15秋福师《实变函数》在线作业一 答案
更新时间:2023-05-21 14:41:01 阅读量: 实用文档 文档下载
福师《实变函数》在线作业一
一、判断题(共 37 道试题,共 74 分。)
1. 若f∈V当且仅当f是两个增函数之差。
. 错误
. 正确
正确答案:
2. 若f,g∈V,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于V。
. 错误
. 正确
正确答案:
3. f∈V,则f有“标准分解式”:f(x)=f()+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
. 错误
. 正确
正确答案:
4. 可数个G_lt集之交和有限个G_lt集之并仍是G_lt集,但可数个G_lt集之并未必仍是G_lt集
. 错误
. 正确
正确答案:
5. 集合可测等价于该集合的特征函数X_可测
. 错误
. 正确
正确答案:
6. 若f∈Lip[,],则f∈[,].
. 错误
. 正确
正确答案:
7. 若f,g∈V,则f/g(g不为0)属于V。
. 错误
. 正确
正确答案:
8. 不存在这样的函数f:在区间[,]上增且使得f'(x)在[,]上积分值∫fx<f()-f() . . 错误
. 正确
正确答案:
9. 存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等.
. 错误
. 正确
正确答案:
10. R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
. 错误
. 正确
正确答案:
11. 若f,g∈V,|g|>>0,则f/g属于V。
. 错误
. 正确
正确答案:
12. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,..,n=1,2, ,则f<=g,.. . 错误
. 正确
正确答案:
13. 设f为[,]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数.
. 错误
. 正确
正确答案:
14. 三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
. 错误
. 正确
正确答案:
15. f∈V,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点.
. 错误
. 正确
正确答案:
16. 有限覆盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖. . 错误
. 正确
正确答案:
17. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
. 错误
. 正确
正确答案:
18. 函数f在[,]上为常数的充要条件是f在[,]上绝对连续且在[,]上几乎处处为零. . 错误
. 正确
正确答案:
19. 函数f≡∈[-∞,∞],则f可测。
. 错误
. 正确
正确答案:
20. 若f,g∈,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于。
. 错误
. 正确
正确答案:
21. f在[,]上为增函数,则f'(x)在[,]上积分值∫fx f()-f() .
. 错误
. 正确
正确答案:
22. 若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).
. 错误
. 正确
正确答案:
23. 有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞
. 错误
. 正确
正确答案:
24. 测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.
. 错误
. 正确
正确答案:
25. 三大积分收敛定理包括Lvi定理,Ftou定理和Lsgu控制收敛定理。
. 错误
. 正确
正确答案:
26. 测度为零的集称为零测集.
. 错误
. 正确
正确答案:
27. 一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
. 错误
. 正确
正确答案:
28. 若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.
. 错误
. 正确
正确答案:
29. f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigm-有限测度。
. 错误
. 正确
正确答案:
30. f∈V,则f几乎处处可微,且f'∈L1[,].
. 错误
. 正确
正确答案:
31. 对R^n中任意点集,\'必为可测集.
. 错误
. 正确
正确答案:
32. f,g∈M(X),则fg∈M(X).
. 错误
. 正确
正确答案:
33. 闭集套定理的内容是:{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空.
. 错误
. 正确
正确答案:
34. 可数集的测度必为零,反之也成立.
. 错误
. 正确
正确答案:
35. 若交等于空集,则可测时必可测.
. 错误
. 正确
正确答案:
36. 若f∈,则f是连续的有界变差函数,即f∈∩V.
. 错误
. 正确
正确答案:
37. g的连续点是L点,但L点未必是连续点.
. 错误
. 正确
正确答案:
福师《实变函数》在线作业一
二、单选题(共 5 道试题,共 10 分。)
1. 下列关系式中不成立的是( )
. f(∪i)=∪f(i)
. f∩(i)=f(∩i)
. (∩)0=0∩0
. (∪i)=∩(i)
正确答案:
2. fn->f,..,则
. fn依测度收敛于f
. fn几乎一致收敛于f
. fn一致收敛于f
. |fn|->|f|,..
正确答案:
3. 若为R^n中一疏集,则( )
. 为稠集
. 为开集
. 为孤立点集
. 不完备
正确答案:
4. 开集减去闭集其差集是( )
. 闭集
. 开集
. 非开非闭集
. 既开既闭集
正确答案:
5. 有限个可数集的乘积集是( )
. 有限集
. 可数集
. 有连续统势的集
. 基数为2^的集
正确答案:
福师《实变函数》在线作业一
三、多选题(共 8 道试题,共 16 分。)
1. 若 和都是R中开集,且是的真子集,则( )
. m()<m()
. m()<=m()
. m(\)=m()
. m()=m()+m(\)
正确答案:
2. 在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( ) . f在R上处处不连续
. f在R上为可测函数
. f几乎处处连续
. f不是可测函数
正确答案:
3. 若0<=g<=f且f可积,则( )
. g可积
. g可测
. g<∞,..
. 当g可测时g必可积
正确答案:
4. 若f∈[,],则( )
. f∈[,]
. f∈V[,]
. f(x)=f()+∫x f '(t)t
. f∈Lip[,]
正确答案:
5. f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上
. 有L积分值
. 广义R可积
. L可积
. 积分具有绝对连续性
正确答案:
6. f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
. 广义R可积
. 不是广义R可积
. L可积
. 不是L可积
正确答案:
7. 设1,2是R^n中测度有限的可测集,则
. m(1∪2)+m(1∩2)=m1+m2
. 若1包含于2,m1<=m2
. 若1包含于2,m(2\1)=m2-m1
正确答案:
8. 设为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是
. 是L可测函数
. 不是L可测函数
. 有界函数
. 连续函数
正确答案:
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