12-13学年度杰出教育九上数学专题(5)《圆(2)》

2012---2013学年度九（上）数学----“梯级教学法” 专题讲座(5)-------《圆》（二） 2012. 10. 13.

中学 姓名

一. 知识归纳与整理：

1.点和圆的位置关系：

（1）设圆的半径为R，点P到圆心的距离为d，则:

①d＜R 点P在圆内；②d=R 点P在圆上；③d＞R 点P在圆外. （2）不在同一直线上的三点确定一个圆.

（3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

（4）反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设推出矛盾； ③说明假设不成立； ④说明结论成立. 2.直线和圆的位置关系：

（1）设圆的半径为R，圆心到直线的距离为d，则：

①直线和圆相离 d＞R；②直线和圆相切 d=R；③直线和圆相交 d＜R. （2）切线的判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （3）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线

平分两条切线的夹角.

（5）三角形的内心到三角形三边的距离相等. 3.圆和圆的位置关系：

（1）设两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，则：

①两圆外离 d＞R+r；②两圆外切 d=R+r；③两圆相交 R-r＜d＜R+r； ④两圆内切 d=R-r； ⑤两圆内含 0≤d＜R-r. （2）两圆相切的性质：

①两圆相切时的图形是轴对称图形，通过两圆圆心的直线（连心线）是它的对称轴. ②如果两圆相切连心线必过切点.

二. 梯级训练：

（一）基础闯关： 1.选择题：

2

（1）两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x 4x 3 0的两个根，则两圆的位置

关系是 （ ） A．相交 B．外离 C．内含 D．外切 （2）如图1，直线AB与⊙O相切于点A，

⊙O半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（ ） A

． B．4

C

． D．2

A

（图1）

B

2.填空题：

（3）两圆有多种位置关系，图2中不存在的位置关系是 ．

（4）如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径

为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为 cm．

图4 （图3）

（图2）

（5）如图4，AB与 O相切于点B，AO的延长线交 O于点C，连结BC．

若 A 36，则 C ______ ．

3.解答题：

(6) 如图5，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的

垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．

(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为2，BD＝，求BC的长．

CF

AO

B

( 图5 )

（7）如图6，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，

且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B。小圆的切线AC

与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB.

（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；

（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=8㎝，BC=10㎝，求大圆与小圆围成的圆环的面积.

O （结果保留π）

（图6）

自我评价：

（1）我顺利通过第一关了（ ）；（2）我就差那么一步了，下次再努力（ ）； （3）我还需要继续努力（ ）. （二）能力提升： 1.选择题：

（8）如图7， O1， O2， O3两两相外切， O1的半径r1 1，

则△O O2的半径r2 2， O2的半径r3 3，O1O23A．锐角三角形 C．钝角三角形

B

O2

是（ ）

O3

(图7)

B．直角三角形

D．锐角三角形或钝角三角形

B为切点．(9)如图8，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，23），直线AB为⊙O的切线，则

B点的坐标为（ ）

38 49

, B． ,1 C． , 1, A． 25 55

B

B

O

(图10) CA（图9） 2.填空题：

（10）如图9，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=____． （11）如图10，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，∠AOB=60°，BC=4cm，

则切线AB= cm.

（12）如图11，⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上，

两圆半径都为1cm，开始时圆心距 AB=4cm， 现⊙A、⊙B同时沿直线l以每秒2cm的速度

（图11） 相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间

为 秒. 3.解答题：

（13）如图12，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．0为BC边上一点，以0为圆心，

OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE。

(1)当BD=3时，求线段DE的长；

(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，

设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．

（图12）

（14）如图13，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D

作DE⊥BC，垂足为E。

(1) 求证：DE是⊙O的切线；

(2) 作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，

AB＝8，求弦DG的长。

(图13)

自我评价：

（1）我顺利通过第二关了（ ）；（2）我就差那么一步了，下次再努力（ ）； （3）我还需要继续努力（ ）.

A B

（三）综合拓展： 1.选择题：

（15）如图14, 若⊙O的直径AB与弦AC的 夹角为30°，

切线CD与AB的延长线交于点D，且⊙O的半径 为2，则CD的长为（ ）

A.

B. C. 2

D. 4

（图14）

（16）已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰

AB均相切，切点分别是D、C、E。若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是( )

A．9 B. 10 C. 12 D. 14

2.填空题： (17) 如图15，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，

将纸片按图示方式折叠，使EA/恰好与⊙0相切于点A′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA/ 交CD边于点G，则A/G的长是。

(图15)

(图16)

(18) 如图16，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB

上，另一边DE过ΔABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上。①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是_____；②若正方形DEFG的面积为100，且ΔABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB = ______。

3.解答题：

（19） 如图17，⊙O的弦AD∥BC,过点D 的切线交BC

的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F. (1)求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE；

（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.（图17）

（20）如图18，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60º． （1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切； （3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的

速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0 t 2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

E O

C B

A

O

E

B

A

O B

D

A

图18-1 图18-2

图18-3

自我评价：

（1）我顺利通过第三关了（ ）；（2）我就差那么一步了，下次再努力（ ）； （3）我还需要继续努力（ ）.

三.终结性评价：

（1）我顺利闯过三关了，但我还要戒骄戒躁，继续努力（ ）； （2）我还有一定失误，原因就在于（ ）

A. 知识点掌握得不够好； B. 解题粗心；

C. 综合运用知识能力还存在问题； D. 审题能力有待提高；

E. 解题能力还有待进一步提高； F. 思路不够拓展，还需要加强思维训练. （3）我也不知道我的主要问题在哪里（ ）.

四．巩固练习：

1.选择题：

（21）如图19，已知⊙O是以数轴的原点O为 圆心，半径为1

的圆， AOB 45 ,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,

设OP x，则x的取值范围是( )

A．O≤x≤2 B

．x≤2 C．－1≤x≤1 D．x＞2

（22）如图20，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB， P

切点分别为A，B．如果 APB 60，PA 8，那么 弦AB的长是（ ） A．4

2.填空题：

B．8

C

． D

．

（图19）

图20

（23）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为4cm，两圆的圆心距O1O2为7cm，则⊙O1

与⊙O2的位置关系为。

（24）以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于

点E，则ΔADE和直角梯形EBCD周长之比为 .

3.解答题：

（25）如图21，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A

以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．

（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？

N

（26）如图22，⊙O的直径AB是4，过B点的直线MN

是⊙O的切线，D、C是⊙O上的两点，连接AD、 BD、CD和BC．

(1)求证： CBN CDB；

(2)若DC是 ADB的平分线，且 DAB 15 ， 求DC的长．

A

B

N

（图22）

（27*）（2012广东深圳9分）如图23，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．

(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．

当b=时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M： 当b=时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：

(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2). 设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

（图23）

九上数学专题（5）部分试题参考答案：

(6)解：（1）提示：FD与⊙O相切。连接OD，可以先证∠A=∠ADO，

然后证∠AEO＝∠FED＝∠FDE，∴∠ODF＝90°， 即可证明DF为⊙O的切线。 （2）提示：可证明Rt△ABD∽Rt△CBO

2 得：BC

。 BC(7)解：（1）过O作OE⊥BC于E，

∵AC切小圆O于A,O为圆心，∴∠CAO=900， ∵OC平分∠ACB，且OE⊥BC，∴OE=OA=r, ∴BC切小圆O于E.

（2）连接OD，∵AC、BC分别切小圆O于E，∴CA=CE.

∵OD=OB=R，OA=OE=r,且∠CAB=∠OEB=900，∴Rt△AOD≌Rt△EBO，

∴AD=BE， ∴AC＋AD=CE＋BE=BC，即 AC＋AD=BC. （3）∵AC2=BC2－AB2=102－82=36，∴CE=AC=6， ∴圆环面积= (R2 r2) BE2 (BC CE)2 10 6 16 .

(19)证明：（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O

∴DF⊥DE，又∵AC∥DE，∴DF⊥AC，∴DF垂直平分AC

（2）由（1）知：AG=GC，又∵AD∥BC，∴∠DAG=∠FCG，又∵∠AGD=∠CGF

∴△AGD≌△CGF（ASA），∴AD=FC，∵AD∥BC且AC∥DE ∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴FC=CE。

（3）连结AO，∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得：

DG（cm）

2

设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3在Rt△AOG中，由勾股定理得：

OA2 OG2 AG2，∴r2 r 3 42，解得：r

2

2525

，∴⊙O的半径为cm. 66

(20)解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知），∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角）

∵∠ABC＝60º（已知），∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º

∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）

即⊙O的直径为4cm．

（2）如图18-1，CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．

∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径），∴∠OCD＝90º（垂直的定义）

∵∠BAC＝ 30º（已求） ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º

（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）

∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm），∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切． （3）根据题意得：

BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如图18-2，当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ∴BE︰BA＝BF︰BC，即：（4－2t）︰4＝t︰2，解得：t＝1

如图18-3，当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ∴BE︰BC＝BF︰BA，即：（4－2t）︰2＝t︰4

解得：t＝1.6，∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．

(25)解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；

当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11． （2）两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；

11

； 3

③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11； ④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13． ②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝

11

秒、11秒、13秒两圆相切． 3

(26)解：证明（1）：连接AC，∵AB为⊙O的直径，MN切⊙O于B， ∴∠ABN=∠ACB=900，

∴∠ABC＋∠CBN=∠BAC＋∠ABC=900，

∴∠CBN=∠BAC，又∵∠BAC=∠CDB，∴∠CBN=∠CDB. 解（2）：过C作直径CE，连接DE，∴∠CDE=900，且CE与AB互相垂直平分， ∴∠BEC=∠BCE=450，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=900， 又∵CD平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC=450，

所以，点A出发后3秒、

∵∠CDB=∠BDC=150，∴∠ECD=450－150=300，∴DE=

11

CE=AB=2， 22

由勾股定理得：

.

（27）.解：（1）10

；10

（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。 如图，当直线经过A（2，0）时，b=4；

当直线经过D（2，2）时，b=6； 当直线经过B（6，0）时，b=12； 当直线经过C（6，2）时，b=14。

①当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。

②当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1）， 在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b， 则E（2，－4＋b），令y=0，即－2x＋b=0，

11

221

∴AF=b 2，AE=－4＋b。

2

解得x=b，则F（b，0）。

11 11

∴S= AF AE b 2 －4＋b b2－2b+4。

22 24

③当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2）， 在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=b，则G（b，0）， 令y=2，即－2x＋b=2，解得x=b 1，则H（b 1，2）。 ∴DH=b 3，AG=b 2。AD=2 ∴S= DH+AG AD

1

212

1212

1212

121

b 5 2 b 5。 2

④当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S， 则五边形DMNBA的面积

S=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图3） 在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2， 解得x=b 1，则M（b 1，0），

令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。 ∴MC=7 b，NC=14－b。 ∴S=4 2

1212

12

11 1 1

MC NC 8 7 b 14－b b2+7b 41。 22 2 4

⑤当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。 综上所述。S与b的函数关系式为：

0 0 b 4

1b2－2b+4 4<b 6 4

S b 5 6<b 1 。

1

b2+7b 41 12<b 14 4

8 b>14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/he34.html