微分方程习题课

习题课

一、本章内容一、一阶微分方程 1.可分离变量的微分方程 类型 解法

y f x g y .

g y dy f x dx.

1

2.一阶线性微分方程 类型 解法

y P x y Q x .

y e

P x dx

Q x e p x dx dx C .

3.齐次方程

为

y y f x, y . 类型 x y dy du u x . 则原方程转变 解法 令 u , x dx dx

x

du dx

u u.

此为变量可分离的微分方程.

4.伯努利方程 类型 解法

dy dx令z

P x y Q x y1

0,1 .

ydz dx

,

则原方程变为

1 P x z 1 Q x

为一阶线性微分方程.

二、可降阶的二阶微分方程 1.类型 方法

y f x .n

做 n 次积分.

2.类型 方法

y f x , y . p f x, p .

令 y p , 则原方程转变为

新方程是一个一阶微分方程.

3.类型 方法

y f y , y .

令 y p , 则原方程转变为

p

dp dy

f y, p .

新方程是一个一阶微分方程.

三、二阶线性微分方程的解的结构 设二阶线性微分方程

y P x y Q x y f x . y P x y Q x y 0

⑴

而方程

⑵

称其为方程⑴所对应的齐次方程. 有 1.若 y1 , y 2 是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解

y C1 y1 C 2 y 2 .

2.若 y 是方程⑴的特解，则方程⑴有通解

*

y C1 y1 C 2 y 2 y * .

四、二阶常系数线性微分方程 1.二阶常系齐次数线性微分方程 设方程

y py qy 0,

相应的特征方程为

r 2 pr q 0.则：①若方程有两个不同的实根 r1 , r2 , 则方程的通解为

y C1e r1 x C 2 e r2 x ,

②若方程有两个相同的实根 r1 r2 , 则方程的通解为

y C1 C 2 x e ,r1 x

③若方程有一对共轭复根 r1,2 为

i, 则方程的通解

y e x C1 cos x C 2 sin x .

2.二阶常系非齐次数线性微分方程 ①设方程为

py qy e x Pm x , y则方程有特解

y * e x x k Qm ( x ),其中 Qm x 是一个与 Pm x 同次的多项式，而 0 若 不是特征方程的根，

k 1 若 是特征方程的单根， 2 若 是特征方程的二重根.

k 另：若令 Q x x Qm x , 则Q x 满足

Q x 2 p Q x 2 p q Q x Pm x .

②设方程y py qy e x Pl x cos x Pm x sin x ,

则方程有特解1 2

y * x k e x Rn x cos x Rn x sin x ,

1 2 n Rn x , Rn x 是 n次的多项式， max{l , m}, 而 其中

k 按 i 是否为特征方程的根而分别取1或0.

二、例 题 选 讲例1 求解方程 ydx x 4 x dy 0 .2

解 得

此方程为一个可分离变量的微分方程。分离变量后

dy y因

dx 4x x2

,

dy

1 1 1 dx , y 4 x 4 x

两边积分后得

ln y 即

1

ln x ln 4 x C , 41

y

4

4 x Cx.

此即为原方程的通解.

y xy x tan x y 0, 例2 求解方程 y . x 2 3 解 原方程变形后为齐次方程

y tan做变换 u

y x

y x

.

y x

, 则有u x du dx tan u u ,

移项后得

cos u两边积分后得

du dx. sin u x

1

ln sin u C ln x ,将u

y x

, 代入，有ln sin y x C ln x ,

由初始条件 y

x 2

3

, 得 C 1, 即原方程的解为y x 1 x ,

sin即满足初始条件的解为

y x arcsin . x

1

例3 求微分方程 y 3 x4

2

dy xydx 0 的通解.

解

原方程变形为

xdx dy即

3x 2 y y

y3, 2 y 3 ,

dx 2 dy

6x2

此是关于函数 x 2 f y 的一阶线性非齐次线性微分 方程，由求解公式得

6 dy y 2 3 y x e dy C 2 y e dy 6 y 2 3 C y 4 Cy 6 . y 6 dy

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