经典联立方程计量经济学模型

第六章 经典联立方程计量经济学模型：理论与方法

一、内容提要

联立方程计量经济学模型是相对于单一方程模型提出来的，旨在在讨论多个经济变量相互影响的错综复杂的运行规律，或者说讨论多个内生变量被联立决定的问题。

本章学习内容的一个重点是关于联立方程计量经济学模型区别于单方程模型的若干基本概念，包括内生变量、外生变量、前定变量的概念；结构式模型、简化式模型的概念；随机方程、恒等方程的概念；行为方程、技术方程、制度方程、统计方程、定义方程、平衡方程等相关概念。

本章学习的另一个重点是联立模型的识别问题。需掌握模型识别的基本概念、模型识别的类型（不可识别、恰好识别、过渡识别）、模型的结构式识别条件、模型的简化式识别条件以及实际应用中的经验识别方法。

本章学习的第三个重点是联立模型的估计问题。首先明确联立模型估计时会遇到的三个方面的问题。一是随机解释变量问题，即模型中的某些解释变量也能是与随机扰动项相关的随机解释变量；二是损失变量信息的问题，即以单方程方法估计模型时会损失其他方程变量所提供的信息；三是损失方程之间的相关性信息问题，即以单方程方法估计模型时会损失不同方程随机扰动项间的相关性方面的一些信息。其次，需要掌握联立模型两大类估计方法中的主要估计方法，如单方程估计方法中的狭义工具变量法（IV）、间接最小二乘法（ILS）、二阶段最小二乘法（2SLS），系统估计方法中的三阶段最小二乘法（3SLS）等。

本章学习中不容忽视的还有联立方程计量经济学模型估计方法的比较，以及联立方程模型的检验问题。前者需要考察大样本估计量特性与小样本估计量的特性；后者包括拟合效果检验、预测性检验、方程间误差传递检验等方面的内容。

二、典型例题分析

1、如果我们将“供给”Y1与“需求”Y2写成如下的联立方程的形式：

Y1??1Y2??1Z1?u1Y1??2Y2??2Z2?u2其中，Z1、Z2为外生变量。

（1）若?1?0或?2?0，解释为什么存在Y1的简化式？若?1?0、?2?0，写出Y2的简化式。

（2）若?1?0、?2?0，且?1??2，求Y1的简化式。这时，Y2有简化式吗？ （3）在“供给-需求”的模型中，?1??2的条件有可能满足吗？请解释。 解答：

（1）若?1?0，则由第1个方程得：Y1??1Z1?u1，这就是一个Y1的简化式； 若?2?0，则由第2个方程得：Y1??2Z2?u2，这也是一个Y1的简化式。 若?1?0、?2?0，则将Y1??2Z2?u2代入第1个方程得：

?2Z2?u2??1Y2??1Z1?u1

整理得： Y2??2?u?u1 Z2?1Z1?2?1?1?1 （2）由第二个方程得：

Y2?(Y1??2Z2?u2)/?2

代入第一个方程得：

Y1??1?Y1??2Z2?u2?/?2??1Z1?u1

整理得

Y1??2?1???2?1Z1?12Z2?u1?u2

?2??1?2??1?2??1?2??1这就是Y1的简化式。Y2也有简化式，由两个方程易得：

?2Y2??2Z2?u2??1Y2??1Z1?u1

整理得

Y2??1?2??1Z1??2?2??1Z2?1(u1?u2)

?2??1（3）在“供给-需求”模型中，?1??2的条件可以满足。例如，如果第一个方程是供

给方程，而第二个方程是需求方程，则这里的Y1就代表供给量或需求量，而Y2就代表这市场价格。于是，应有?1?0，?2?0。

2．一个由两个方程组成的联立模型的结构形式如下（省略t-下标）

Pt??0??1Nt??2St??3At?ut Nt??0??1Pt??2Mt?vt

（1）指出该联立模型中的内生变量与外生变量。

（2）分析每一个方程是否为不可识别的，过度识别的或恰好识别的？ （3） 有与μ相关的解释变量吗？有与υ相关的解释变量吗？ （4）如果使用OLS方法估计α，β会发生什么情况？

（5）可以使用ILS方法估计α吗？如果可以，推导出估计值。对β回答同样的问题。 （6）逐步解释如何在第2个方程中使用2SLS方法。 解答：

（1）内生变量：P、N；外生变量：A、S、M （2）容易写出联立模型的结构参数矩阵

P N 常量 S A M

?1??????????1??11??0??0??20??300?? ??2?? 对第1个方程，??0?0?????2?，因此，秩??0?0??1，即等于内生变量个数减1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，恰等于该方

程内生变量个数减1，即4-3=1=2-1，因此第一个方程恰好识别。 对第二个方程，??0?0?????2??3?，因此，秩??0?0??1，即等于内生变量个数

减1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，大于该方程内生变量个数减1，即4-2=2>=2-1，因此第二个方程是过渡识别的。

该模型对应于13.3届中的模型4。我们注意到该模型为过渡识别的。综合两个方程的识别状况，该联立模型是过渡识别的。

（3）S,A,M为外生变量，所以他们与μ，υ都不相关。而P,N为内生的，所以他们与μ，υ都相关。具体说来，N与P同期相关，而P与μ同期相关，所以N与μ同期相关。另一方面，N与v同期相关，所以P与v同期相关。

（4）由（3）知，由于随机解释变量的存在，α与β的OLS估计量有偏且是不一致的。 （5）对第一个方程，由于是恰也识别的，所以间可用接最小二乘法（ILS）进行估计。对第二个方程，由于是过渡识别的，因此ILS法在这里并不适用。

（6）对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计，具体步骤如下：

?；同理，让N对常量，S,A,M回归第1阶段，让P对常量，S,M,A回归并保存预测值Pt?。 并保存预测值Nt?、Mt作回归求第2个方程的2SLS估计值。 第2阶段，让Nt对常量、Pt

三、习题

6-1．解释下列概念： 1) 联立问题 2) 行为方程 3) 间接最小二乘法 4) 识别问题 5) 二阶段最小二乘法 6) 三阶段最小二乘法 7) 简化式模型

8) 不可识别 9) 恰度识别 10) 过度识别 11) 结构式模型 12) 递归系统模型 13) 先决变量 14) 参数关系体系

6-2．为什么要建立联立方程模型，联立方程模型适用于什么样的经济现象？ 6-3．联立方程模型中的变量可以分为几类？其含义各是什么？ 6-4．联立方程模型中的方程可以分为几类？其含义各是什么？ 6-5．联立方程模型可以分为几类？其含义各是什么？

6-6．联立方程模型的识别状况可以分为几类？其含义各是什么？ 6-7．结构方程可识别和不可识别的等价定义是什么？ 6-8．简述结构方程识别的阶条件和秩条件的步骤。

6-9．联立方程模型的估计有哪些方法？其适用条件、统计性质各是什么？

6-10．联立方程计量经济模型中结构方程的结构参数为什么不能直接应用OLS估计？ 6-11．已知一个联立方程计量经济学模型的完备的结构式模型，如何确定其中的内生变量、先决变量、外生变量？

6-12．如何对不可识别的方程进行简单的修改使之可以识别？

6-13．为什么说ILS、IV、2SLS方法都可以认为是工具变量方法？它们在工具变量的选取上有什么区别？

6-14．证明对于恰好识别的结构方程ILS、IV、2SLS的参数估计量是等价的。

6-15．3SLS的方法步骤是什么？为什么3SLS的参数估计量比2SLS的参数估计量更有效？ 6-16．理解联立方程计量经济学模型单方程估计方法与系统估计方法的概念。 6-17．写出结构模型的一般形式和结构参数矩阵。

6-18．写出简化模型的一般形式和参数关系式的表达式。 6-19．已知简单的Keynesian收入决定模型如下：

Ct?a0?a1Yt?ut （消费方程） It??0??1Yt??2Yt?1?vt （投资方程）

Yt?Ct?It?Gt （定义方程）

要求：（1）导出简化型方程；

（2）试证明：简化型参数是用来测定外生变量变化对内生变量所起的直接与间接的总影响（以投资方程的简化型为例来加以说明）。

（3）试用阶条件与秩条件确定每个结构方程的识别状态；整个模型的识别状态如何？ 6-20．为什么间接最小二乘法（ILS）只适用于恰好识别的结构模型？ 6-21．简述二阶段最小二乘法（2SLS）的两个阶段

6-22．在联立方程计量经济学模型YΒ+XΓ=U 中，每个结构方程的随机误差项具有0均值、同方差且存在一阶序列相关，每个结构方程的随机误差项之间具有同期相关。 要求：写出该联立方程计量经济学模型随机误差项的方差—协方差矩阵。

6-23．某联立方程计量经济学模型有3个方程、3个内生变量（y1，y2，y3）、3个外生变量（x1，x2，x3）和样本观测值始终为1的虚变量C，样本容量为n。其中第2个方程：

y2??0??1x1??2y3??3x3?u2

为恰好识别的结构方程。

要求：（1）写出用IV法估计该方程参数的正规方程组；

（2）用ILS方法估计该方程参数，也可以看成一种工具变量方法，指出工具变量是如何选取的，并写出参数估计量的矩阵表达式；

（3）用2SLS方法估计该方程参数，也也可以看成一种工具变量方法，指出y3的工具变量是什么，并写出参数估计量的矩阵表达式；

6-24．下列为一完备的联立方程计量经济学模型：

Mt??0??1Yt??2Pt?u1t Yt??0??1Mt?u2t

其中：M为货币供给量，Y为国内生产总值，P为价格总指数。 要求：（1）指出模型的内生变量、外生变量、先决变量；

（2）写出简化式模型，并导出结构式参数与简化式参数之间的关系； （3）用结构式条件确定模型的识别状态； （4）从方程之间的关系出发确定模型的识别状态； （5）如果模型不可识别，试作简单的修改使之可以识别；

（6）指出ILS、IV、2SLS中哪些可用于原模型第1、2个方程的参数估计。 6-25．独立建立一个包含3~4个方程的中国宏观经济模型，并完成模型的识别和估计（可以采取本章中第五节的例子，将样本观测值扩大到2000年之后，自己独立完成）。

四、习题解答

6-1

1) 联立问题：经济现象是极为复杂的，其中诸因素之间的关系，在很多情况下，不是单一

方程所能描述的那种简单的单向因果关系，而是相互依存，互为因果的，这时，就必须用联立的计量经济学方程才能描述清楚。联立方程计量经济学模型以经济系统为研究对象，揭示经济系统中各部分、各因素之间的数量关系和系统的数量特征。

2) 行为方程：行为方程描述经济系统中变量之间的行为关系，主要是因果关系，例如用收

入作为消费的解释变量建立的方程。

3) 间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化式方程采用普通最小二乘法估计简化式

参数，得到简化式参数估计量，然后通过参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量。 4) 识别问题：联立方程计量经济学模型是由多个方程组成，对方程之间的关系有严格的要

求，否则模型就可能无法估计。所以在进行模型估计之前首先要判断它是否可以估计，这就是模型的识别。如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程为不可识别。如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型系统是不可以识别的。

5) 二阶段最小二乘法：估计联立方程模型中的某个结构式方程时，先用普通最小二乘法对

其中内生解释变量的简化式进行估计，得到内生解释变量的估计值，用此估计值代替原结构式方程中的内生解释变量，再对变换了的结构式方程用普通最小二乘法进行估计。 6) 三阶段最小二乘法：三阶段最小二乘法是估计联立方程模型全部结构方程的系统估计方

法，基本思路是3SLS=2SLS+GLS，即首先用两阶段最小二乘法估计模型系统中的每一个结构方程，然后再用广义最小二乘法估计模型系统。

7) 简化式模型：将联立方程模型的每个内生变量表示成所有先决变量和随机误差项的函

数，即用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量，所形成的模型称为简化式模型。 8) 不可识别：如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程为不

可识别。如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程系统是

不可识别的。

9) 恰度识别：如果某一个随机方程具有一组参数估计量，称其为恰度识别。 10) 过度识别：如果某一个随机方程具有多组参数估计量，称其为过度识别。

11) 结构式模型：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接关系结构的计量经

济学方程系统称为结构式模型。结构式模型中的每一个方程都是结构方程，将一个内生变量表示为其它内生变量、先决变量和随机误差项的函数形式，被称为结构方程的正规形式。

12）递归系统模型：联立方程模型 ?Y??X??，如果

?1????21 ?????31??????g1?01??32??g2001??g3?0????11??0????21?0? ????????????g1?1????12??22??g2???1k????2k?? ?????gk?即在第1个方程中被解释变量为Y1，解释变量全部为先决变量；在第2个方程中被解释变量为Y2，解释变量中除了作为第1个方程被解释变量的内生变量Y1外，全部为先决变量；第3个方程?，依次类推。这类模型称为递归系统模型。 13）先决变量：外生变量与滞后内生变量统称为先决变量。

14）参数关系体系：简化式参数与结构式参数之间的关系，称为参数关系体系。

6-2．经济现象是极为复杂的，其中诸因素之间的关系，在很多情况下，不是单一方程所能描述的那种简单的单向因果关系，而是相互依存，互为因果的，这时，就必须用联立的计量经济学方程才能描述清楚。所以与单方程适用于单一经济现象的研究相比，联立方程模型适用于描述复杂的经济现象，即经济系统。

6-3．对于联立方程模型系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类，外生变量与滞后内生变量又被统称为先决变量。内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响，内生变量一般都是经济变量。外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。

6-4．联立方程模型中，结构式模型中的每一个方程都是结构方程，简化式模型中每个方程

称为简化式方程，结构方程的方程类型如下：

行为方程 技术方程 随机方程 制度方程 统计方程 定义方程 恒等方程 平衡方程 经验方程

其中，行为方程描述经济系统中变量之间的行为关系，主要是因果关系，例如用收入作为消费的解释变量建立的方程；技术方程描述由技术决定的变量之间的关系，例如用总产值作为净产值的解释变量建立的方程；制度方程描述由制度决定的变量之间的关系，例如用进口总额作为关税收入的解释变量建立的方程；统计方程描述由数据之间的相关

性决定的变量之间的关系，例如描述城镇居民收入与农村居民收入之间关系的方程。定义方程是由经济学或经济统计学的定义决定的，例如国内生产总值等于第一、二、三产业增加值之和；平衡方程是由变量所代表的指标之间的平衡关系决定的，例如政府消费等于消费总额减去居民消费。经验方程仅描述由经验得到的数据之间的确定性关系，没有什么实质性意义。

6-5．联立方程模型可以分为结构式模型和简化式模型。根据经济理论和行为规律建立的描

述经济变量之间直接关系结构的计量经济学方程系统称为结构式模型。结构式模型中的每一个方程都是结构方程，将一个内生变量表示为其它内生变量、先决变量和随机误差项的函数形式，被称为结构方程的正规形式。将联立方程模型的每个内生变量表示成所有先决变量和随机误差项的函数，即用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量，所形成的模型称为简化式模型。

6-6．联立方程模型的识别状况可以分为可识别和不可识别，可识别又分为恰好识别和过度

识别。如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程为不可识别，或者根据参数关系体系，在已知简化式参数估计值时，如果不能得到联立方程模型中某个结构方程的确定的结构参数估计值，称该方程为不可识别。如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型系统是不可以识别的。如果某一个随机方程具有一组参数估计量，称其为恰好识别；如果某一个随机方程具有多组参数估计量，称其为过度识别。

6-7．定义一：如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程为不

可识别。

定义二：如果联立方程模型中某些方程的线性组合可以构成与某一个方程相同的统计形式，则称该方程为不可识别。

定义三：根据参数关系体系，在已知简化式参数估计值时，如果不能得到联立方程模型中某个结构方程的确定的结构参数估计值，则称该方程为不可识别。 6-8．联立方程计量经济学模型的结构式?Y??X??中的第i个方程中包含gi个内生变量

（含被解释变量）和ki个先决变量（含常数项），模型系统中内生变量和先决变量的数目用g和k表示，矩阵(?0?0)表示第i个方程中未包含的变量（包括内生变量和先决变量）在其它g?1个方程中对应系数所组成的矩阵。于是，判断第i个结构方程识别状态的结构式条件为：

如果R(?0?0)?g?1，则第i个结构方程不可识别； 如果R(?0?0)?g?1，则第i个结构方程可以识别，并且 如果k?ki?gi?1，则第i个结构方程恰好识别， 如果k?ki?gi?1，则第i个结构方程过度识别。

其中符号R表示矩阵的秩。一般将该条件的前一部分称为秩条件，用以判断结构方程

是否识别；后一部分称为阶条件，用以判断结构方程恰好识别或者过度识别。 6-9．单方程估计方法有：狭义的工具变量法（IV），间接最小二乘法(ILS)，两阶段最小二

乘法（2SLS）；系统估计方法有：三阶段最小二乘法（3SLS），完全信息最大或然法（FIML）。狭义的工具变量法（IV）和间接最小二乘法(ILS)只适用于恰好识别的结构方程的估计。两阶段最小二乘法（2SLS）、三阶段最小二乘法（3SLS）、完全信息最大或然法（FIML）既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程。 工具变量法参数估计量，一般情况下，在小样本下是有偏的，但在大样本下是渐近无偏的。如果选取的工具变量与方程随机误差项完全不相关，那么其参数估计量是无偏性估计量。对于间接最小二乘法，对简化式模型应用普通最小二乘法得到的参数估计量具有线性、无偏性、有效性。通过参数关系体系计算得到结构方程的结构参数估计量在小样本下是有偏的，在大样本下是渐近无偏的。采用二阶段最小二乘法得到结构方程的结构参数估计量在小样本下是有偏的，在大样本下是渐近无偏的。 3SLS估计量的统计性质主要有：⑴ 如果联立方程模型系统中所有结构方程都是可以识别的，并且?非奇异，则3SLS估计量是一致性估计量。为了保证?非奇异，必须将模型系统中的恒等式排除在外，不参加估计过程。因为恒等式的随机误差项为0，将使?矩阵中出现0行和0列，使之成为奇异矩阵。⑵ 3SLS估计量比2SLS估计量更有效，但是这是对大样本而言。对于有限样本情况下3SLS估计量和2SLS估计量的有效性比较，无法从数学上加以证明，可以通过Monte Carlo试验进行统计上的说明。 ⑶ 如果?是对角矩阵，即模型系统中不同结构方程的随机误差项之间无相关性，那么可以证明3SLS估计量与2SLS估计量是等价的。

在大样本时，一般情况下，3SLS与FIML具有相同的渐近有效性。但是，在特殊情况下，例如，如果在开始估计之前已经知道方程系统随机误差项的方差、协方差信息，FIML就可以充分利用这些信息，因而比3SLS更有效。

6-10．第一，结构方程解释变量中的内生解释变量是随机解释变量，不能直接用OLS来估

计；第二，损失变量信息问题：在估计联立方程系统中某一个随机方程参数时，必须考虑没有包含在该方程中的变量的数据信息；第三，联立方程模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性，表现于不同方程随机误差项之间，如果采用单方程模型方法估计某一个方程，是不可能考虑这种相关性的，造成信息的损失。 6-11．内生变量：

内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素，内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。内生变量一般都是经济变量。 一般情况下，内生变量Y满足：

(i,?i)?0 CovY即

E(Yi?i)?0

因为

(i,?i)?E((Yi?E(Yi))(?i?E(?i))) CovY?E((Yi?E(Yi))?i) ?E(Yi?i)?E(Yi)E(?i)

?E(Yi?i)

外生变量：

外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。 外生变量X一般满足： E(Xi?i)?0

外生变量与滞后内生变量统称为先决变量。

6-12．修改方程使得其余每一个方程中都包含至少1个该方程所未包含的变量，并且互不相

同，那么所有方程的任意线性组合都不能构成与该方程相同的统计形式，则该方程变为可以识别的方程。

*

6-13．狭义工具变量法用结构方程中未包含的先决变量X0作为Y0的工具变量，用结构方程

中包含的先决变量X0作为自己的工具变量；而间接最小二乘法则将先决变量X按自己的顺序作为(Y0,X0)的工具变量；二阶段最小二乘法选取X的线性组合

??X((X?X)?1X?Y) 作为结构方程中内生解释变量Y的工具变量，??X? Y选0000取X0作为自己的工具变量。

6-14．分别采用三种单方程估计方法得到的参数估计量如下：

?????*0 ?????X0???0?IV?????0?X? ?????0?ILSX0???Y0?X0????1?X0*?X0?Y1 (1)

??Y0X0????1X?Y1 (2) ?X0????1??????0? ???Y0???0?2SLS??X0??Y0??Y0?X0Y1 (3)

?可以看到，三种结果是用不同的工具变量方法估计得到的，区别仅在于工具变量选取不同。比较狭义工具变量法和间接最小二乘法的参数估计量(1)与(2)，它们选取了同样一组变量X作为结构方程中解释变量(Y0,X0)的工具变量，只是次序不同。狭义工具变量法用结构方程中未包含的先决变量X0作为Y0的工具变量，用结构方程中包含的先决变量X0作为自己的工具变量；而间接最小二乘法则将先决变量X按自己的顺序作为

*

(Y0,X0)的工具变量，这就使得结构方程中包含的先决变量X0也选择了其它先决变量

作为工具变量，而不是自身，这两种不同的选取只影响正规方程组中方程的次序，并不影响方程组的解。所以狭义工具变量法和间接最小二乘法的参数估计量是等价的。比较二阶段最小二乘法和间接最小二乘法的参数估计量(3)与(2)。间接最小二乘法选取X作为结构方程中解释变量(Y0,X0)的工具变量，二阶段最小二乘法选取X的线性组合

??X((X?X)?1X?Y)作为结构方程中内生解释变量Y的工具变量，选取??X?Y0000X0作为自己的工具变量。这样使得关于二者参数估计量的正规方程组是不同的，分别

为

X?Y1?X???Y0X0??????0??? ??0?ILS? ?Y0X0????Y1???Y?0X0???Y0?????X0????0????0?

2SLS比较该两个正规方程组发现，后者可以由前者经过初等线性变换得到。而根据代数知识，初等线性变换不影响方程组的解。所以二阶段最小二乘法和间接最小二乘法的参数估计量是等价的。也可以对此进行严格证明。假设

????0? ?????0?ILS即

????0 ?????0?2SLS?1?? ?Y?0?X0???Y0?X0???0??Y0X0????X??Y0X0???1X?

两边同时左乘X???YX0?，有

? X???Y0X0???????Y0?X0??Y?0?X0????1??Y0X0???X?

两边同时右乘Y0 X??X0?，有

??Y0X0??X?Y0?X0?

该式显然成立。所以两种参数估计量是等价的的假设成立。

结论是，对于恰好识别的结构方程，狭义工具变量法、间接最小二乘法和二阶段最小二乘法三种方法是等价的。 6-15．三阶段最小二乘法的步骤

⑴ 用两阶段最小二乘法估计结构方程

~Yi?Zi?i??i （1）

i Zi?Y0?Xi0?

??i0? ?i??i?

??0?得到方程随机误差项的估计值ei。

首先采用OLS估计结构方程中内生解释变量的简化式模型 Y0i?X?i0??i0 得到

?i?X(X?X)?1X?Yi ?i?X? Y000于是

??Y?i Zi0?iX0

??替换(1)中的Zi，进行2SLS的第二阶段估计，得到?i的2SLS估计量 用Zi??(Z??Z?)?1Z??Y ?iiiii和Yi的2SLS估计量

????Z?? Yiii

????y?i1 Yi??????yi2?yin

?计算残差估计值为 ei?ei1??ei2?ein?

??il eil?yil?y? ⑵ 求?的估计量?根据计算公式计算得到：

??(??ij) ??ij? ?ei?ej(n?gi?1?ki)(n?gj?1?kj)

? ??I?? ?⑶ 对方程系统

~Y?Z??? (2)

其中

?Y1??yi1??Y??y?2i2 Y??? Yi???

??????????Yg?yin????为： 应用广义最小二乘法，得到结构参数?的3SLS估计量?????(Z??1Z??1Y????)?1Z????

?1??1???1???(Z?(??I)Z)Z?(??I)Y至此，完成了三阶段最小二乘法估计，同时得到所有方程的结构参数估计量。

3SLS估计量比2SLS估计量更有效。3SLS方法主要优点是考虑了模型系统中不同结构方程的随机误差项之间的相关性。将3SLS估计量和2SLS估计量的分布进行比较，并根据Gauss-Markov定理，即可清楚看到这点。但是这是对大样本而言。对于有限样本情况下3SLS估计量和2SLS估计量的有效性比较，无法从数学上加以证明，可以通过Monte Carlo试验进行统计上的说明。

6-16．联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：单方程估计方法与系统估计方法。

所谓单方程估计方法，指每次只估计模型系统中的一个方程，依次逐个估计。单方程估计方法主要解决的是联立方程模型系统中每一个方程中的随机解释变量问题，同时尽可能地利用单个方程中没有包含的、而在模型系统中包含的变量样本观测值的信息，没有考虑模型系统方程之间的相关性对单个方程参数估计量的影响。所谓系统估计方法，指同时对全部方程进行估计，同时得到所有方程的参数估计量，利用了模型系统的全部信息。显然，从模型估计的性质来讲，系统估计方法必然优于单方程方法，但从方法的复杂性来讲，单方程方法又优于系统估计方法。 6-17．一个完备的结构式模型可以写成：

?Y??X?? 或

(??)?其中

?Y???? ?X??Y1???1??X1???????YX?2???2??2? Y??? X?? ???

???????????YX????g??g?k用n表示样本容量，则

?Y1??y11y12?y1n?????Yyy?y21222n??2? Y?????

????????Yyy?y?g??g1g2gn??X1??x11????X2??x21? X??????????Xk??xk1x12x22xk2?x1n??x2n?? ???xkn???1???11?12??1n??????????222n??2??21? ???

???????????????g??g1g2gn?参数矩阵为：

??11?12??1g??????2g?2122? ????????????g1g2gg????11?12???2221? ???????k1?k2??1k???2k?? ????kk?(??)为结构参数矩阵。

6-18．简化式模型的矩阵形式为：

Y??X?? (1) 其中

??11?12???2221? ???????g1?g2??1k???2k?? ????gk???1???11?12??1n?????????2n?22122? ?????????????????????gg1g2gn????

?表示简化式参数矩阵。

将结构式模型 ?Y??X?? 作如下变换：

?Y???X??Y????1?X???1??1

与(1)比较，可以得到：

????? (2)

该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称为参数关系体系。 6-19．（1）将题中结构式模型进行变量连续替代后得到

Ct??0??0?1??1?2?1?2?1???1?2t??1?1t ?Yt?1?Gt?1t1??1??11??1??11??1??11??1??1 It??0??1?0??0?1?2??1?2?1?2t??1?2t??1?1t ?Yt?1?Gt?1??1??11??1??11??1??11??1??1?0??0?2???1t1 ?Yt?1?Gt?2t1??1??11??1??11??1??11??1??1?2??1?2?1?2表示Yt?1对It的影响，即Yt?1增加1??2?1??1??11??1??1 Yt?（2）例如?21?个单位时对It的影响。这种影响被分成两部分，其中前一项?2正是结构式方程中反映

Yt?1对It的直接影响的参数，后一项反映Yt?1对It的间接影响。

（3）结构参数矩阵为：

?10??1?1??1 (??)??0???1?11??0??000??200??0? ?1??模型系统中内生变量的数目为g=3，先决变量的数目为k=3。

首先判断第1个结构方程的识别状态。对于第1个方程，有 ??0?0????1??20??10? ??1? R(?0?0)?2?g?1 又因为有：

k?k1?2?g1?1

所以，第1个结构方程为过度识别的结构方程。 再看第2个结构方程，有 ??0?0????10??

?1?1?? R(?0?0)?2?g?1 所以，该方程可以识别。并且

k?k2?1?g2?1

所以，第2个结构方程为恰好识别的结构方程。 第3个方程是平衡方程，不存在识别问题。 综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。

6-20．间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参数估计，因为只有恰好识别的结构

方程，才能从参数关系体系中得到唯一一组结构参数的估计量。 6-21．对于联立方程模型?Y??X??

??0?的第1个结构方程 Y1?(Y0,X0)????1 (1)

??0?由于内生解释变量Y0是随机变量，不能直接采用普通最小二乘法。但是对于Y0的简化式方程，即简化式模型

Y0?X?0??0

中的每个方程，不存在随机解释变量问题，可以直接采用普通最小二乘法估计其参数，并得到关于Y0的估计值：

??X((X?X)?1X?Y) ??X?Y000这就是二阶段最小二乘法的第一阶段，即对简化式方程第一次使用普通最小二乘法。

?替换(1)中的Y，得到新的方程 用Y0的估计量Y00??0?? Y1?(Y0,X0)????1

??0?显然，该方程中不存在随机解释变量问题，可以直接采用普通最小二乘法估计其参数，得到：

??????0??Y0?????0?2SLS??X0????Y0?X0?????1?Y0?X0Y1

?这就是二阶段最小二乘法的第二阶段，即对变换了的结构式方程使用普通最小二乘法。得到的参数估计量即为原结构方程参数的二阶段最小二乘估计量。

2??11R1?12I??1gI???2?I?R??I~212222g?6-22． Cov(?)?? ?????2?I?I?R?g2ggg??g1??1??Rj??j??n?1???j?j1?jn?2?n?2???j? j=1,2…g ????1????jn?1其中g为内生变量数目，n为每个结构方程样本数目。 6-23．（1）将方程写成标准形式：y2??2y3??0??1x1??3x3?u2

?yi?1nn2i?2y3i???0???1x1i???3x3i)x2i x2i??(?i?1n?yi?1n2i?2y3i???0???1x1i???3x3i) ??(?i?1n?yi?1n2i1i?2y3i???0???1x1i???3x3i)x1i x??(?i?1nn?yi?12i?2y3i???0???1x1i???3x3i)x3i x3i??(?i?1（2）用ILS方法估计方程参数，用（C，x1，x2，x3）依次作为（y3，C，x1，x3）

的工具变量

参数估计量的矩阵表达式为

??2?????0??(?C??1?????3?x1x2x3??y3TCx1x3?)?1?Cx1x2x3?y2

T?xj1??yj1??x??y?j2? j=1，2，3 y??j2? j=2，3 其中xj??j??????????x?jn???yjn????（3）用2SLS方法估计方程参数，y3的工具变量为C，x1，x2，x3的线性组合

?3?X((XTX)?1XTy3) y其中X= [C x1 x2 x3] 参数估计量的矩阵表达式为

??2?????0??(?y?3??1?????3?

Cx1x3??y3TCx1?3x3?)?1?yCx1x3?y2

T6-24．（1）内生变量为Mt，Yt；外生变量为Pt和常数项；先决变量为Pt和常数项。

（2）简化式模型为

Mt??0??1?0?2?11?Pt?(u1t?u2t)

1??1?11??1?11??1?11??1?1Yt??0??0?1???11?21Pt?(u1t?u2t)

1??1?11??1?11??1?11??1?1结构式参数与简化式参数之间的关系体系为

?10??0??1?0?2 ?11?

1??1?11??1?1?0??0?1?2?1 ?21?

1??1?11??1?1

?20?（3）用结构式条件确定模型的识别状态； 结构参数矩阵为： (??)???1???1??11??0??0??2? ?0?模型系统中内生变量的数目为g=2，先决变量的数目为k=2（包括常数项）。

首先判断第1个结构方程的识别状态。对于第1个方程，有 R(?0?0)?0?g?1

所以，第1个结构方程为不可识别的结构方程。 再看第2个结构方程，有 ??0?0?????2? R(?0?0)?1?g?1 所以，该方程可以识别。并且 k?k2?1?g2?1

所以，第2个结构方程为恰好识别的结构方程。 综合以上结果，该联立方程模型是不可识别的。

（4）第一个结构方程包含了第二个结构方程所未包含的变量Pt，这使得这两个方程的任意线性组合都不能构成与第二个方程相同的统计形式，所以第二个方程是可以识别的；而第二个结构方程没有包含第一个方程中所未包含的变量，这使得这两个方程的某些线性组合能构成与第一个方程相同的统计形式，导致第一个方程不可识别。例如，将两个方程相加并整理，得到：Mt??0??0?1?1?21?Yt?Pt?(u1t?u2t)1??11??11??11??1这与方程一有相同的统计形式。当我们收集了Mt、Yt和Pt的样本观测值进行参数估

计后，很难判断得到的是第一个方程的参数估计量还是新组合方程的参数估计量。 （5）为了使模型可以识别，需要第二个方程包含一个第一个方程所未包含的变量，所以引入滞后一期的国内生产总值Yt?1，模型变为

Mt??0??1Yt??2Pt?u1t Yt??0??1Mt??2Yt?1?u2t

可以判别，此时两个结构方程都是恰好识别的，这样模型是可以识别的。

（6）如前所述，第一个方程式不可识别的，第二个方程是恰好识别的，所以可以用以上三种方法来估计第二个方程。

6-25．下面为一个包含3个方程的中国宏观经济模型。

此模型包含3个内生变量：国内生产总值Y、居民消费总额C和投资总额I；3个先决变量：政府消费（将净出口也包含其中，为了实现数据的平衡）G、前期居民消费总额Ct?1和常数项。完备的结构式模型为：

?Ct??0??1Yt??2Ct?1??1t? ?It??0??1Yt??2t t=1978,1979,…,2002 ?Y?I?C?Gttt?t样本观测值见表1,数据来自《中国统计年鉴》。

表1 中国宏观经济数据 单位：亿元

年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 Y 3605.6 4074 4551.3 4901.4 5489.2 6076.3 7164.4 8792.1 10132.8 11784.7 14704 16466 18319.5 21280.4 25863.7 34500.7 46690.7 58510.5 68330.4 C 1759.1 2005.4 2317.1 2604.1 2867.9 3182.5 3674.5 4589 5175 5961.2 7633.1 8523.5 9113.2 10315.9 12459.8 15682.4 20809.8 26944.5 32152.3 I 1377.9 1474.2 1590 1581 1760.2 2005 2468.6 3386 3846 4322 5495 6095 6444 7517 9636 14998 19260.6 23877 26867.2 G 468.6 594.4 644.2 716.3 861.1 888.8 1021.3 817.1 1111.8 1501.5 1575.9 1847.5 2762.3 3447.5 3767.9 3820.3 6620.3 7689 9310.9 1997 1998 1999 2000 2001 2002 一、模型的识别 结构参数矩阵为：

74894.2 79003.3 82673.1 89340.9 98592.9 107514.2 34854.6 36921.1 39334.4 42895.6 45898.1 48534.5 28457.6 29545.9 30701.6 32499.8 37460.8 42355.4 11582 12536.3 12637.1 13945.5 15234.0 16624.3 0??1?1?1??1 ?????0????1?11??0??00??2000?0?? ?1??首先判断第1个结构方程的识别状态。对于第1个方程，有

?10? ??0?0????

?1?1??

R(?0?0)?2?g?1

所以，该方程可以识别。又因为有：

k?k1?1?g1?1

所以，第1个结构方程为恰好识别的结构方程。 再看第2个结构方程，有 ??0?0????1??2??100? ??1? R(?0?0)?2?g?1 所以，该方程可以识别。并且

k?k2?2?g2?1

所以，第2个结构方程为过度识别的结构方程。 第3个方程是平衡方程，不存在识别问题。 综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。 二、模型的估计

⒈ 用狭义的工具变量法估计消费方程

选取消费方程中未包含的先决变量G作为内生解释变量Y的工具变量，得到结构参数的工具变量法估计量：

?0?582.3662??1?0.274725 ??2?0.432427???582.3662?0.274725CYt?0.432427Ct?1 t ⒉ 用间接最小二乘法估计消费方程

消费方程中包含的内生变量的简化式方程为： ??Ct??10??11Ct?1??12Gt??1t

?Yt??20??21Ct?1??22Gt??2t参数关系体系为：

??11??1?21??2?0? ??10??0??1?20?0

??????012122?用普通最小二乘法估计简化式方程，得到简化式参数估计量为：

?10?1135?20?2012?.352?.872?11?0.620442 ??21?0.684375 ??12?1.238064?22?4.506562??由参数关系体系计算得到结构参数间接最小二乘估计值为：

?1???12??22?0.274725??2???11???1??21?0.432427 ??0???10???1??20?582.3567???582.3567?0.274725CYt?0.432427Ct?1 t⒊ 用两阶段最小二乘法估计消费方程

两阶段最小二乘法的第一阶段是用普通最小二乘法估计内生解释变量的简化式方程，

??2012得到：Y.872?0.684375Ct?1?4.506562Gt t?： 据此计算Yt年份19791980198119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998199920002001Ct2005.42317.12604.12867.93182.53674.5458951755961.27633.18523.59113.210315.912459.815682.420809.826944.532152.334854.636921.139334.442895.645898.148534.5?Yt5895.4566288.4456826.6877675.6537981.0238793.4478209.91910163.8612321.1113194.4615562.6520294.6223786.0926053.0927756.4642580.350905.5362413.1676212.182362.184230.6291778.61100022.5Ct?120021759.12005.42317.12604.12867.93182.53674.5458951755961.27633.18523.59113.210315.912459.815682.420809.826944.532152.334854.636921.139334.442895.6108342.845898.1

替换结构方程中的Yt，再用普通最小二乘法估计变换了的结构式方程，得到消费方程的两

阶段最小二乘参数估计量为：

?0?582.3662??1?0.274725 ??2?0.432427???582.3662?0.274725CYt?0.432427Ct?1 t比较上述消费方程的3种估计结果，证明这3种方法对于恰好识别的结构方程是等价的。估计量的差别只是很小的计算误差。 ⒋ 用两阶段最小二乘法估计投资方程

投资方程是过度识别的结构方程，只能用两阶段最小二乘法估计。估计过程与上述两阶段最小二乘法估计消费方程的过程相同。

年份 1979 1980 1981 1982

I

1474.2 1590 1581 1760.2

? Yt5895.456 6288.445 6826.687 7675.653

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

2002

2005 2468.6 3386 3846 4322 5495 6095 6444 7517 9636 14998 19260.6 23877 26867.2 28457.6 29545.9 30701.6 32499.8 37460.8 42355.4 7981.023 8793.447 8209.919 10163.86 12321.11 13194.46 15562.65 20294.62 23786.09 26053.09 27756.46 42580.3 50905.53 62413.16 76212.1 82362.1 84230.62 91778.61 100022.5

108342.8 得到投资方程的参数估计量为：

???26.81649?0??0.38269?1

???26.81649?0.38269IYt t 至此，完成了该模型系统的估计。

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