高三数学第二轮复习教案 第5讲 解析几何问

高三数学第二轮复习教案

第5讲 解析几何问题的题型与方法（二）

五、注意事项

1．（1） 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度。当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）。因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑。

（2） 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解。

（3）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式。

（4）当直线l1或l2的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直

（5）在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算。

2．（1）用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在。 （2）注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆。

（3）求双曲线的标准方程 应注意两个问题：（1） 正确判断焦点的位置；（2） 设出标准方程后，运用待定系数法求解。

bx2y2x2y2（4）双曲线2?2?1的渐近线方程为y??x或表示为2?2?0。若已知双曲线的渐近

aabab线方程是y??mx，即mx?ny?0，那么双曲线的方程具有以下形式： nm2x2?n2y2?k，其中k是一个不为零的常数。

x2y2y2x2222（5）双曲线的标准方程有两个2?2?1和2?2?1（a＞0，b＞0）。这里b?c?a，

abab其中|F1F2|=2c。要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同。

（6）求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，

要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值。同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个。

六、范例分析

例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。

分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。

解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m，∵直线l交x轴于A(?m,0)，交y轴于B(0,?m)由1??m??m?24，得m??24，代入①得所求直线的方程为：

234343x?4y?24?0

解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有ab?24，因为l的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为?12xy?1，即48x+a2y－48a=0②又该直a48a线与3x+4y+2=0平行，∴

48?a2??48a，∴a??8代入②得所求直线l 的方程为3x?4y?24?0 342说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方

程可表示为Bx－Ay+C2=0的形式。

例2、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A（－2，3），B（3，2），求实数m的取值范围。

解：直线mx+y+2=0过一定点C（0，－2），直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点（0，－2）的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2，∵A（－2，3） B（3，2）

∴k1? k2?? ∴－m≥

43524或－m≤?5 即m≤?4或m≥5 3232说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率－m应

为倾角的正切，而当倾角在（0°，90°）或（90°，180°）内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。

例3、已知x、y满足约束条件

x?1???x?3y??4 ?3x?5y?30?求目标函数z=2x－y的最大值和最小值。

解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）。

作直线l0：2x－y=0，再作一组平行于l0的直线l：2x－y=t，t∈R。

可知，当l在l0的右下方时，直线l上的点（x，y）满足2x－y＞0，即t＞0，而且直线l往右平移时，t随之增大。当直线l平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当l在l0的左上方时，直线l上的点（x，y）满足2x－y＜0，即t＜0，而且直线l往左平移时，t随之减小。当直线l平移至l2的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小。

由 ??x?3y?4?0 解得点B的坐标为（5，3）；

3x?5y?30?0?x?1?27 解得点C的坐标为（1，）。

5?3x?5y?30?02717=?。 55由 ?所以，z最大值=235－3=7；z最小值=231－

例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员。

在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元。问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？

解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元。由题意，得

x?10?y?5???x?y?11x，y∈N， ???48x?56y?60且z=350x+400y。

?x?10y?5??即 ?x?y?11 x，y∈N，

???6x?7y?55作出可行域，作直线l0：350x+400y=0，即7x+8y=0。

作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A（（

25，5），由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点A625，5）不是最优解。 6为求出最优解，必须进行定量分析。 因为，73

25+835≈69.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点6最小的直线是7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当l通过B点时，z=350310+40030=3500元为最小。

答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元。

例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=（t0

（1）写出直线A?B?的方程； （2）计算出点P、Q的坐标；

（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q。

‘解: （1） 显然A'?1,1?t?，B 于是 直线A?B?的方程为y??tx?1； ??1，1?t?，?x2?y2?1,2t1?t2,)； （2）由方程组? 解出 P(0,1)、Q(221?t1?t?y??tx?1,1?t2?021?t211?t。 ???22ttt(1?t)?t1?t2（3）kPT?1?01??， kQT0?tt由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过

点Q。

说明：需要注意的是，Q点的坐标本质上是三角中的万能公式，有趣吗?

例6、设P是圆M：（x－5）2+（y－5）2=1上的动点，它关于A（9，0）的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值。

解：设P（x，y），则Q（18－x，－y），记P点对应的复数为x+yi，则S点对应的复数为： （x+yi）2i=－y+xi，即S（－y，x） ∴|SQ|?(18?x?y)2?(?y?x)2

?182?x2?y2?36x?36y?2xy?x2?y2?2xy?2?x2?y2?18x?18y?81?81?2?(x?9)2?(y?9)222其中(x?9)?(y?9)可以看作是点P到定点B（9，－9）的距离，共最大值为|MB|?r?253?1

最小值为|MB|?r?253?1，则|SQ|的最大值为2106?

2，|SQ|的最小值为2106?2

例7、 已知⊙M：x2?(y?2)2?1,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果|AB|?42，求直线MQ的方程； 3（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程。

解:（1）由|AB|?42，可得 3|MP|?|MA|2?(|AB|22221)?12?()?, 233由射影定理，得|MB|2?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3, 在Rt△MOQ中，

|OQ|?|MQ|2?|MO|2?32?22?5，

故a?5或a??5， 所以直线AB方程是

2x?5y?25?0或2x?5y?25?0;

（2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由 点M，P，Q在一直线上，得

2y?2?,(*)由射影定理得|MB|2?|MP|?|MQ|, ?ax即

x2?(y?2)2?a2?4?1,(**) 把（*）及（**）消去a，

2并注意到y?2，可得x?(y?)?7421(y?2). 16说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。

例8、直线l过抛物线y2?2px(p?0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点。（1）求证：4x1x2?p2;

（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线。

解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0)。

2

2若l⊥x轴，则l的方程为x?P,显然x1x2?P。

24若

2l不垂直于x

轴，可设y?k(x?P)，代入抛物线方程整理得

22PP2P2。

x?P(1?2)x??0,则x1x2?44k综上可知 4x1x2?p2。

2222（2）设C(c,c),D(d,d)且c?d，则CD的垂直平分线l?的方程为y?c?d??c?d(x?c?d)

2p2p22p4p22假设l?过F，则0?c?d??c?d(p?c?d)整理得

22p24p(c?d)(2p2?c2?d2)?0 ?p?0

?2p2?c2?d2?0，?c?d?0。

这时l?的方程为y=0，从而l?与抛物线y2?2px只相交于原点。 而l与抛物线有两个不同的交点，因此l?与l不重合，l不是CD的垂直平分线。

说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。

x2y2??1，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的例9、已知椭圆43距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2，b?3，c=1，∴e?1， 2|MF1|?|MF2|?(a?ex1)(a?ex1)?a2?e2x1?4?212x1，点M到椭圆左准线的距离 4a2d?x1??x1?4，∴

cr1r2?d, ? 4?12x1?(x1?4)2，∴5x12?32x1?48?0，∴4x1??4或x1??12，这与x1∈[－2，0）相矛盾，∴满足条件的点M不存在。 52， 3例10、已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段AB所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。

c2y2x2解：（Ⅰ）设椭圆方程为2?2?1 由2c=4得c=2 又?

a3ab

y2x2故a=3， b?a?c?5∴所求的椭圆方程为??1

95222（Ⅱ）若k 不存在，则AMMB?2，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2

又设A(x1,y1)B(x2,y2)

?y?kx?2?由?x2 得 (9?5k2)x2?20kx?25?0 y2?1??9?5x1?x2??20k?25?x?x??② ① 129?5K29?5K2∵点M坐标为M（0，2） ∴AM?(?x1,2?y1)MB?(x2,y2?2)

由AMMB?2得AM?2MB∴(?x1,2?y1)?2(x2,y2?2)

20k2522x??④ ? ③ 29?5k29?5k2∴x1??2x2代入①、②得x2?由③、④ 得 2(20k225132)?k? ∴ k??9?5k29?5k233∴线段AB所在直线的方程为：y??3x?2。 3说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。

另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。

x2y2例11、已知直线l与椭圆2?2?1(a?b?0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、

abS，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

解：从直线l所处的位置，设出直线l的方程，

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为y?kx?m(k?0). 代入椭圆方程b2x2?a2y2?a2b2， 得 b2x2?a2(k2x2?2kmx?m2)?a2b2.

化简后，得关于x的一元二次方程

(a2k2?b2)x2?2ka2mx?a2m2?a2b2?0.

于是其判别式??(2ka2m)2?4(a2k2?b2)(a2m2?a2b2)?4a2b2(a2k2?b2?m2). 由已知，得△=0．即a2k2?b2?m2. ①

在直线方程y?kx?m中，分别令y=0，x=0，求得R(?m,0),S(0,m). kym??x??,k??,??令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得?k解得?x ???y?m.?m?y22代入①式并整理，得 a?b?1， 即为所求顶点P的轨迹方程．

x2y222说明：方程a?b?1形似椭圆的标准方程，你能画出它的图形吗?

x2y2x2y2233例12、已知双曲线2?2?1的离心率e?，过A(a,0),B(0,?b)的直线到原点的距离是.32ab（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y?kx?5(k?0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值。

ababd???c23xy解：∵（1）22?,原点到直线AB：??1的距离ca?baba3?b?1,a?3.2故所求双曲线方程为 x?y2?1.

3. 2。

3（2）把y?kx?5代入x2?3y2?3中消去y，整理得 (1?3k2)x2?30kx?78?0。 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则 x0?kBEx1?x215k5??y?kx?5?,0021?3k21?3k2 y?11?0??.x0k?x0?ky0?k?0,

15k5k2??k?0,又k?0,?k?7 即221?3k1?3k故所求k=±7。

说明：为了求出k的值，需要通过消元，想法设法建构k的方程。

例13、过点P(?3, 0)作直线l与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

分析：若直接用点斜式设l的方程为y?0?k(x?3)，则要求l的斜率一定要存在，但在这里l的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线l的方程为

x?my?3，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），l：x?my?3

S?AOB?11|OP|?|y1|?|OP|?|y2|?3(|y1|?|y2|)?3(y1?y2) 22把x?my?3代入椭圆方程得：3(m2y2?23my?3)?4y2?12?0，即

(3m2?4)y2?63my?3?0，y1?y2?363myy??， 123m2?43m2?4108m2121|y1?y2|???144x2?48 2222(3m?4)3m?43m?449m2?343?3m2?143?3m2?1 ???2223m?43m?4(3m?1)?343m3m2?1?33m2?143?2 23??∴S?336?2?3，此时3m2?1? m??

2233m?1令直线的倾角为?，则tg???36 ??266。 2即△OAB面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为?

??例14、（2003年江苏高考题）已知常数a?0，向量c?(0,a),i?(1,0).

????经过原点O以c??i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i?2?c为方向向量的直线相交于

点P，其中??R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。

??????解：∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）。

因此，直线OP和AP的方程分别为 ?y?ax 和 y?a??2?ax。 消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程y(y?a)??2a2x2。

a(y?)2整理得 x2?1.??① ?1a()2822因为a?0,所以得：

（i）当a?2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； 2（ii）当0?a?2时，方程①表示椭圆，焦点E(11?a2,a)和F(?11?a2,a)为合乎题意的两个

2222222定点；

（iii）当a?2时，方程①也表示椭圆，焦点E(0,1(a?a2?1))和F(0,1(a?a2?1))为合乎题

22222意的两个定点。

说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。

x2y2例15、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴

ab作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围；

解：（1）∵F1(?c,0),则xM??c,yMb2b2?，∴kOM??。 aac

∵kABbb2b2??,OM与AB是共线向量，∴???，∴b=c，故e?。

aaca2FQ?r1,F2Q?r2,?F1QF2??,1（2）设

?r1?r2?2a,F1F2?2c,

r12?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c2a2a2cos?????1??1?0

r?r2r1r22r1r2r1r2(12)22当且仅当r1?r2时，cosθ=0，∴θ?[0,?2]。

说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。

x2y22例16、一条斜率为1的直线l与离心率为的椭圆C：2?2?1（a?b?0）交于P、Q，

2ab两点，直线l与Y轴交于点R，且OP?OQ??3，PR?3RQ，求直线l和椭圆C的方程。

解：? 椭圆离心率为

c2222，??，a?2b

a22x2y2所以椭圆方程为2?2?1，设l方程为：y?x?m，P(x1,y1),Q(x2,y2)

2bb?x2y2??1?222由?2b2b2消去y得3x?4mx?2m?2b?0 ?y?x?m???16m2?4?3(2m2?2b2)?8(?m2?3b2)?0?3b2?m2?(*)

42x1?x2??m??（1） x1x2?(m2?b2)??（2）

33OP?OQ??3 所以x1x2?y1y2??3

而y1y2?(x1?m)(x2?m)?x1x2?m(x1?x2)?m 所以2x1x2?m(x1?x2)?m??3

2222424(m?b2)?m2?m2??3 33所以3m?4b??9??（3）又R(0,m)，PR?3RQ，(?x1,m?y1)?3(x2,y2?m) 从而

22（2）（4）得3m?b??（5） ?x1?3x2??（4） 由（1）

2由（3）（5）解得b?3，m??1 适合(*)，

xy2所以所求直线l方程为：y?x?1或y?x?1；椭圆C的方程为??1

63说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。

求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。

例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．

（1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程．

解法一：（1）设| PF1 |=r1，| PF2 |=r2，| F1F2 |=2c，对?PF1F2, 由余弦定理，得 r11?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c24a2?4c24a2?4c2cos?F1PF2????1??1

r?r2r1r22r1r22r1r22(12)22?1?2e2?0， 解出 e?2.

22（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：

i） 当k存在时，设l的方程为y?k(x?c)??????①

x2y2椭圆方程为2?2?1,A(x1,y1),B(x2,y2)

ab由e?2. 得 a2?2c2,b2?c2。

2于是椭圆方程可转化为 x2+2y2—2c2=0??????② 将①代入②，消去y得 x2?2k2(x?c)2?2c2?0，

整理为x的一元二次方程，得 则x1、x2是上述方程的两根．且

(1?2k2)x2?4ck2x?2c2(k2?1)?0。

22c1?k2，

|x2?x1|?1?2k222c(1?k2)，

|AB|?1?k|x2?x1|?1?2k22AB边上的高h?|F1F2|sin?BF1F2?2c?|k|1?k2,

11?k2|k|S?22c()2c 2221?2k1?k1?k2|k|k2?k4122?22c?22c?2c2. 22411?2k1?4k?4k4?4k?k2?22c2ii） 当k不存在时，把直线x??c代入椭圆方程得

y??21c,AB?2c,S?2c?2c2 22由①②知S的最大值为2c2 由题意得2c2=12 所以c2?62?b2 a2?122

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x2y2??1. 12262解法二：设过左焦点的直线方程为：x?my?c????①

22椭圆的方程为：x?y?1,A(x1,y1),B(x2,y2)

22ab由e?2得：2a?2c2,b2?c2,于是椭圆方程可化为：x2?2y2?2c2?0??② .2把①代入②并整理得：(m2?2)y2?2mcy?c2?0 于是y1,y2是上述方程的两根。

AB??1?m2?x1?x2?2??y1?y2?24m2c2?4c2(m2?2)m2?2?1?m2y1?y2

22c(1?m2)， ?m2?2AB边上的高h?2c1?m2，

2从而S?1|AB|h?1?22c(1?m)?22c1?m222m?2?22c21?m2 (m?2)2?22c2m2?1?11?2m?12?2c2.

当且仅当m=0取等号，即Smax?2c2.

由题意知2c2?12， 于是 b2?c2?62,a2?122。 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x2122?y262?1.

例18、（2002年天津高考题）已知两点M（－1，0），N（1，0）且点P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列，

（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？

（Ⅱ）若点P坐标为(x0,y0)，?为PM与PN的夹角，求tanθ。 解：（Ⅰ）记P（x，y），由M（－1，0）N（1，0）得

PM??MP?(?1?x,?y) PN??NP?(?1?x,?y) MN??NM?(2,0)

所以 MP?MN?2(1?x)

PM?PN?x2?y2?1 NM?NP?2(1?x)

于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差数列等价于

1?22?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)]2? 即 ?2(1?x)?2(1?x)?0??x2?y2?3 ?x?0?所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆。 （Ⅱ）点P的坐标为(x0,y0)。PM?PN?x0?y0?1?2。

22?????????222PMPN?(1?x0)2?y0?(1?x0)2?y0?(4?2x0)?(4?2x0)?24?x0?????????PM?PN1所以cos??????. 因为 0

说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结

合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。

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