微分方程习题课
更新时间:2023-08-11 09:48:01 阅读量: 教育文库 文档下载
习题课
一、本章内容一、一阶微分方程 1.可分离变量的微分方程 类型 解法
y f x g y .
g y dy f x dx.
1
2.一阶线性微分方程 类型 解法
y P x y Q x .
y e
P x dx
Q x e p x dx dx C .
3.齐次方程
为
y y f x, y . 类型 x y dy du u x . 则原方程转变 解法 令 u , x dx dx
x
du dx
u u.
此为变量可分离的微分方程.
4.伯努利方程 类型 解法
dy dx令z
P x y Q x y1
0,1 .
ydz dx
,
则原方程变为
1 P x z 1 Q x
为一阶线性微分方程.
二、可降阶的二阶微分方程 1.类型 方法
y f x .n
做 n 次积分.
2.类型 方法
y f x , y . p f x, p .
令 y p , 则原方程转变为
新方程是一个一阶微分方程.
3.类型 方法
y f y , y .
令 y p , 则原方程转变为
p
dp dy
f y, p .
新方程是一个一阶微分方程.
三、二阶线性微分方程的解的结构 设二阶线性微分方程
y P x y Q x y f x . y P x y Q x y 0
⑴
而方程
⑵
称其为方程⑴所对应的齐次方程. 有 1.若 y1 , y 2 是方程⑵的线性无关解,则方程⑵有通解
y C1 y1 C 2 y 2 .
2.若 y 是方程⑴的特解,则方程⑴有通解
*
y C1 y1 C 2 y 2 y * .
四、二阶常系数线性微分方程 1.二阶常系齐次数线性微分方程 设方程
y py qy 0,
相应的特征方程为
r 2 pr q 0.则:①若方程有两个不同的实根 r1 , r2 , 则方程的通解为
y C1e r1 x C 2 e r2 x ,
②若方程有两个相同的实根 r1 r2 , 则方程的通解为
y C1 C 2 x e ,r1 x
③若方程有一对共轭复根 r1,2 为
i, 则方程的通解
y e x C1 cos x C 2 sin x .
2.二阶常系非齐次数线性微分方程 ①设方程为
py qy e x Pm x , y则方程有特解
y * e x x k Qm ( x ),其中 Qm x 是一个与 Pm x 同次的多项式,而 0 若 不是特征方程的根,
k 1 若 是特征方程的单根, 2 若 是特征方程的二重根.
k 另:若令 Q x x Qm x , 则Q x 满足
Q x 2 p Q x 2 p q Q x Pm x .
②设方程y py qy e x Pl x cos x Pm x sin x ,
则方程有特解1 2
y * x k e x Rn x cos x Rn x sin x ,
1 2 n Rn x , Rn x 是 n次的多项式, max{l , m}, 而 其中
k 按 i 是否为特征方程的根而分别取1或0.
二、例 题 选 讲例1 求解方程 ydx x 4 x dy 0 .2
解 得
此方程为一个可分离变量的微分方程。分离变量后
dy y因
dx 4x x2
,
dy
1 1 1 dx , y 4 x 4 x
两边积分后得
ln y 即
1
ln x ln 4 x C , 41
y
4
4 x Cx.
此即为原方程的通解.
y xy x tan x y 0, 例2 求解方程 y . x 2 3 解 原方程变形后为齐次方程
y tan做变换 u
y x
y x
.
y x
, 则有u x du dx tan u u ,
移项后得
cos u两边积分后得
du dx. sin u x
1
ln sin u C ln x ,将u
y x
, 代入,有ln sin y x C ln x ,
由初始条件 y
x 2
3
, 得 C 1, 即原方程的解为y x 1 x ,
sin即满足初始条件的解为
y x arcsin . x
1
例3 求微分方程 y 3 x4
2
dy xydx 0 的通解.
解
原方程变形为
xdx dy即
3x 2 y y
y3, 2 y 3 ,
dx 2 dy
6x2
此是关于函数 x 2 f y 的一阶线性非齐次线性微分 方程,由求解公式得
6 dy y 2 3 y x e dy C 2 y e dy 6 y 2 3 C y 4 Cy 6 . y 6 dy
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