证明线段的和与差一份

证明线段的和与差（一题多解）

例1.已知在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线,求征: BC=AC+AD

证法1:

∵∠A=2∠B ∴∠A>∠B ∴BC>AC 在BC上截取CE=CA,连结DE

有△ACD和△ECD中 CA=CE, ∠1=∠2, CD=CD ∴△ACD≌△ECD ∴AD=DE，∠A=∠3 又∵∠3=∠B+∠BDE ∠A=2∠B ∴∠BDE=∠B ∴BE=DE ∴AD=BE ∴BC=BE+EC=AD+AC

证法2：

延长CA至E，使AE=DA，连结DE

∴∠E=∠EDA ∴∠BAC=∠E+∠EDA=2∠E 又∵∠E=∠B

在△CDE和△CDB中

∠1=∠2，CD=CD，∠E=∠B ∴△CDE≌△CDB∴CE=CB ∴BC=CE=EA+AC=AD+AC

证法3：

延长CA至E，使CE=BC，连DE

在△CDB和△CDE中 EC=BC ∠1=∠2 DC=DC ∴△CDB≌△CDE ∴∠B=∠E， ∠BAC=2∠B=∠DEA+∠EDA=∠B+∠EDA

∴∠B=∠EDA ∴∠E=∠EDA ∴EA=DA，∴BC=EC=EA+AC=AD+AC 证法4: 延长DA至F,使AF=AC, 连FC ∴∠ACF=∠F

∵∠BAC=∠F+∠ACF=2∠F=2∠B ∴∠B=∠F ∴BC=FC ∠ADC=∠B+∠2

∠DCF=∠1+∠ACF=∠1+∠F ∴ ∠1=∠2

∴∠ADC=∠DCF

∴DF=FC=AC，∴BC=AD+DF=AD+AC 证法5：

作AF平分∠BAC交CD，BC于E，F点，延长AF至M，使FM=FC连CM ∵∠BAF=∠FAC ∠BAC=2∠B ∴∠FAB=∠B ∴AF=BF ∵FM=FC ∴∠M=∠FGM

∵∠CFE=∠FAB+∠B ∠CFE=∠M+∠FCM

∴∠B=∠M ∴∠M=∠CAM=∠BAF=∠B ∴AC=CM ∵∠ADC=∠B+∠DCB ∠DEA=∠EAC+∠ACE

∵∠ACE=∠FCE ∴∠ADC=∠DEA ∴AD=AE 同理MC=ME

∵CF=FM ∴FA=FB ∴BC=FM+FA=AM=AE+EM=AD+MC=AD+AC

1

说明：本题主要介绍了证明线段的和差问题的常用方法：直接运用定理，利用截长补短，加倍折半方法，转化为证明线段相等的问题。

例2.等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠A=108o,BD平分∠ABC, 求证: BC=AB+DC 说明:解决本题的常用方法:

(1)首先分析条件,观察能否直接证出: (2)如不能直接证出,常用截取法和延长法

证法一：在BC上截取BE=AB,连结DE, 然后通过角度计算，∠CDE=∠DEC=72o 从而CD=CE得证。

证法二：延长BA至F，使BF=BC，连结DF ∵BD平分∠ABC，可证△BDF≌△BDC 从而∠F=36o， 通过∠FAD=∠FDA=72o 可证：FA=FD=DC得证。

例3.已知△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于D，DG∥BE交AC于F，交AB于G，求证：GF=BG-CF

证法：主要在于将BG转化为BG=GD=GF+ED（∠1=∠3） 再证明FD=FC（∠3+∠5=∠4）要利用等腰三角形的判定。

例4.△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AE是过A的一条直线且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E 求证：BD=DE+CE

证明方法：

本题主要利用△BAD≌△ACE，得BD=AE，从而将BD转化为AE=AD+DE。再得AD=CE，即可证明。

o

说明：本题主要利用三角形全等的方法直接证明线段的和的问题。 三、代表题目

1.已知△ABC中，AD⊥BE于D，∠B=2∠C，求证：CD=AB+BD 提示：①在CD上取E，使DE=DB，或者②延长DB到E，使BE=BA。

2.在△ABC中,∠A,∠B的平分线相交于点I,过I点作DE∥BC交于AB,AC交于点D,E。求证：DE=BD+CE

提示：连I作IX⊥BC于X，作IY⊥AB于Y，作IZ⊥AC于Z，连IC，证IC平分∠ACB。再证：ID=BD，IE=EC

2

3.△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2, BE⊥AE, 求证: AC-AB=2BE

提示: 延长BE交AC于F, 证FC=FB=2BE

4.如图△ABC, △ADE都是等边三角形,B,C,D在同一直线上,求证: CE=AB+CD 提示: 直接证明△ABD≌△ACE得CE=BD=BC+CD=AB+CD

5.如图,在正方形ABCD中, P,Q分别为BC,CD边上的点,∠PAQ=45o. 求证: PQ=BP+DQ

提示:

过A作AE⊥PQ于E,分别证明:

△AEQ≌△ADQ △AEP≌△ABP 从而PQ=PE+EQ=BP+QD

6.在△ABC中，AB=AC，∠A=100，BD为∠B的平分线，求证：BD+DA=BC 提示：证明方法同前面例2，可有四种证明方法。

7.△ABC是边长为1的等边三角形, △BDC是顶角∠BDC=120o的等腰三角形,以D为顶点作一个60o角,角的两边分别交AB于M交AC于N,连结MN, 求证: △AMN周长等于2 提示:在MN上取E点, 使ME=MB。再证△EDN≌△CDN, 得EN=CN

o

3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hdpa.html