 再从特殊到一般”的思维原则。 先从具体、特定的实例入手, 从中探测出问题的结论, 再经过严格的论证, 但这样解题过程比较复杂，不如用极限思想优越，因为本题有它的特殊性，可利用极限考虑。

?2?解：如果这样的a，b存在的话, 则由an?a?b??? 可得liman?a，

n???3?对an?1?naan两边取极限, 得a?，解得a?0或a?3

a?2an?223若a?0, 则数列?an?应该是以1为首项, 以?为公比的等比数列。显然不可能对任意的正整数N都满足an?1?an an?2 5

?2??2?若a?3，将a1?1代入 an?a?b????,可求得b??3, 此时, an?3?3????验证a2?3??3?即得出矛盾。所以, 这样的实数a和b 不存在。

注2:灵活地运用极限思想解题, 常可避开抽象、复杂的运算, 优化解题过程, 降低解题难度，这是减少运算量的一条重要途径。

nn2.2 数学极限思想在函数中的应用

2.2.1利用极限思想确定函数图像

例3：函数y?1?1的图像是（ ） x?1

(A) (B)

(C) (D)

分析 当x?1,且x?1时，y???，故选（B）

2.2.2利用极限思想确定函数定义域

例4：从盛满aL纯酒精的容器中倒出1L，然后用纯水填满，再倒出1L混合液后又用水填满，这样继续下去。设倒完第n?n?1?次时前后一共倒出纯酒精xL，倒完第?n?1?次时前后一共倒出纯酒精f?x?L，求函数f?x?的表达式。

6

分析：混合溶液问题是我们经常遇到的应用题，根据混合前后浓度的变化即可写出其函

a?xa?1?1?x?1.由操作的重复性知，操作的次数越多，溶液的浓aa度越小，但是不可能是浓度为零，故x?a。

a?x解：根据题意，第?n?1?次倒出的混合液中纯酒精的体积分数为,

a数表达式f?x??x??f(x)?x?a?xa-1*1=x?1aa

下面确定定义域,由于第一次就倒出1L纯酒精，故x?1；又经过有限次(无论n有多大)操作，总不可能将全部的aL纯酒精倒出，只能无限趋近于a，即x?a，故定义域为? ?1,a?。

2.2.3利用极限思想求未知变量的取值范围

例5： 已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是P?1,1?和Q2,2?,若直线

??L:x?my?m?0与线段PQ的延长线相交,求m的取值范围。

图一

解：若m?0,则直线L:x?0与线段PQ相交,不合题意，故m?0,此时L的方程为

y??1x?1 m如图 易知直线L恒过定点M0,?1?,不妨先考虑直线L的极限情形:

由于直线L必须与有向线段PQ的延长线相交,L的斜率必须小于M，Q两点所在直线L1的斜率k1??3；当L离开L1的位置绕点M顺时针旋转时, L与PQ的延长线的交211，故L应夹在L1与L2之间,则k2???k1，即 2m点N逐渐远离Q点,当交点N与Q的距离趋向无穷大时, L逐渐趋向L2 ?L2平行于PQ?,这时L的斜率趋向PQ的斜率k2? 7

1132???，故?2?m??为所求。 2m23

2.3数学极限思想在三角函数中的应用

2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值范围

例6：已知长方形的四个顶点A0,0?,B2,0?,C2,1?和D0,1?，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为?的方向射到BC上的点P依次反射到CD,DA和AB上的点P1后，2 ，P3和，设PP4（入射角等于反射角）4坐标为?x4,0),若1?x4?2,则tan?的取值范围是

????

图二

?21??1??12??22?A?,1? B?,? C?,? D?,?

?52??3??33??53?分析：本题可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出tan?的取值范围，根据极限的观点，令x4?1，不妨 令P4与P0重合，依据入射角等于反射角，即知P1，P2，P3均为各边中点，此时tan??1，而四个选项中仅有选项?C?与此数据有关，故选?C? 2注3：将精算与估算相结合， 是一种重要的数学能力。运用极限的思想，化繁为简，为解题提供思路。此类数学试题给高中数学教学变革教与学的方向以启示，注重多元联系表示，拓宽思维，提高思维质量。

2.3.2通过假设极端状态推出角的取值范围

例7：若sin??cos??tan??0???????，则???? ?2? 8

???????????????A.?0,? B.?,? C.?,? D.?,? ?6??64??43??32?分析：本题中角?显然不是熟知的特珠角，如果我们将方程的两边看作是两个连续的函数的话，利用极限思想，借助函数的大小关系即可得出答案。

解 当??0时，sin??cos??1，tan??0，此时有sin??cos??tan? 当?? 当?? 当???6时，sin??cos??1?33，tan??，此时有sin??cos??tan?

32?4时，sin??cos??2，tan??1，此时有sin??cos??tan? 时，sin??cos???33?1，tan??3，此时有sin??cos??tan? 2 因此，由???4和???两式值的特点和；两式在区间?,?上连续可得3?43???????? ，故答案为C ???,??43??注4：由本例可见，在解决有关三角函数中的范围问题时，因为答案都是不等关系，

所以可应用极限思想来确定正确选项。

2.4数学极限思想在不等式中的应用

2.4.1通过假设变量的极限求得答案

例8：已知0?x?y?a?1，则有（ ）

(A) loga?xy??0 (B) 0?loga?xy??1 (C) 1?loga?xy??2 (D) loga?xy??2

分析：当x?a时，由题意y?a，此时xy?a2，loga?xy??2，故可排除?A?和?B?,当y?0时，由题意x?0，此时xy?0，又0?a?1，则log从而选?D?

a?xy????，故可排除?C?，

2.4.2利用极限思想解决不等式证明题

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例9：已知?1?a?1，?1?b?1，求证

112?? 221?a1?b1?ab分析：本题属于不等式证明，可用作差比较法、三角换元法，分析法等，但用极限思想尤为简单 ?1?1?a2?a4?a6?...， 21?a1246?1?b?b?b?...， 21?b11224466???2?(a?b)?(a?b)?(a?b)?...221?a1?b

?2?2ab?2a2b2?2a3b3?...

?2?1?ab?a2b2?a3b3...??2 1?ab当且仅当a?b时，等号成立，故原不等式成立。

2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题

?x?0?例10：不等式组?3?x2?x 的解集是（ ）

?3?x?2?x?A x0?x?2? B ?x0?x?2.5? C x0?x?6 D ?x0?x?3? 分析：此不等式组中关健是解绝对值不等式

???3?x2?x，但是过程相当复杂，如果应?3?x2?x用极限思想并结合排除法，此题便可轻松获解。 解：当x?3时，

3?x2?x1?0，?，显然原绝对值不等式不成立，故排除选项D 3?x2?x5当x?2时，

3?x12?x3?x2?x?，故排除选项A ?0，显然?3?x52?x3?x2?x3?x12?x1?，?，显然原绝对值不等式不成立，故又排除3?x112?x9而当x?2.5时，

选项B。

故正确选项为C。

2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用

2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积

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例11 求抛物线y?x2与直线x?1及x轴围城的阴影部分面积S

图三

解：在x轴上将线段?0,1?等分为n份，每份长度为

1，以每份线段为底，以此线段端点n坐标对应抛物线的值为高分别作n个矩形，由此可见，这n个矩形的面积之和Sn近似等于图中阴影部分面S，当n???时，Sn?S

?Sn?M1?M2?...?Mn

11121n?()2?()2?...?()2 nnnnnn?1222(1?2?...?n) 3nn(n?1)(2n?1)2n3?3n2?n?? 336n6n2n3?3n2?n1?S?limSn?lim?

n??n??6n332.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题

例12：已知抛物线y2?2px(p?0)，试问：在x轴正方向上是否必存在一点M，使得对于抛物线上任意一点过M 的弦PQ均有

11?为定值。 MP2MQ2 11

图四

分析：假设符合条件的点M存在，考虑过点M的一条特殊的弦（垂直与x轴的弦的情形），设Mx0,0?、P0x0,y0?、Q0x0,?y0?,则

???111121 ?????22222MPMQ0y0y0y0px00但是仅凭此式还是看不出M点的位置，再考虑过点M的弦的极限情形一弦与x的正半轴重合，此时过点M的弦PQ的一个端点Q是原点，另一个端点P，则可看成是一个在无穷远的点，

即MP???,则点Mp,0?

下面证明过点Mp,0?的任意一条弦PQ均有

11111，于是，解得x0?p。于是可猜得顶???2222px0x0MPMQ0x00??11为定值。 ?22MPMQ00设过点M的直线方程为

?x?p?tcos?y?tsin?代入抛物线方程得t2sin2??2ptcos??2p2?0

设方程的两根为t1、t2，它们的几何意义分别为MP、MQ的长，则

?2p22pcos?t1?t2?，t1t2?2 2sin?sin?1111(t1?t2)2?2t1t24p2cos2??4p2sin2?1??2 ??2?2?422224ppMPMQt1t2t1t2故点M(p,0)是符合条件的点。

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2.6 数学极限思想在立体几何中的应用

2.6.1数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用

'''例13：如图，直三棱柱ABC?ABC的体积为V，P、Q分别是侧棱AA' 、CC'上的点，

'且AP?CQ，则四棱锥B?APQC的体积为( )

图五

（A).

1111V (B) V （C）V (D) V

3245解：由于上、下底三角形形状未定，P、Q可移动，直接找VB?APQC与V之间的关系不太方便，在此可考虑P、Q的极端位置:令P?A、Q?C' , 则有

1VB?APQC?VB?ACC'?VC'?ABC?V，故选(B)。

32.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系

例14：一个正四棱台上、下底面边长分别为a、b，高为h，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系中正确的是( )。 （A）

11111111111?? (B) ? (C) ?? (D) ?? habha?babhbah解析考虑极限情况:令a?b，则由侧面积等于两底面积之和得a2?b2?4ah，即a?2h 对照选项可知(A)符合，故选(A)。

2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹

''''例15：如图，正方体ABCD?ABCD，且点P在侧面BCC'B'及边界上运动，且总保持

AP?BD',则动点P的轨迹是（ ）

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图六

'''' (A)线段BC (B)线段BC (C) BB中点与CC中点连成的线段

'(D) BC中点与BC中点连成的线段

解：直接求符合条件的点P的轨迹不容易，因此，可以考察各选择支P点的极端位置。

'的端点C (即点P与端点C重合)时，易证AP?BD'；当P点运动P点运动到线段BC'到线段BC的端点B'时，也易证AP?BD'。而选择支B、C、D中，当P点运动到各

线段的端点时都不满足AP?BD'。故选(A)。

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3对一道数学题探索解题思路

25?，长轴平例16：求离心率e?2，过点?1,0?且与直线L:2x?y?3?0相切于点???3,3?5??行于y轴的椭圆方程。

分析：一般解法是设椭圆中心为?x0,y0?，可得椭圆方程，并列出过已知点P的切线方程，联立消参可求椭圆 。

解：设椭圆中心为?x0,y0?，由离心率e?21，可得b2?a2

55a2a222y?y0?5?x?x0??又由长轴平行于y轴，可设椭圆方程为??1

??y?y0?25?x?x0?2???1只有唯一解，且此解为?25? 2联立方程?a2a??3,3????2x-y+3=0?y2?1 又椭圆过点?1,0?代入 可求得椭圆方程为x?52探索思考：计算过程中，明显发现这种解法运算过程繁琐。如果把“点椭圆”看作椭圆的退化情况，考虑极端元素，则可简化运算过程。

25? 看作离心率 e?解：把点???,??33?2152的椭圆系 (x?)2?(y?)2?0的极限状态（“点

3535椭圆”），则与直线L:2x?y?3?0相切于该点的椭圆系即为过直线L与“点椭圆”的公

215共点的椭圆系，其方程为(x?)2?(y?)2??(2x?y?3)?0

353又由于所求的椭圆过点

。 ?1,0?，代入上式，得???232y2?1 因此，所求椭圆方程为x?5

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结 论

数学极限思想因为本身能够化繁为简，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。极限思想可以用在我们高中数学的每一个角落。在解题过程中，它能化无限为有限，节省大量运算，提高解题速度和准确性。灵活巧妙、正确的运用数学极限思想能提高人们解题的正确率和策略意识，从而加深知识的理解和掌握。

能否熟练地应用就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是关键，而极限思想的灵活运用就成为减少运算量的一条重要途径。当然数学极限思想并不是任何情况都可以用，在解决具体问题时，需要具体问题具体分析。

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谢 辞

论文得以完成，首先要感谢生志荣老师，因为毕业设计在你们的悉心教导下才能顺利完成，老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的高尚风范、朴实五华、平易近人的人格魅力对我的影响非常深远。

同时要感谢四年来教导过我的各科老师，学院的各位领导，还有在我写论文过程中，帮我一起搜集资料的朋友们。正是因为有你们，才使得这篇论文能完整的呈现在这里，才能是自己完成了这个令人兴奋的任务。

任何一篇优秀的论文都离不开老师和朋友的参与、支持和帮助。而每一篇好的论文又能为大家所分享和阅读，这真是一种善缘，愿我们在这样的关系中能成长和进步。

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参考文献

[1]吴振英、陈湛本. 论极限的思想方法[J].广州大学学报（自然科学版），2003，（5):410-413.

[2] 刘明远. 极限思想在解题中的应用[J]. 高考（数语英），2007（Z2）:38-39 . [3] 孙道斌. 利用极限思想巧解立几问题[J].中学生数学，2007（1）:17-18. [4] 徐素琳. 极限思想的妙用[J]. 数学数学，2007,（10）:33-34.

[5] 牛保华. 极限思想在解题中的应用[J]. 考试（高考理科版），2007（5）:16-17. [6] 苟玉德.董玉武. 渗透极限思想 优化解题过程[J] 数学通报，2006（3）:48-50. [7] 黄加卫. 极限思想在数列中的几个“闪光点”[J]. 中学数学月刊，2005,（3）:35-36. [8] 刘国合.极限思想在解题中的应用[J]. 数学通报，2005,（5）:55-56.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hf37.html