新高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节

新高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节

离散型随机变量的均值与方差教师用书理

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅰ，19,12分(随1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念； 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 机变量的分布列、均值) 2016，山东卷，19,12分(随机变量的分布列、均值) 2015，安徽卷，17,12分(条件概率、分布列、均值) 2014，陕西卷，19,12分(二项分布) 微知识 小题练

自|主|排|查

1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为

命题角度 1.主要考查离散型随机变量的数学期望与方差的求解及应用，常与排列、组合、概率、统计交汇命题； 2.题型以解答题为主，要求较高，解题时要求有较强的综合能力以及分析问题、解决问题的能力。 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

n(2)D(X)＝? (xi－E(X))pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的

2

i＝1

平均偏离程度，其算术平方根D2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，

X为随机变量X的标准差。

(2)D(aX＋b)＝aD(X)(a，b为常数)。 3．两点分布与二项分布的均值、方差

2

- 1 - / 14

X E(X) D(X) X服从两点分布 p(p为成功概率) p(1－p) X～B(n，p) np np(1－p) 微点提醒

1．均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态。

2．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解。若所给随机变量服从两点分布或二项分布等，则可直接利用它们的均值、方差公式求解。

3．已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解。

小|题|快|练

一 、走进教材

1．(选修2－3P64练习T2改编)已知离散型随机变量X的分布列为

X P 则X的数学期望E(X)＝( ) 3A. 25C. 2

1 3 52 3 103 1 10B．2 D．3

331153

【解析】 E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝。故选A。

51010102【答案】 A

2．(选修2－3P69B组T1改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________。

444

【解析】 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少6695?45?有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B?10，?，9?99?

E(X)＝10×＝。

【答案】

50

9

- 2 - / 14

55099

二、双基查验

1．已知X的分布列为

X P －1 1 20 1 31 1 6设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) 7A. 3C．－1

111

【解析】 E(X)＝－＋＝－，

263

B．4 D．1

E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝。故选A。

【答案】 A

2．(2017·洛阳模拟)一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为( )

1

A. 2C．1

2B. 3D．2

4

2373

【解析】 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A4种不同放93

法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4，其中P(ξ＝0)＝4＝，

A48

C4×21C4111311

P(ξ＝1)＝4＝，P(ξ＝2)＝4＝，P(ξ＝4)＝4＝，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋A43A44A4248341

4×＝1。故选C。 24

【答案】 C

3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 C．300

B．200 D．400

1

2

【解析】 记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000，0.1)

∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100。又X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)，2E(ξ)＝200。故选B。 【答案】 B

1

4．随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________。

5

- 3 - / 14

1?1?【解析】 设ξ＝1时的概率为p，则E(ξ)＝0×＋1×p＋2×?1－p－?＝1，解得p＝5?5?31312222

，故D(ξ)＝(0－1)×＋(1－1)×＋(2－1)×＝。 55555

2

【答案】 5

?1?5．(2016·兰州一中模拟)若随机变量ξ～B?5，?，则D(3ξ＋2)＝________. ?3??1?∴D(ξ)＝5×1×?1－1?＝10，

【解析】 ∵随机变量ξ～B?5，?，∴D(3ξ＋2)＝9D(ξ)??3?3?9?3?

＝10。

【答案】 10

微考点 大课堂

考点一 与超几何分布有关的均值与方差 【典例1】 某公司电脑专业技术人员对该公司A，B两个办公室的50台电脑进行报废检查，其中A办公室的电脑占60%，B办公室的电脑占40%，A办公室电脑的报废率为10%，

B办公室电脑的报废率为20%。

(1)若从这50台电脑中随机抽取1台(每台电脑被抽到的机会相等)，求该电脑是A办公室的且不报废的概率；

(2)若从这50台电脑中随机抽取2台(每台电脑被抽到的机会相等)，记这2台电脑是A办公室的且不报废的台数为ξ，求ξ的分布列与数学期望。

【解析】 (1)由题意可得，这50台电脑中，A办公室有50×60%＝30台，其中A办公室的电脑不报废的有30×(1－10%)＝27台，故从这50台电脑中随机抽取1台，该电脑是A办27公室的且不报废的概率为。

50

(2)依题意，ξ的所有可能取值为0,1,2， C23253

P(ξ＝0)＝2＝，

C501 225C27C23621

P(ξ＝1)＝2＝，

C501 225C27351

P(ξ＝2)＝2＝。

C501 225ξ的分布列为

ξ 0 1 - 4 - / 14

2 21

12

P E(ξ)＝0×

253 1 225621 1 225351 1 22525362135127＋1×＋2×＝ 1 2251 2251 22525

27

【答案】 (1)

50(2)见解析

反思归纳 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 1．理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值。 2．求ξ取每个值的概率。 3．写出ξ的分布列。 4．由均值的定义求E(ξ)。 5．由方差的定义求D(ξ)。

【变式训练】 一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)。若有2只昆虫先后21

任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是。

55

(1)求盒子中蜜蜂有几只。

(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)。

【解析】 (1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，设盒子中蜜蜂为x只，则由题意，得

C11－x21

P(A)＝2＝，所以(11－x)(10－x)＝42，

C1155解之得x＝4或x＝17(舍去)， 故盒子中蜜蜂有4只。

(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X的取值可为0,1,2,3， C77C4C728

P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，

C1133C1155C4C714C44

P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝。

C1155C11165故X的分布列为

21

3

3

12

2

X P 0 7 331 28 552 14 553 4 165 - 5 - / 14

72814412

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝。

33555516511【答案】 (1)4只 (2)见解析

考点二 与相互独立事件有关的均值与方差 【典例2】 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得13

分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率42

是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活3动，求：

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)。

【解析】 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”。 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”。 由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD。 由事件的独立性与互斥性，得

P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＝

232?12323132?2×××＋2×?×××＋×××?＝。 343?43434343?3

2所以“星队”至少猜对3个成语的概率为。

3(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6。 由事件的独立性与互斥性，得

34

P(X＝0)＝×××＝1143111

，

43144

?31111211?P(X＝1)＝2×?×××＋×××?

?43434343?

＝

105

＝， 14472

3143

31314343

1212311243434343

1225

，

43144

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝

- 6 - / 14

P(X＝3)＝×××＋×××＝323

1321

32431111434332121

＝，

4314412

2

??P(X＝4)＝2×?×××＋×××? 43434343

?

?

＝

605＝， 14412

3243

32361

＝。

431444

P(X＝6)＝×××＝可得随机变量X的分布列为

X P 0 1 1441 5 722 25 1443 1 124 5 126 1 4所以数学期望E(X)＝0×

152515123＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝。 14472144121246

2

【答案】 (1) (2)见解析

3

反思归纳 首先根据条件判断事件是否是相互独立事件，若是相互独立事件，先求出相关分布列，再求出数学期望与方差。

【变式训练】 (2016·沈阳质监)某中学根据2002～2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立。2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋11

类”、“国学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少

3243

进入一个社团的概率为，且m>n。

4

(1)求m与n的值；

(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加样本选修学分3分。求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望。

【解析】 (1)依题意得 11mn＝，??324???1－－m?1－1??3???

3

－n＝，

4

1m＝，??2解得?1

n＝??4。

(2)设该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6。

- 7 - / 14

1231

而P(X＝0)＝××＝；

2344

P(X＝1)＝××＝； P(X＝2)＝××＝；

P(X＝3)＝××＋××＝； P(X＝4)＝××＝； P(X＝5)＝××＝； P(X＝6)＝××＝。 X的分布列为：

X P 0 1 41 1 42 1 83 5 244 1 125 1 246 1 241123

14

124

1123

14

124

1223

14

112

1223

11134234

524

1123

3148

12233144

111511123于是，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝。

448241224241211

【答案】 (1)m＝ n＝ (2)见解析

24

考点三 与二项分布有关的均值与方差 【典例3】 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差。

【解析】 (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，

B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}。

由题意知A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A12

A，C＝B1＋B2。

- 8 - / 14

4251

因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，

105102所以P(B1)

211

＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，

525

P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)

＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2) ＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2) 2?1??2?11＝×?1－?＋?1－?×＝。 5?2??5?22

117

故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝。

5210(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验， 1

由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，

5

?1?所以X～B?3，?。 ?5?

640?1?0?4?3

于是P(X＝0)＝C3????＝，

?5??5?125

12

P(X＝1)＝C1， 3????＝

?5??5?125

?1??4??1??4??1??4?48121

21

P(X＝2)＝C2， 3????＝

?5??5?125

30

P(X＝3)＝C3。 3????＝

?5??5?125

故X的分布列为

X P 0 64 1251355

1 48 1252 12 12515

3 1 125X的数学期望为E(X)＝3×＝，方差为D(X)＝3××?1－?＝。

5

7

【答案】 (1) (2)见解析

10

反思归纳 求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，

?

?

1?12?25

p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量。

- 9 - / 14

【变式训练】 某省组织部为了了解今年全省高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重情况，对该省某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重进行了统计，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)。已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12。

(1)求该校报考飞行员的总人数；

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，用频率来估计概率，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60 kg的学生人数，求X的分布列、数学期望和方差。

【解析】 (1)设该校报考飞行员的总人数为n，前3小组的频率分别为f1，f2，f3，则由条件可得，

f2＝2f1??

?f3＝3f1??f1＋f2＋f3＋

＋＝1

解得f1＝0.125，f2＝0.25，f3＝0.375。 12

因为f2＝＝0.25，所以n＝48。

n(2)由(1)可得，一个报考飞行员的学生的体重超过60 kg的概率为P＝f3＋(0.037＋5

0.013)×5＝，

8

k3－kX服从二项分布，P(X＝k)＝Ck(k＝0,1,2,3)。 3?????8??8?

?5??3?所以随机变量X的分布列为

X 0 1 - 10 - / 14

2 3

P 515

则E(X)＝3×＝。

88

27 512135 512225 512125 512D(X)＝3×?1－?＝。

8

【答案】 (1)48 (2)见解析

考点四 均值与方差在决策中的应用 5?8?5?45?64

【典例4】 (2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数。

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

- 11 - / 14

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

【解析】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04。

所以X的分布列为

X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19。 (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)。 当n＝19时，

E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200

＋3×500)×0.04＝4 040。

当n＝20时，

E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080。

可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19。 【答案】 (1)见解析 (2)19 (3)应选n＝19

反思归纳 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据。一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。

【变式训练】 某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损72

15%，且这两种情况发生的概率分别为和；

99

项目二：通信设备。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，311

也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和。

5315

- 12 - / 14

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由。 【解析】 若按“项目一”投资，设获利为X1万元。则X1的分布列为

X1 P 300 7 9－150 2 972∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)。

99若按“项目二”投资，设获利X2万元， 则X2的分布列为：

X2 P 500 3 5－300 1 30 1 15311∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×

5315＝200(万元)。

D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，

D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000。

所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥。 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资。 【答案】 见解析

微考场 新提升

1．(2017·石家庄模拟)口袋中装有大小质地都相同，编号为1,2,3,4,5的球各一个，现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较大的编号为X，则随机变量X的数学期望是( )

A．3 C．4.5

解析 由已知得X的可能取值为2,3,4,5， C11C22

P(X＝2)＝2＝，P(X＝3)＝2＝，

C510C510C33C44

P(X＝4)＝2＝；P(X＝5)＝3＝，

C510C510

1

1

1

1

7

935

2913

115

B．4 D．5

- 13 - / 14

1234

∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4。故选B。

10101010答案 B

2．(2015·广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)。若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝__________。

解析 随机变量X服从二项分布B(n，p)， 若E(X)＝30，D(X)＝20，

21

可得np＝30，npq＝20，q＝，则p＝。

331

答案 3

3．(2016·曲阜模拟)两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的1个红球、2个黄球。现从每个口袋中各任取2球，设随机变量ξ为取得红球的个数，则E(ξ)＝________。

C2C21C2C24

解析 由题意ξ的取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝22＝；P(ξ＝1)＝2·2·2＝；

C3C39C3C39C2C241444

P(ξ＝2)＝22＝，所以数学期望：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝。

C3C3999934

答案 3

4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：

11

22

1

2

x P(ξ＝x) 1 ？ 2 ！ 3 ？ 请小牛同学计算ξ的均值。尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________。

解析 设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2。

答案 2

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