《微积分(一)》同步练习册

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

第二章 极限与连续 §2.1 数列极限

1. 写出下列数列的通项，考察n??时通项的变化趋势，用极限的形式表示其结（2）考察“等比数列”：q,q,?,q,?， i）记该数列的前n项和xn?2nq?nk，试将xn化简；

果：

（1）sin?,sin2?,sin3?,?； （2）12,?14,18,?116,?.

2. 计算以下数列的极限： （1）设a?0,a?1，xn?na,n?1,2,?; 求limn??xn；

k?1ii）在此基础上，试求limn??xn；

（3）lim4n?n?2?n2?1n??n?3n?1；

（4）lim?3?ln(2n3?n?1)?2lnn?2lnn2?n???3?；

? （5）limn??4n2?n?2n； （6）limn??n?n?10?n?；- 1 -

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

（7*）limn?33n2?n3n??；

）lim3n?sin??n2（8*

?n??2n?cosn2?.

3. 设x1n?n2?1?1n2?2???1n2?n，求limn??xn.

4. 设x12nn?n2?1?n2?2???n2?n，求limn??xn.

5*. 设annni?0,i?1,2,?,k，试求数列极限limnn??a1?a2???ak.

- 2 -

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

§2.2 函数极限

1. 由函数y?e?x的图形分别考察极限?x?x?xxlim???e,xlim???e,limx??e.

2. 由函数y?arctanx的图形分别考察极限xlim???arctanx;xlim???arctanx;

limx??arctaxn.

3. 求下列函数极限：

（1）limx2?13x2?7xx?0x2?x?2; （2）limx?02x3?3x2?5x;

78（3）lim22?xx?2?2?x?32?x; （4）limx?3?4x?x???5x?1?15;

（5）lim1x?1(x?1?3x3?1); （6）xlim????2x2?x4x2?2?;

（7）lim3x?6?3x?13x?1．

??arcsin2x,x?0x?04. 设f?x???1,?3x?2x?x,0?x?0.1，试考察极限limx?0f?x?的存在性．??x?10,x?0.1

- 3 -

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

5．讨论极限lim1x?01的存在性．

1?ex

6. 设f?x????5x?4,0?x?1?2a?lnx,x?1且极限limx?1f(x)存在，求实数a的值.

7．已知limf(x)存在，f(x)?x2x?1?2xlimx?1f(x), 试求f(x)．

limx?1f(x)=A

- 4 -

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

§2.3 函数极限的性质及运算法则

1．试利用公式limsinxx?1证明：

x?0（1）limarcsinx?1； （2）1?cosxx?0xlimx?0x2?1. 2

2．已知lim??f?x??2x?0?x?sinx?x2???1，试求limx?0f?x?．

3*．求极限lim?3??3?3?02x??x??，其中??x??表示x的取整函

x

4*．设f?x?在x?x0?0的某邻域内有定义，记g?x??f?x??fx?x．已知g?x?在x0处

0收敛，且极限limx?xg?x??A?0，试证：存在??0，使得当x??x0??,x0?时

0f?x??f?x0?，当x??x0,x0???时f?x??f?x0?．

保号性

- 5 -

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

2. 求下列函数的导数：

（1）y?ex?e?xe2x?12ex?e?x;y?e2x?1?1?e2x?1

（2）y?xe?xarccotx;

§3.3 复合函数求导法则

1．利用复合函数求导法求下列函数的导数： x（1）y?1?x2; （2）y?2lnx;

（3）y?sin2?3?cos2?2x??;

（4）y?csc2(e3x); （5*）y?ln[ln2(ln3x)];

（6*

）y?1a2222xx?a?2ln?x?x2?a2?． y?y1?y2y11?2xx2?a2a2y2?2ln?x?x2?a2?

分别求y1?和y2?y??x2?a2

- 11 -

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

2．利用对数求导法求下列函数的导数：（1）y?(2x?3)4x?63x?1;

（2）y??sinx?cosx;

3）y?xx.

3．设函数f(x)可导，求解下列导数： （1）y?[xf(x2)]2, 求dydx.

（2）y?f(sin2x)?f(cos2x), 求dydx?.

x?4

4．求由下列方程确定的隐函数y?y(x)的导数：（1）y5?2y?x?3x7?0, 求

dydx.

x?0- 12 -

（《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

（2）arctanyx?lnx2?y2, 求dydx.

5*．试证以下命题：

1）若f?x?为可导的周期函数，则f??x?为周期函数;

2）若f?x?为可导的奇函数（偶函数），则f??x?为偶函数（奇函数）．

- 13 -

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

§3.4 微分及其计算

1．求下列函数的微分dy：

（1）y?ln1?x2; （2）y?x2e2x;

（3）y?exsin2x; （4）y?arctanex．

2．求由下列方程确定的隐函数y?y(x)的微分dy：

（1）x2a?y2b （2）y222?1; ?x?arccosy.

3．求38.1的近似值.

- 14 -

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

?x?a(t?sint)?4．求曲线?在t?处的切线方程.

2?y?a(1?cost)

§3.5 高阶导数

1．求下列函数的二阶导数y??：

（1）y?ln(1?x); （2）y?e22x?1;

5．求参数方程??x?acos3t的导数dy及dx?y?bsin3tdxdy．

（3）y?11?x2;

- 15 -

4）y?sin(x?y). （

《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

§5.4 换元积分法

（3）?xcosxdx; （4）?1dx;

1． 求下列不定积分： （1）?11?2x?3dx;

（2）?1?xdx;

（5）?1?x2x3dx;

- 31 -

x1?x26）?e?xdx; （《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号

98（7）?x*?dx; （8）1?x2?101?ln(1?1?x2x)dx

2*. 求不定积分?2sinx?cosxsinx?cosxdx

3*. 试求不定积分?lnx?1(lnx)2dx

4*. 已知f(lnx)?ln(1?x)x，求?f(x)dx

- 32 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hej6.html