高等数学第一章映射与函数

第一章 函数与极限分析基础

函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁

第一章

第一节 映射与函数一、集合 二、映射 三、函数

机动

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一、 集合1. 定义及表示法

定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集*表示 M 中排除 0 的集 ; M

M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征

ai

n i 1

自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n

例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p 与 q 互质 p Z, q N , 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数 开区间 ( a , b ) x a x b 闭区间 [ a , b ] x a x b 机动 目录 上页 下页 返回 结束

半开区间 无限区间

a a a 点的 邻域 去心 邻域 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .

(

)

左 邻域 :

右 邻域 :机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,

显然有下列关系 :

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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:

并集 A B x交集 A B x 差集 余集

或

A B

B AA\ BA B

且且 x B

A \ B xc BA

A \ B ( 其中B A )

直积

A B ( x , y) x A , y B

A c BAB

B

特例:

R R

记

R

2

A B A

为平面上的全体点集机动 目录 上页 下页

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二、 映射1. 映射的概念 引例1. 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号

某班学生的集合 按一定规则入座

某教室座位 的集合

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引例2.

引例3.

(点集) (点集)

向 y 轴投影机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .

X

f

Y

元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f ( x).元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;

Y 的子集 f ( X ) f ( x) x X

称为 f 的 值域 .

注意: 1) 映射的三要

素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

对映射若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射; 引例2, 3

X若则称 f 为单射;

f

Y f (X )

有引例2

X

Y

若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.引例2机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.海伦公式(满射)

例2. 如图所示,对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射) 例3. 如图所示, 则有

r

(满射)机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明:映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用

名称. 例如,X (≠ ) X (≠ )

f f

Y (数集)X

f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换

X (数集 或点集 )

f

R

f 称为定义在 X 上的为函数

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2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射 使 称此映射 f 1 为 f 的逆映射 .f

为单射, 则存在一新映射

其中Df 1

习惯上 , y f ( x) , x D的逆映射记成

f ( D)

y f 1 ( x) , x f ( D)例如, 映射 其逆映射为

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(2) 复合映射引例.D1

D手电筒

D2D 复合映射

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定义. 设有映射链

u g ( x ) g ( D) x D u D1 则当 g ( D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复合映射 , 记作 或 f g ( x), x D.

g f

g ( D)

注意: 构成复合映射的条件 g ( D) D1 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、函数1. 函数的概念定义4. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 自变量 为定义在

y f ( x) , x D因变量 f ( D ) 称为值域 函数图形:

y y

C ( x , y ) y f ( x) , x D D f ( D)

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a x b ( D [a, b] )目录 上页 下页 返回

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x D(定义域) 定义域

f

y f ( D) y y f ( x), x D (值域)

(对应规则)

使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法

例如, 反正弦主值定义域 值域

又如, 绝对值函数定义域 值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束

2 x , 0 x 1 例4. 已知函数 y f ( x) 1 x , x 11 ) , 并写出定义域及值域 . ) 求 f (1 及 f ( 2 t

) 2 解: f ( 1 2

1 2

2

1 1 , 0 t 1 t 1 f (t ) 2 t 1 , t 定义域 D [0 , )值 域 f ( D ) [0 , )机动

t 0时函数无定义

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2. 函数的几种特性 设函数 y f ( x) , x D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x D , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 为有界函数. x I ,

M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 在 I 上有界. 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 ) (2) 单调性 x1 x2 时, x1 , x2 I , 当 y 称 为有上界 , f ( x ) M , 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 , M f (单调增函数 x), 称 为有下界 ; )1 x M , ( x) 为 Ix D, 使 f ( xx 若 若对任意正数 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 上的 M ,f均存在 x 2 单调减函数 . 则称 f ( x ) 无界 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3) 奇偶性

x D, 且有 x D,若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.

y

说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 , 则当

x oy x e

xx

f ( x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.例如,

e x e x y f ( x) 偶函数 2记

e x

y ch x

ch x

双曲余弦机动

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hel4.html