2014-2015学年福建省龙岩市长汀县九年级（上）期末数学试卷

2014-2015学年福建省龙岩市长汀县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．（4分）（2014秋?长汀县期末）一元二次方程x+2x=0的根是（ ） Ax=0或x=﹣2 Bx=0或x=2 Cx=0 Dx=﹣2 ． ． ． ． 2．（4分）（2015?东光县校级二模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x+x+a﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ） A1 B﹣1 C1或﹣1 D ． ． ． ． 3．（4分）（2014秋?长汀县期末）某城市2011年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2013年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A300（1+x）B300（1+x）C300（1+2x）D363（1﹣x）． =363 ． 2=363 ． =363 ． 2=300 4．（4分）（2005?宁夏）如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（ ）

2

2

2

A． 5．（4分）（2014?民勤县校级模拟）二次函数y=﹣2（x﹣1）+3的图象的顶点坐标是（ ） A（1，3） B（﹣1，3） C（1，﹣3） D（﹣1，﹣3） ． ． ． ． 6．（4分）（2013?哈尔滨）把抛物线y=（x+1）向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ） Ay=（x+2）2+2 By=（x+2）2﹣Cy=x2+2 Dy=x2﹣2 ． ． 2 ． ． 7．（4分）（2013?达州）下列说法正确的是（ ） A一个游戏中． 奖的概率是2

2

B． C． D． 第1页（共46页）

，则做100次这样的游戏一定会中奖 B为了了解全． 国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C一组数据0，． 1，2，1，1的众数和中位数都是1 D若甲组数据． 的方差S甲2=0.2，乙组数据的方差S乙2=0.5，则乙组数据比甲组数据稳定 8．（4分）（2015?玉溪模拟）一元二次方程x2

﹣2x+3=0的根的情况是（ A没有实数根 B有两个相等． ． 的实数根 C有两个不相D有两个实数． 等的实数根 ． 根 9．（4分）（2014秋?长汀县期末）下列命题中，正确的是（ ） A平分弦的直． 线必垂直于这条弦 B垂直平分弦． 的直线必平分这条弦所对的弧 C平分弦的直． 径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 D垂直于弦的． 直线必过圆第2页（共46页）

）

心 10．（4分）（2014?襄阳区校级模拟）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：

①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0． 其中所有正确结论的序号是（ ）

2

A③④ B②③ C①④ D①②③ ． ． ． ．

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11．（3分）（2008?南京）口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 ． 12．（3分）（2014秋?长汀县期末）已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA=6，则PB= ． 13．（3分）（2014秋?长汀县期末）如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB长为 cm．

14．（3分）（2014秋?长汀县期末）扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm，则扇形的半径为 cm． 15．（3分）（2014秋?长汀县期末）如图，∠A是⊙O的圆周角且∠A=40°，则∠BOC的度数是 ．

2

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16．（3分）（2014秋?长汀县期末）如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角的度数是 ．

17．（3分）（2011?长春）边长为2的两种正方形卡片如图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．

三、解答题（本大题共8小题，共89分） 18．（10分）（2014秋?长汀县期末）用适当的方法解下列方程 （1）x﹣4x=0；

2

（2）x﹣5x+1=0．

19．（8分）（2004?江西）已知关于x的方程x﹣2（m+1）x+m=0， （1）当m取什么值时，原方程没有实数根； （2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和． 20．（10分）（2014秋?长汀县期末）在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．小明和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由． 21．（10分）（2014秋?长汀县期末）在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．

①试作出△ABC以B为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△BA1C1； ②若点A的坐标为（﹣3，4），试建立合适的直角坐标系，并写出B，C两点的坐标．

2

2

2

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22．（12分）（2014秋?长汀县期末）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB=60°，解答下列各题： （1）求线段AB的长及⊙C的半径； （2）求B点坐标及圆心C的坐标．

23．（12分）（2014秋?长汀县期末）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润 元． （2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？ 24．（13分）（2012?珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上． （1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

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25．（14分）（2013?重庆） 如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B的坐标．

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

2

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2014-2015学年福建省龙岩市长汀县九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

2

1．（4分）（2014秋?长汀县期末）一元二次方程x+2x=0的根是（ ） Ax=0或x=﹣2 Bx=0或x=2 Cx=0 Dx=﹣2 ． ． ． ． 考点： 解一元二次方程-因式分解法． 分析： 首先提取公因式x可得x（x+2）=0，然后解一元一次方程x=0或x+2=0，据此选择正确选项． 解答： 解：点评： ∵x+2x=0， ∴x（x+2）=0， ∴x=0或x+2=0， ∴x1=0或x2=﹣2， 故选A． 本题考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题要掌握因式分解法解方程的步骤，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为第7页（共46页）

2

两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，此题难度不大． 2．（4分）（2015?东光县校级二模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x+x+a﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ） A1 B﹣1 C1或﹣1 D ． ． ． ． 考点： 一元二次方程的解． 分析： 根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解． 解答： 解：根据题意2得：a﹣1=0且a﹣1≠0， 解得：a=﹣1． 故选B． 点评： 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0． 3．（4分）（2014秋?长汀县期末）某城市2011年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2013年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）

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A300（1+x）B300（1+x）C300（1+2x）D363（1﹣x）． =363 ． 2=363 ． =363 ． 2=300 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 增长率问题． 分析： 本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程． 解答： 解：设绿化面积平均每年的增长率为x， 根据题意即可列出方程300（1+x）2=363． 故选B． 点评： 本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 4．（4分）（2005?宁夏）如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（

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）

ABCD． ． ． ． 考点： 生活中的旋转现象． 专题： 操作型． 分析： 根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案． 解答： 解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等， 分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是C． 故选：C． 点评： 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 5．（4分）（2014?民勤县校级模拟）二次函数y=﹣2（x﹣1）2

+3的图象的顶点坐标是（第10页（共46页）

）

A（1，3） ． 考点： 分析： B（﹣1，3） ． C（1，﹣3） ． D（﹣1，﹣3） ． 解答： 二次函数的性质． 根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可． 解：二次函数y=﹣2（x﹣1）2点评： +3的图象的顶点坐标为（1，3）． 故选A． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 2

6．（4分）（2013?哈尔滨）把抛物线y=（x+1）向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ） Ay=（x+2）2+2 By=（x+2）2﹣Cy=x2+2 Dy=x2﹣2 ． ． 2 ． ． 考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出第11页（共46页）

解答： 点评： 即可． 解：抛物线y=2（x+1）的顶点坐标为（﹣1，0）， ∵向下平移2个单位， ∴纵坐标变为﹣2， ∵向右平移1个单位， ∴横坐标变为﹣1+1=0， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2）， ∴所得到的抛物线是2y=x﹣2． 故选D． 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解． 7．（4分）（2013?达州）下列说法正确的是（ ） A一个游戏中． 奖的概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 B为了了解全． 国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 第12页（共46页）

C一组数据0，． 1，2，1，1的众数和中位数都是1 D若甲组数据． 的方差S甲2=0.2，乙组数据的方差S乙2=0.5，则乙组数据比甲组数据稳定 考点： 概率的意义；全面调查与抽样调查；中位数；众数；方差． 分析： 根据概率、方差、众数、中位数的定义对各选项进行判断即可． 解答： A、一个游戏中奖的概率是，则做100次这样的游戏有可能中奖一次，该说法错误，故本选项错误； B、为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用抽样调查的方式，该说法错误，故本选项错误； C、这组数据的众数是1，中位数是1，故本选项正确；

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D、方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，则甲组数据比乙组稳定，故本选项错误； 故选C． 点评： 本题考查了概率、方差、众数、中位数等知识，属于基础题，掌握各知识点是解题的关键． 8．（4分）（2015?玉溪模拟）一元二次方程x2

﹣2x+3=0的根的情况是（ A没有实数根 B有两个相等． ． 的实数根 C有两个不相D有两个实数． 等的实数根 ． 根 考点： 根的判别式． 专题： 计算题． 分析： 根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况． 解答： 解：∵一元二次方程x2﹣2x+3=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=3， ∴△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8＜0， ∴原方程无第14页（共46页）

）

实数根． 故选A． 点评： 本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的情况决定一元二次方程根的情况． 9．（4分）（2014秋?长汀县期末）下列命题中，正确的是（ A平分弦的直． 线必垂直于这条弦 B垂直平分弦． 的直线必平分这条弦所对的弧 C平分弦的直． 径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 D垂直于弦的． 直线必过圆心 考点： 命题与定理． 分析： 根据垂径定理及其推论对各选项分别进行判断． 解答： 解：A、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以A选项错误； B、垂直平分弦的直线必平分这条弦第15页（共46页）

）

根据勾股定理得：AC===4cm， ∴AB=2AC=8cm． 故答案为：8． 点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2

14．（3分）（2014秋?长汀县期末）扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm，则扇形的半径为 24 cm． 考点： 扇形面积的计算；弧长的计算． 分析： 根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形=lr，把对应的数值代入即可求得半径r的长． 解答： 解：∵S扇形=lr 第21页（共46页）

∴120π=?10π?r ∴r=24； 故答案为24． 本题考查了扇形面积和弧长公式之间的关系，解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形=lr． 15．（3分）（2014秋?长汀县期末）如图，∠A是⊙O的圆周角且∠A=40°，则∠BOC的度数是 80° ．

点评：

考点： 分析： 圆周角定理． 解答： 根据圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可推出∠BOC=2∠A=80°． 解：∵O点为⊙O的圆心， ∴∠BOC=2∠A， ∵∠A=40°， 第22页（共46页）

∴∠BOC=80°． 故答案为80°． 本题主要考查圆周角定理，关键在于结合图形和圆周角定理推出∠BOC=2∠A． 点评： 16．（3分）（2014秋?长汀县期末）如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角的度数是 125° ．

考点： 分析： 旋转的性质． 先利用互余计算出∠BAC=90°﹣∠B=55°，再根据旋转的性质得到∠BAB1等于旋转角，根据平角的定义得到∠BAB1=125°，所以旋转角的度数为125°． 解：∵∠B=35°，∠C=90°， ∴∠BAC=90第23页（共46页）

解答：

°﹣∠B=55°， ∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上， ∴∠BAB1等于旋转角，且∠BAB1=180°﹣55°=125°， ∴旋转角的度数为125°． 故答案为125°． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 点评： 17．（3分）（2011?长春）边长为2的两种正方形卡片如图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为 44﹣π （结果保留π）．

考点： 专题： 分析： 扇形面积的计算． 压轴题；规律型． 首先求得A，B两种卡片阴第24页（共46页）

解答： 影部分的面积，然后确定21张卡片中A，B各自的张数，即可求解． 解：A种的面积是：4﹣π×2=4﹣π； B种的面积是：π×2=π． 两种卡片21张，则有A种11张，B中10张，因而面积的和是：11（4﹣π）+10π=44﹣π． 故答案是：44﹣π． 本题主要考查了扇形面积的计算，正确确定21张卡片中A，B各自的张数是解题的关键． 22点评： 三、解答题（本大题共8小题，共89分） 18．（10分）（2014秋?长汀县期末）用适当的方法解下列方程

2

（1）x﹣4x=0；

2

（2）x﹣5x+1=0． 考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法． 分析： （1）先分解因式，即可得出两个一元第25页（共46页）

解答： 一次方程，求出方程的解即可； 2（2）求出b﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 解：（1）分解因式得：x（x﹣4）=0， x=0，x﹣4=0， x1=0，x2=4； （2）x﹣5x+1=0， a=1，b=﹣5，c=1， 2△=b﹣4ac=25﹣4=21＞0， x=x1=x2=， ，． 2点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中． 2

2

19．（8分）（2004?江西）已知关于x的方程x﹣2（m+1）x+m=0， （1）当m取什么值时，原方程没有实数根； （2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和． 考点： 根的判别式；根与系数的第26页（共46页）

关系． 专题： 计算题；压轴题；判别式法． 分析： （1）要使原方程没有实数根，只需△＜0即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围； （2）根据（1）中求得的范围，在范围之外确定一个m的值，再根据根与系数的关系求得两根的平方和． 解答： 解：（1）∵方程没有实数根 ∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4＜0， ∴， ∴当时，原方程没有实数根； （2）由（1）可知，时，方程有实数根， ∴当m=1时，原方程变为

第27页（共46页）

点评： x﹣4x+1=0， 设此时方程的两根分别为x1，x2， 则x1+x2=4，x1?x2=1， 22∴x1+x2=2（x1+x2）﹣2x1x2=16﹣2=14， ∴当m=1时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14． 此题要求学生能够用根的判别式求解字母的取值范围，熟练运用根与系数的关系求关于两个根的一些代数式的值． 2 20．（10分）（2014秋?长汀县期末）在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．小明和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由． 考点： 游戏公平性；列表法与树状图法． 分析： 游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化第28页（共46页）

解答： 为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 解：如表所示： 第2次 第1次 红 红 白 由上述树状图或表格知： P（小明赢）=，P（小亮赢）=． ∴此游戏对双方不公平，小明赢的可能性大． 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 点评： 21．（10分）（2014秋?长汀县期末）在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．

①试作出△ABC以B为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△BA1C1； ②若点A的坐标为（﹣3，4），试建立合适的直角坐标系，并写出B，C两点的坐标．

第29页（共46页）

考点： 分析： 作图-旋转变换． ①根据图形旋转的性质画出△BA1C1即可； ②由点A的坐标为（﹣3，4），试建立合适的直角坐标系，根据点B、C在坐标系中的位置写出各点坐标即可． 解：①如图所示； ②由图可知，B（0，﹣2），C（﹣3，﹣2）． 解答： 第30页（共46页）

点评： 本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 22．（12分）（2014秋?长汀县期末）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB=60°，解答下列各题： （1）求线段AB的长及⊙C的半径； （2）求B点坐标及圆心C的坐标．

考点： 垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理． （1）连接AB；由圆周角定理可知，AB必为⊙C的直径；Rt△ABO中，易知OA的分析： 第31页（共46页）

长，而∠OAB=∠ODB=60°，通过解直角三角形，即可求得斜边AB的长，也就求得了⊙C的半径； （2）在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的长，进而可得到B点的坐标；过C分别作弦OA、OB的垂线，设垂足为E、F；根据垂径定理即可求出OE、OF的长，也就得到了圆心C的坐标． 解答： 解：（1）连接AB；∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60° ∴∠OAB=60°， ∵∠AOB是直角， ∴AB是⊙C的直径，∠OBA=30°； ∴AB=2OA=4，∴⊙C的半径r=2；（5分） （2）在Rt△OAB中，

第32页（共46页）

由勾股定理得：OB+OA=A2B， ∴OB=，∴B的坐标为：（，0）（8分） 过C点作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F， 由垂径定理得：OE=AE=1，OF=BF=， ∴CE=，CF=1， ∴C的坐标为（，1）．（12分） 22点评： 此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、点的坐标意义、勾股定理等知识的综合应用能力，综合性较强，难度适中． 23．（12分）（2014秋?长汀县期末）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润 2000 元． （2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

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②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？ 考点： 二次函数的应用． 分析： （1）原来一天可获利润=（原售价﹣原进价）×一天的销售量； （2）①根据等量关系：降价后的单件利润×销售量=总利润，列方程解答； ②根据“总利润=降价后的单件利润×销售量”列出函数表达式，并运用二次函数性质解答． 解答： 解：（1）（100﹣80）×100=2000（元）； 故答案为：2000． （2）①依题意得： （100﹣80﹣x）（100+10x）=2160 即x2﹣10x+16=0 解得：x1=2，x2=8 经检验：x1=2，x2=8都是方程的解，且符合题意． 答：商店经营该商品一天要获利润

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2160元，则每件商品应降价2元或8元． ②依题意得：y=（100﹣80﹣x）（100+10x）， ∴y=﹣10x+100x+2000=﹣10（x﹣5）+2250， ∵﹣10≤0， ∴当x=5时，商店所获利润最大． 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解答第②小题的关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用． 22点评： 24．（13分）（2012?珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上． （1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

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考点： 切线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）PO与BC的位置关系是平行； （2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可

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得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠CPO=∠PCB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行； （3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出第37页（共46页）

三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一第38页（共46页）

半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证． 解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC； （2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为： 由折叠可知：△APO≌△CPO， ∴∠APO=∠CPO， 又∵OA=OP， ∴∠A=∠APO， ∴∠A=∠CPO， 又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角， ∴∠A=∠PCB， ∴∠CPO=∠PCB， ∴PO∥BC； （3）∵CD为圆O的切线， ∴OC⊥CD，又AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠APO=∠COP， 由折叠可得：∠AOP=∠C第39页（共46页）

解答：

OP， ∴∠APO=∠AOP， 又OA=OP，∴∠A=∠APO， ∴∠A=∠APO=∠AOP， ∴△APO为等边三角形， ∴∠AOP=60°， 又∵OP∥BC， ∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB， ∴△BCO为等边三角形， ∴∠COB=60°， ∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC， ∴△POC也为等边三角形， ∴∠PCO=60°，PC=OP=OC， 又∵∠OCD=90°， ∴∠PCD=30°， 在Rt△PCD中，PD=PC， 又∵PC=OP=AB， 第40页（共46页）

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