必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算..

立体几何专题：空间角和距离的计算

一 线线角 1．直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=900，点D1，F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值。

B1D1A1F1C1BAC

2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=900，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥面ABCD，PD与底面成300角，（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）若AE⊥PD，求异面直线AE与CD所成角的大小；

PEBACD

二．线面角

1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1、CD的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D1F和AB和所成的角；（2）求D1F与平面AED所成的角。

D1C1B1ECA1DAFB

2．在三棱柱A1B1C1-ABC中，四边形AA1B1B是菱形，四边形BCC1B1是矩形，C1B1⊥AB，

AB=4，C1B1=3，∠ABB1=600，求AC1与平面BCC1B1所成角

B1的大小。 C1 A1 CBA

1

三．二面角

1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点，（1）证明AB1∥平面DBC1；（2）设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的大小。

B1C1A1BDAC

2．ABCD是直角梯形，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD与面SBA所成的二面角的大小；（2）求SC与面ABCD所成的角。

SABDC

3．已知A1B1C1-ABC是三棱柱，底面是正三角形，∠A1AC=600，∠A1AB=450，求二面角B—AA1—C的大小。

B1A1C1BAC

四 空间距离计算

（点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是BC的中点，DP交AC于M，B1P交BC1于N，（1）求证：MN上异面直线AC和BC1的公垂线；（2）求异面直线AC和BC1间的距离；

D1 C1

A1 B1 NDC

MAPB

2

（点到线，点到面的距离）2．点P为矩形 ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，Q为线段AP的中点，AB=3，CB=4，PA=2，求（1）点Q到直线BD的距离；（2）点P到平面BDQ的距离；

3．边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=600，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离。

（线到面、面到面的距离）4. 已知斜三棱柱A1B1C1-ABC的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C，（1）求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求侧棱B1B和侧面A1ACC1距离；

B1A1C1BAC

5．正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且平面ABCD、ABFE互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=NB=a（0?a?为何值时，MN的长最小；

2），（1）求MN的长；（2）当a

立体几何中的向量问题空间角与距离

基础自测

3

1.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为 . 答案 45°或135°

2.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为 . 答案 60°

3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、 F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 . 答案

15 54.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为 . 答案

2a 25.（2008·福建理，6）如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 . 答案

10 5

例1 （2008·海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA=60°.

(1)求DP与CC′所成角的大小;

(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz. 则DA=（1，0，0），CC?=(0,0,1). 连接BD,B′D′. 在平面BB′D′D中, 延长DP交B′D′于H.

设DH=(m,m,1) (m＞0),由已知〈DH,DA〉=60°, 由DA·DH=|DA||DH|cos〈DH, DA〉, 可得2m=2m2?1. 解得m=

222,所以DH=（,,1）. 22222?0??0?1?1222(1)因为cos〈DH,CC?〉==, 21?2所以〈DH,CC?〉=45°,

4

即DP与CC′所成的角为45°.

(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC=(0,1,0). 22?0??1?1?0122因为cos〈DH,DC〉==, 21?2所以〈DH,DC〉=60°,

可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.

例2 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离. 解 取AC的中点O，连接OS、OB. ∵SA=SC，AB=BC， ∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC， 平面SAC∩平面ABC=AC， ∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz，

则B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22）， M（1，3，0），N（0，3，2）.

∴CM=（3，3，0），MN=（-1，0，2），MB=（-1，3，0）. 设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，

?CM?n?3x?3y?0?则?，取z=1， ??MN?n?-x?2z?0则x=2,y=-6,∴n=（2，-6，1）.

n?MB∴点B到平面CMN的距离d=n?42. 3例3 （16分）如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF； （3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°. （1）解 当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行. ∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC. 又EF?平面PAC，而PC?平面PAC， ∴EF∥平面PAC.

4分

（2）证明 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

5

则P（0，0，1），B（0，1，0）， F（0，

11，），D（3，0，0）. 22设BE=x，则E（x，1，0）， PE·AF=（x，1，-1）·（0，

11，）=0， 22∴PE⊥AF. 10分

（3）解 设平面PDE的法向量为m=(p,q,1), 由（2）知PD=（3，0，-1），PE=（x，1，-1）

??1x??m?PD?0,1?,1?由?，得m=??3?. 3???m?PE?0? 12分

而AP=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°,

m?AP2∴sin45°==，

2mAP∴

11?x???1??1?3?3???2=

12, 14分

得BE=x=3-2或BE=x=3+2＞3（舍去）. 故BE=3-2时，PA与平面PDE所成角为45°.

16分

1.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6， OE∥AD.

（1）求二面角B-AD-F的大小；

（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值. 解 （1）∵AD与两圆所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF，

故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角. 依题意可知，ABFC是正方形， ∴∠BAF=45°.

即二面角B—AD—F的大小为45°;

（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示）， 则O（0，0，0），

A（0，-32，0），B（32，0，0），D（0，-32，8）， E（0，0，8），F（0，32，0），

∴BD=（-32，-32，8），EF=（0，32，-8）.

6

cos〈BD,EF〉=BD?EFBDEF =0?18?64100?82=-

82. 10设异面直线BD与EF所成角为?，则 cos?=|cos〈BD,EF〉|=

82. 1082. 10即直线BD与EF所成的角的余弦值为

2.已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点. （1）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1； （2）求点D1到平面B1EF的距离.

（1）证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0）， B（22，22，0），E（22，2，0）， F（2，22，0），D1（0，0，4）， B1（22，22，4）.

EF=（-2，2，0），DB=（22，22，0），DD1=（0，0，4），

∴EF·BD=0，EF·DD1=0. ∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD=D， ∴EF⊥平面BDD1B1.

又EF?平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. （2）解 由（1）知D1B1=（22，22，0）， EF=（-2，2，0），B1E=（0，-2，-4）.

设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z) 则n⊥EF,n⊥B1E

即n·EF=（x，y，z）·（-2，2，0）=-2x+2y=0， n·B1E=（x，y，z）·（0，-2，-4）=-2y-4z=0， 令x=1,则y=1,z=-

22,∴n=(1,1,- ) 44∴D1到平面B1EF的距离 d=D1B1?nn22?22=?2??12?12????4???2=

1617. 173.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3， BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

7

解 方法一 （1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、 E(0，

1，1)， 2从而AC=（3，1，0），PB=（3，0，-2）. 设AC与PB的夹角为?， 则cos?=AC?PBAC?PB=

327=

37， 1437. 141，1-z），由NE⊥平面PAC可2∴AC与PB所成角的余弦值为

（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z）,则NE=（-x，得

??1??x,,1?z??(0,0,2)?0???2????NE?AP?0，即?, ?1????NE?AC?0???x,,1?z??(3,1,0)?0?2?????z?1?03??x?化简得?,∴?16

?3x??0??z?12??即N点的坐标为（

33，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，. 66方法二 （1）设AC∩BD=O， 连接OE，AE，BD， 则OE∥PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角. 在△AOE中，AO=1，OE=∴由余弦定理得

75?44?37, cos∠EOA=

1472??121?1175PB=，AE=PD=， 2222即AC与PB所成角的余弦值为

37. 14(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=

AD23=,

cos?ADF3?.连接PF,则在Rt△ADF中, 6DF=

8

AF=AD·tan∠ADF=

3. 3设N为PF的中点，连接NE，则NE∥DF. ∵DF⊥AC，DF⊥PA，

∴DF⊥平面PAC，从而NE⊥平面PAC. ∴N点到AB的距离为

1AP=1， 2N点到AP的距离为

13AF=. 26

一、填空题

1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin〈DB1,CM〉的值等于 . 答案

210 152.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为 . 答案

2 43.（2008·全国Ⅰ理，11）已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 . 答案

2 34.P是二面角?—AB—?棱上的一点，分别在?、?平面上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角?—AB—?的大小为 . 答案 90°

5.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为 . 答案

35 106.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°， 点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 . 答案 60°

7.如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与 平面B1DC所成角的正弦值为 . 答案

4 58.正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 . 答案 30° 二、解答题

9.如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，

9

BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点. 求AB与平面BDF所成角的正弦值.

解 以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）. ∴BD=（0，2，1），DF=（1，-2，0）. 设平面BDF的一个法向量为 n=（2，a，b）， ∵n⊥DF，n⊥BD，

??n?DF?0∴? ??n?BD?0?(2,a,b)?(1,?2,0)?0即? ?(2,a,b)?(0,2,1)?0解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.

设AB与平面BDF所成的角为?，则法向量n与BA的夹角为

?-?， 2∴cos（

?BA?n?2,0,0???2,1,?2?2-?）===, 22?33BAn22,故AB与平面BDF所成角的正弦值为. 33即sin?=

10.在五棱锥P—ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=22a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC= ∠DEA=90°.

（1）求证：PA⊥平面ABCDE； （2）求二面角A—PD—E的余弦值.

（1）证明 以A点为坐标原点，以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，则由已知得 A（0，0，0），P（0，0，2a）， B（2a，0，0），C（2a，a，0）， D（a，2a，0），E（0，2a，0）.

∴AP=（0，0，2a），AB=（2a，0，0），AE=（0，2a，0）， ∴AP·AB=0·2a+0·0+2a·0=0， ∴AP⊥AB.同理AP⊥AE. 又∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE.

（2）解 设平面PAD的法向量为m=(1,y,z), 则m·AD=0，得a+2ay=0，∴y=-又m·AP=0，得2az=0，∴z=0. ∴m=（1，-1，0）. 21. 2再设平面PDE的法向量为n=(x,1,z), 而ED=（a，0，0），PD=（a，2a，-2a）， 则n·ED=0，得ax=0，∴x=0. 又n·PD=0，得ax+2a-2az=0，∴z=1.

10

∴n=（0，1，1）.

令二面角A—PD—E的平面角为?，

则cos?=-

m?n=m?n125?24=

10， 10故二面角A—PD—E的余弦值是

10. 1011.如图所示，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点， OP⊥底面ABC.

（1）若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小； （2）当k取何值时，二面角O—PC—B的大小为?3？ 解 ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC， 从而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O—xyz. （1）设AB=a，则PA=a，PO=22a， A（22a，0，0），B（0，22a，0）， C（-

22a，0，0），P（0，0，22a）， 则D（-24a，0，24a）. ∵PA=(

22a，0，-22a )，BD=(-2224a，-2a，4a)，

1∴cos〈PA,BD〉=PA?BD?4a2?12=4a=-3, PABD3232a则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为33. （2）设AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC， ∴OB=(0，

22a，0)为平面POC的一个法向量. 不妨设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z）， ∵A(

2222a，0，0)，B(0，2a，0)，C(-2a，0，0)，P(0，0，h)， ∴BC=(-

22a,- 22a,0),PC=(- 22a,0,-h), ??x?y由??n?BC?0???0???n?PC?0???22ax?hz?0 11

不妨令x=1，则y=-1，z=-

2a， 2h?OB?n2a即n=(1,-1,- ),则cos=

32hOBn2a22a2a?2?22h2==

11a2=4?h=a, ?2+

222h2∴PA=AO2?PO2=而AB=kPA,∴k=故当k=

311a, a?a2=22423. 3?23时,二面角O—PC—B的大小为.

3312.(2008·湛江模拟)如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4， E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C. （1）求CE的长；

（2）求证：A1C⊥平面BED；

（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.

（1）解 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0）， C（0，2，0），A1（2，0，4），

B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

设E点坐标为（0，2，t），则BE=（-2，0，t），B1C=（-2，0，-4）. ∵BE⊥B1C，

∴BE·B1C=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.

（2）证明 由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1）， 又A1C=（-2，2，-4），DB=（2，2，0）， ∴A1C·BE=4+0-4=0， 且A1C·DB=-4+4+0=0.

∴A1C⊥DB且A1C⊥BE，即A1C⊥DB，A1C⊥BE， 又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE. 即A1C⊥平面BED.

（3）解 由（2）知A1C=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又A1B=（0，2，-4）,

12

∴cos〈A1C,A1B〉=A1C?A1BA1CA1B=

30. 630. 6

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为

13

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