几何练习2

19．已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使

A DE＝DC，连接AE、BD.

（1）求证：△AGE≌△DAB D G E （2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连结AF，求∠AFE的度数.

20． 如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y?m的图象交于A、B两点。 xB F

C (1)根据图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式;

(2) 根椐函数图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值

21．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，?ABC??BAD?90，AD?BC，AC，BD 相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．

（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线） （2）证明：四边形AHBG是菱形； Ｄ （3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出

这个条件．（不必证明）

Ａ 五、解答题（22、23、24每题12分）

22．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中

BＦ 点，连结ED．

（1）求证：ED为⊙O的切线； （2）如果⊙O的半径为

?Ｃ

Ｇ Ｂ

Ｈ 21Ｅ

3，ED=2，求AB的长． 2EDA23．为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．

下表是某种汽车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：

… 40 60 80 行驶速度（千米／时） 停止距离（米） CO16 30 48 … （1）设汽车刹车后的停止距离y（米）是关于汽车行驶速度x（千米／时）的函数，给出以下三个函数：①y?ax?b；

②y?k?k?0?；③y?ax2?bx，请选择恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度x（千米／时）x的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；

（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．

24、如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。 ⑴ 求x为何值时，PQ⊥AC；

⑵ 设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式； ⑶ 当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积； A⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围(

19．解：（1）∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，

Q∴△AGD是等边三角形

OAG＝GD＝AD，∠AGD＝60°

∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB BPCD∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD， ∴△AGE≌△DAB

（2）由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG

∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形 ∴EF＝BD， ∴EF＝AE．

∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF,即∠AEF＝∠ABC＝60°

∴△ABC是等边三角形，∠AFE＝60° 20:解把A(-2,1)代入y?把B(1,n)代入y??m2;得m=-2; ∴反比例函数为y??; xx2得:n=-2; ∴点B坐标为(1,-2) x把A(-2,1),B(1,-2)代入一次函数y=kx+b得?∴一次函数为y??x?1; 21．（1）△ABC≌△BAD．

??2k?b?1?k??1,解得?

?k?b??2?b??1 ?AD?BC，?ABC??BAD?90，AB?BA， ?△ABC≌△BAD(SAS)．

（2）?AH∥GB，BH∥GA，?四边形AHBG是平行四边形．

?GA?GB． ?△ABC≌△BAD，??ABD??BAC，?_ B ?平行四边形AHBG是菱形． _ E

（3）需要添加的条件是AB?BC．

22、连结OD _ C（1）∵E为BC的中点，O为AC中点∴OE∥AB且AB=2OE， ∴∠A=∠COE，∠EOD=∠ODA

∵OD=OA∴∠A=∠ODA，∴∠COE=∠EOD，∵OD=OC，OE=OE∴Rt△COE≌Rt△DOE ∴∠EDO=∠C=90°∴DE是⊙O切线

（2）由（1）知△COE≌△DOE，∴DE=CE=2，∵CO=23、(1)选择③y?ax?bx; ∵①y?ax?b；②y?2_ D_ A

_ O3∴EO=2.5,∴AB=5 2k?k?0?都不适合 x1?k???1600a?40b?162200 把(40,16),(60,30)代入③y?ax?bx得?,解得?1?3600a?60b?30?b?5?121x?x ∴函数的解析式y?2005121x?x?70, (2) 若汽车刹车后的停止距离为70米,则2005解得x1?100,x2??140(不合题意舍去)

∴求汽车行驶速度是100千米/小时

24、解：

⑴∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。

当Q在AC上时，由题意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x， ∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝600，

若PQ⊥AC，则有∠QPC＝300，∴PC＝2CQ

4

∴4－x＝2×2x，∴x＝ ，

5

4

∴当x＝ (Q在AC上)时，PQ⊥AC；

5

⑵ 当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H，

∵∠C＝600，QC＝2x，∴QH＝QC×sin600＝3x

1

∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝ BC＝2

2

113

∴DP＝2－x，∴y＝ PD·QH＝ (2－x)·3x＝－x2＋3x

222

0

⑶ 当0＜x＜2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝60，

∴HC＝x，∴BP＝HC ∵BD＝CD，∴DP＝DH，

∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH， ∴OP＝OQ

∴S△PDO＝S△DQO，

∴AD平分△PQD的面积；

⑷ 显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离

416

当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切。

55441616

当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交。

5555

20．如图10，已知⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，∠AOC=60o． （1）求证：△OAD≌△CBD；（4分） （2）若AB=2，求图中阴影部分的面积．（4分）

21．某公司组织A、B两种工人共20人生产某种纪念品，已知每位A种工人比B种工人每小时多生产2件纪念品，每

位A种工人生产24件纪念品所用的时间与B种工人生产20件纪念品所用的时间相同． （1）求A、B两种工人每人每小时各生产多少件纪念品？（4分）

（2）根据公司安排，要求B种工人的人数不少于A种工人人数的3倍，且每件纪念品售出时公司均可获利10元．假

定所生产的纪念品均能售出，那么该公司应如何安排A、B两种工人的人数，才能使每小时获得最大利润？最大利润是多少元？（4分） 22．如图11-1，已知矩形ABCD中，AB?4BC，O是矩形ABCD的中心，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于3F，得矩形BEOF．

（1）线段AE与CF的数量关系是_____，直线AE与CF的位置关系是_____；（2分）

（2）固定矩形ABCD，将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图11-2的位置，连接AE、CF．那么（1）中的结论是否

依然成立？请说明理由；（3分）

（3）若AB=8，当矩形BEOF旋转至点O在CF上时（如图11-3），设OE与BC交于点P，求PC的长．（3分）

C D C D C D

P O O

E E O F

F

F

A B A A E B B

图11-1 图11-2 图11-3

23．如图12，已知抛物线y?12x?bx?c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB = 22OA = 4．

（1）求该抛物线的函数表达式；（3分）

（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切

时点P的坐标．（4分）

（3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒2个单位长度的

速度向终点C运动，过点E作EG//y轴，交AC于点G（如图12-2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则

当t为何值时，

△EFG的面积是△ABC的面积的

y 1？（3分） 3E O A O D C 图10

G B C 图12-2

F B x 20．（1）证明：∵OC⊥AB

∴AD=BD，∠BDC=∠ODA=90o ………………1分 ∵∠AOC=60o

1 ∴∠ABC=∠AOC=30o ………………………2分

2 ∠OAD=90–∠AOC=30o ……………………… 3分 ∴∠ABC=∠OAD

∴△AOD≌△BCD ………………………………4分 （2）解：连接OB ∵OC⊥AB

∴弧AC = 弧BC

∴∠BOC=∠AOC=60o，BD=AD=

A 1AB=1………………………………5分 2BDBD ∵sin∠BOC=，tan∠BOC=

OBODBD123BD13∴OB=，OD=…………6分 ????sin?BOCsin60?3tan?BOCtan60?3∵△AOD≌△BCD

∴S阴影?S扇形OBC?S?OBC?S?AOD?S扇形OBC?S?OBD?2601??OB2?BD?OD 36021?23?1323???1? ???………………………………………8分 ????6?32396??21．（1）解：设A种工人每人每小时生产纪念品x件，依题意得 ………………1分

2420?……………………………………………………………2分 xx?2 化简后得：4x?48

解得：x = 12 …………………………………………………………3分 经检验，x =12是原方程的根，也符合题意 当x = 12时，x–2 = 10 答：A、B两种工人每人每小时分别生产12件、10件纪念品．……4分

（注：设未知数时不带单位，扣1分；检验要含两部分，否则扣1分）

（2）解：设当安排A种工人a人时，所获得利润为y元，则

y?12?10a?10?10?20?a??20a?2000 ……………………………5分

∵3a?20?a，∴a?5………………………………………………… 6分 ∵20 > 0

∴当a取得最大值5时，y也取得最大值是2100 …………………………7分 当a = 5时，20–a = 15

故安排A种工人5人、B种工人15人时，每小时可获得最大利润，最大利润是2100元．…………………………………………………………………………………8分

（注：如果第（2）问所设的未知数与第（1）问相同，则扣1分）

22．（1）AE?4AE4D CF或?；AE?CF或互相垂直………………2分（每空1分）

3CF3E C

H G O

（2）解：（1）中的结论仍然成立 延长AE交BC于H，交CF于G，由已知得

F

A

图11-2

B

11AB，BF?BC 22BEBF1?? ∴

ABBC2BE?∵∠ABC=∠EBF=90，∴∠ABE=∠CBF

∴△ABE∽△CBF ………………………………3分 ∴∠BAE=∠BCF，

AEAB4??……………………4分 CFBC3 ∵∠BAE+∠AHB=90o，∠AHB=∠CHG ∴∠BCF+∠CHG=90o ∴∠CGH = 180–（∠BCF+∠CHG）=90o

（3）解：∵AB=

∴AE⊥CF，且AE=

4CF………………………………5分 3D E F

A 图11-3

B C P O 4BC，AB=8， ∴BC=6 3∴BE=OF=4，BF=OE=3

∵点O在CF上，∴∠CFB=90o ∴CF=BC?BF?6?3?33 ∴OC=CF–OF=33?4……………………6分 ∵∠CPO=∠BPE，∠PEB=∠POC=90o ∴△BPE∽△CPO，∴

2222CPOC?……………………………………7分 BPBE设CP = x，则BP = 6–x

x33?418?83，解得：x? ?6?x4318?83∴PC?………………………………8分

3∴

y Q l P 23．（1）解：∵OB=2OA=4 ∴A（–2，0）、B（4，0）………………1分 由已知得：

?12????2?2b?c?0??2 ?1??42?4b?c?0A O ??2?b??1解得：?……………………………………2分

?c??4C 12所求抛物线为y?x?x?4…………………………3分 图12-1 2B R x （2）解法一：当点P在第一象限时，

过点P作PQ⊥l于Q，作PR⊥x轴于R ⊙P与x轴、直线l都相切， ∴PQ=PR

由（1）知抛物线的对称轴l为x = 1，设P（x，∴x–1 =

121x?x?4）则PQ = x–1，PR = x2?x?4 2212x?x?4，解得：x?2?10（其中2?10舍去） 2∴PR = PQ = x–1=1?10

∴P（2?10，1?10）……………………………………………………4分

同理，当点P在第二象限时，可得P（?10，1?10）………………5分 当点P在第三象限时，可得P（2?10，1?10）……………………6分 当点P在第四象限时，可得P（10，1?10）…………………………7分

综上述，满足条件的点P的坐标为P1（2?10，、P2（?10，、P3（2?10，、1?10）1?10）1?10）

P4（10，1?10

解法二：由已知得点P也在由对称轴l及x轴所组成的角的平分线所在的直线m上

当直线m过一、三、四象限时，设直线m与y轴交于N，对称轴l与x轴交于M 由（1）知直线l为x = 1 故M（1，0） ∵∠OMN =45o=∠ONM ∴ON = OM = 1 ∴N（0，–1）

∴直线m为：y = x–1 A y l P N ?y?x?1?解方程组? 12y?x?x?4?m C 2???x1?2?10??x2?2?10图12-1 得：? ? ??y1?1?10??y2?1?10∴点P的坐标为（2?10，1?10）或（2?10，1?10）………………5分 当直线m经过一、二、四象限时，

同理可得点P的坐标为（?10，1?10）或（10，1?10）………………7分

O M B x ∴点P的坐标为P1（2?10，、P2（?10，、P3（2?10，、P4（10， 1?10）1?10）1?10）1?10）（3）解：过点F作FH⊥EG于点H，作FJ⊥x轴于J

y 由（1）知点C的坐标为（0，–4）

∴OB=OC=4

∵∠OBC=∠OCB = 45o

∴FJ=BJ=

22BF??2t?t 22E O A H G C 图12-2

J B F x ∴F（4–t，t）

∵AE = t，∴E（–2 + t，0） ∴A（–2，0）、C（0，–4） ∴直线AC为：y =–2x–4

把x =–2 + t代入得：y =–2t，∴G（–2 + t，–2t） ∴EG = 2t，FH = (4–t )–(–2 + t ) = 6–2t ∴S?EFG?∵S?ABC S?EFG11EG?FH??2t??6?2t???2t2?6t ……………………8分 2211?AB?OC??6?4?12 221?S?ABC 32∴?2t?6t?4，解得t1?1，t2?2 ……………………………………9分

∵当t = 2时，G（0，–4），E（0，0），此时EG与OC重合，不合题意，舍去 ∴当t = 1时，△EFG的面积是△ABC的面积的

1．…………………………10分 3

同理，当点P在第二象限时，可得P（?10，1?10）………………5分 当点P在第三象限时，可得P（2?10，1?10）……………………6分 当点P在第四象限时，可得P（10，1?10）…………………………7分

综上述，满足条件的点P的坐标为P1（2?10，、P2（?10，、P3（2?10，、1?10）1?10）1?10）

P4（10，1?10

解法二：由已知得点P也在由对称轴l及x轴所组成的角的平分线所在的直线m上

当直线m过一、三、四象限时，设直线m与y轴交于N，对称轴l与x轴交于M 由（1）知直线l为x = 1 故M（1，0） ∵∠OMN =45o=∠ONM ∴ON = OM = 1 ∴N（0，–1）

∴直线m为：y = x–1 A y l P N ?y?x?1?解方程组? 12y?x?x?4?m C 2???x1?2?10??x2?2?10图12-1 得：? ? ??y1?1?10??y2?1?10∴点P的坐标为（2?10，1?10）或（2?10，1?10）………………5分 当直线m经过一、二、四象限时，

同理可得点P的坐标为（?10，1?10）或（10，1?10）………………7分

O M B x ∴点P的坐标为P1（2?10，、P2（?10，、P3（2?10，、P4（10， 1?10）1?10）1?10）1?10）（3）解：过点F作FH⊥EG于点H，作FJ⊥x轴于J

y 由（1）知点C的坐标为（0，–4）

∴OB=OC=4

∵∠OBC=∠OCB = 45o

∴FJ=BJ=

22BF??2t?t 22E O A H G C 图12-2

J B F x ∴F（4–t，t）

∵AE = t，∴E（–2 + t，0） ∴A（–2，0）、C（0，–4） ∴直线AC为：y =–2x–4

把x =–2 + t代入得：y =–2t，∴G（–2 + t，–2t） ∴EG = 2t，FH = (4–t )–(–2 + t ) = 6–2t ∴S?EFG?∵S?ABC S?EFG11EG?FH??2t??6?2t???2t2?6t ……………………8分 2211?AB?OC??6?4?12 221?S?ABC 32∴?2t?6t?4，解得t1?1，t2?2 ……………………………………9分

∵当t = 2时，G（0，–4），E（0，0），此时EG与OC重合，不合题意，舍去 ∴当t = 1时，△EFG的面积是△ABC的面积的

1．…………………………10分 3

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