2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨中学高二(平行班)上学期期中数学试题(解析版)

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第 1 页共 21 页 2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（平行班）上学期

期中数学试题

一、单选题

1．如果直线l 的倾斜角为6π，则该直线的斜率为（） A ．12 B ．3 C ．3 D ．3

【答案】B

【分析】根据直线的斜率的定义可得选项．

【详解】因为直线l 的倾斜角为6π，所以该直线的斜率为3tan 63

π=，故选：B ．

2．若边长为2的正111A B C △是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）

A ．3

B ．6

C ．23

D ．26 【答案】D

【分析】先画出该直观图，由题中条件，根据斜二测画法，求出原图形的高，以及底边长，进而可求出原图形的面积. 【详解】

因为直观图是由斜二测画法作出的，图中1145A OC ∠=，

因为111A B C △是边长为2的正三角形，11120OA C ∠=，

在11OA C 中，由正弦定理可得12sin120sin 45

OC =，解得16OC = 根据斜二测画法的特征，可得原水平放置的三角形的高为1226OC =，底边长等于112A B =，

所以原图形的面积为1262262

第 2 页共 21 页故选：D.

3．已知双曲线方程为：2

12y x -=，则下列叙述正确的是（） A ．焦点(1,0)F ±

．渐近线方程：y = C

．实轴长为【答案】B 【分析】由双曲线的定义与性质逐项判断即可得解.

【详解】因为双曲线方程为：2

12y x -=

，所以1,a b c ===

所以该双曲线的焦点(F ，故A 错误；

渐进线方程为y =，故B 正确；

离心率==c e a

，故C 错误；实轴长22a =，故D 错误.

故选：B.

4．3k >是方程22

134x y k k

+=--表示椭圆的（）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不

必要条件

【答案】B 【分析】先由22

134x y k k

+=--表示椭圆，求出k 的范围，再由充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】因为方程22

134x y k k

+=--表示椭圆，所以304034k k k k ->??->??-≠-?，解得732k <<或742k <<，因为773,,422????? ? ?????

是()3,+∞的真子集，所以3k >是方程22

134x y k k

+=--表示椭圆的必要不充分条件. 故选：B.

【点睛】结论点睛：

判定充分条件和必要条件时，一般根据充分条件和必要条件的概念直接判定；有时也需

要根据如下规则判断：

（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；

（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对应的集合与p对应集合互不包含．

5．若变量x，y满足约束条件

3412

x y

≥

?+≤

，则

=? ?

的最大值为( ) A．16B．8C．4D．3

【答案】A

【详解】作出不等式组

3412

x y

≥

?+≤

表示的平面区域如图中阴影部分所示．又

z＝2x·

()

y＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4,0)处u取得最大值，此时z取得最大值且z max＝24－0＝16.

6．设P是直线l外一定点，过点P且与l成60角的异面直线（）

A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．仅一条

【答案】A

【分析】过点P作直线1//

l l，由异面直线所成角的概念作与直线

l成60角的直线即可得解.

【详解】过点P作直线1//

l l，如图，

第 3 页共 21 页

第 4 页共 21 页

与直线1l 成60角的圆锥面上的母线均与l 成60角，

所以符合题意的直线有无数条.

故选：A.

7．下列命题正确的是（）

A ．若三条直线两两平行，则过直线a 的平面中，有且只有一个平面与b ，c 平行

B ．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则//αβ

C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直平面β

D ．如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和该斜线在这个平面内的射影垂直

【答案】C

【分析】通过举反例：三线共面，可判断A 错；根据面面平行的特征，可判断B 错；根据面面垂直的判定定理，可得C 正确；通过举反例：两直线相交垂直，且都是同一平面的斜线，可判断D 错.

【详解】A 选项，若这三条平行直线共面，则过直线a ，可作无数个平面与b ，c 平行；A 错；

B 选项，面面平行时，对于面内的任意一点，到另一面的距离都相等；因此，由平面α内有无数个点到平面β的距离相等，不能得出面面平行；两面可能相交；B 错；

C 选项，如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；因此，如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直平面β；C 正确；

D 选项，若两直线相交垂直，且都是同一平面的斜线，则其中一条直线必不垂直于另一直线在平面内的射影；D 错.

故选：C.

8．已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是2

第 5 页共 21 页圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是（）

A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离

【答案】B

【解析】化简圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=?=?到直线0x y +=的距离2d =?

()2

21220,2,22a a M r +=?=?= ???

，又()2121,1,12N r MN r r MN =?=?-<< 12r

r +?两圆相交. 选B

9．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC CD 的中点，H 为EF 的中点，沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，在构成的四面体O AEF -中，下列结论错误．．的是

A ．AO ⊥平面EOF

B ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为2

C ．四面体O AEF -的内切球表面积为π

D ．异面直线OH 和A

E 所成角的余弦值为

1010 【答案】C

【分析】由,OA OE OA OF ⊥⊥可判断A ；连接,OH AH ，则OHA ∠为AH 与平面EOF 所成的角，求出正切值可判断B ；设四面体O AEF -内切球半径为r ，表面积为S 表，体积为V ，利用13

V S r =?表求出半径可判断C ；取AF 的中点P ，可得OHP ∠为异面直线OH 和AE 所成角，求出余弦值可判断D .

第 6 页共 21 页【详解】

翻折前，,AB BE AD DF ⊥⊥，故翻折后，,OA OE OA OF ⊥⊥,

又,OE OF O OA =∴⊥平面EOF ，故A 正确.

连接,OH AH ，则OHA ∠为AH 与平面EOF 所成的角，

1OE OF ==，H 是EF 的中点，OE OF ⊥，

1222

OH EF ∴==，又2OA =,tan 22OA OHA OH ∴∠==B 正确. 设四面体O AEF -内切球半径为r ，表面积为S 表，体积为V ，则13V S r =?表，又因为11111123323

OEF V S OA =?=????=， 1113221211242222

S =???+??+=表，所以

411334

r r =?=，内切球的表面积为244r ππ=，C 错，

取AF 的中点P ，连接,OP HP ，则//PH AE ， OHP ∴∠为异面直线OH 和AE 所成角，

1,2OE OF OA ===，

151512222OP AF PH AE OH EF ∴====== 51510424cos 10522OHP +-∴∠==??，故D 正确，故选C. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面垂直、线面角、异面直线所成的角以及多面体的内切球，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同

第 7 页共 21 页学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

10．已知点P 是正四面体V ABC -侧面VBC 上一点，且点P 到底面ABC 的距离与它到顶点V 的距离相等，则动点P 的轨迹（）

A ．线段

B ．圆的一部分

C ．椭圆的一部分

D ．双曲线的一部

分

【答案】C

【分析】过P 作PD ⊥平面ABC 于D ，过D 作DH BC ⊥于H ，连接PH ，设二面角V BC A --为α，由二面角的定义可得点P 到点V 的距离与定直线BC 的距离之比为一个常数，结合椭圆第二定义即可得解.

【详解】过P 作PD ⊥平面ABC 于D ，过D 作DH BC ⊥于H ，连接PH ，如图，

可得BC ⊥平面DPH ，所以BC PH ⊥，

故PHD ∠为二面角V BC A --的平面角，令其为α，

则在Rt PDH 中，:sin PD PH α=，

又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即PV PD =， ∴:sin 1PV PH α=<，

所以在平面VBC 中，点P 到点V 的距离与到直线BC 的距离之比为sin 1α<，故由椭圆定义知P 点轨迹为椭圆在平面VBC 内的一部分．

故选：C ．

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用空间位置关系求得:sin 1PV PH α=<，

第 8 页共 21 页再由椭圆的第二定义即可得解.

二、双空题

11．原命题：若220,,,x y x y R +=∈则0,0x y ==，则原命题的逆否命题为：________________；并判断该命题的真假为________.

【答案】若0x ≠或0y ≠，,x y R ∈，则22

0x y +≠ 真命题

【分析】由逆否命题的概念可得原命题的逆否命题，进而可判断真假.

【详解】由题意，原命题的逆否命题为“若0x ≠或0y ≠，,x y R ∈，则220x y +≠”，该命题为真命题.

故答案为：若0x ≠或0y ≠，,x y R ∈，则220x y +≠；真命题.

12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的侧面积为__________；体积为___________

【答案】1616

2+ 643

【分析】根据几何体的三视图，得该几何体为一直四棱锥，画出直观图，根据题中条件，即可求出侧面积，以及四棱锥的体积.

【详解】根据几何体的三视图，得该几何体为一直四棱锥S ABCD -，其直观图如图所示；

第 9 页共 21 页正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，

∴四棱锥的底面是正方形，且边长为4，其中一条侧棱SA ⊥底面ABCD 且棱长4SA =，因此各侧面都是直角三角形，

所以该几何体的体积为21644433V =

??=.

又SD SB === 所以该四棱锥的侧面积为11112222

SAB SAD

SCD SBC S S S

S S SA AB SA

AD SD CD SB BC =+++=

?+?+?+? 111

1444444162222

=??+??+?+?=+故答案为：16+643. 13．直线1:l 310ax y ++=与2:l ()2110x a y +++=，若12//l l ，则实数a =__________；若12l l ⊥，则实数a =_______

【答案】3- 35

【分析】根据12//l l 列出方程求出a ，再验证，即可得出结果；根据12l l ⊥的判定条件，列出方程求解，即可得出结果.

【详解】因为1:l 310ax y ++=与2:l ()2110x a y +++=

若12//l l ，则()1320a a +-?=，即260+-=a a ，解得3a =-或2a =，当3a =-时，1:l 3310x y -++=与2210x y -+=显然平行，满足题意；当2a =时，1:l 2310x y ++=与2:l 2310x y ++=重合，不满足题意，舍去，所以3a =-；

若12l l ⊥，则()2310a a ?+?+=，解得35a =-

. 故答案为：3-；35

. 14．已知直线:l 10mx y m -+-=，则此直线必过定点_________；设直线l 与圆22:(1)5C x y +-=交于,A B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为____________

【答案】(1,1) ()2211124x y ??-+-= ??

? 【分析】由直线方程，令1x =，即可求出定点坐标；判定点(1,1)在圆22:(1)5

C x y +-=

第 10 页共 21 页的内部，由题中条件，得到CM AB ⊥；记(1,1)N ，设弦中点M 的坐标为(),x y ，分别讨论点M 坐标不为()1,1和点M 坐标为()1,1两种情况，即可得出结果.

【详解】由10mx y m -+-=得()110m x y --+=，令1x =，则1y =，所以直线l 必过定点(1,1)；

又221(11)5+-<，所以点(1,1)在圆22

:(1)5C x y +-=的内部，则无论m 取何值，都能使直线l 与圆C 有两交点；

因为点M 为弦AB 的中点，根据圆的性质可得，CM AB ⊥；记(1,1)N ，当点M 坐标不为()1,1时，直线AB 斜率存在，此时1CM AB k k ?=-，设(),M x y ，因为()0,1C ，

所以1CM AB CM MN

k k k k ?=?=-，即1111y y x x --?=--，整理得()2211124x y ??-+-= ??

?（1x ≠），

若点M 坐标为()1,1时，也满足上式，所以弦AB 的中点M 的轨迹方程为()2

211124x y ??-+-= ??

?. 故答案为：(1,1)；()2211124x y ??-+-= ??

?. 【点睛】思路点睛：

求解圆中的动点轨迹方程问题时，一般需要根据圆的性质建立等量关系，化简整理即可求解；有时也需要联立直线与圆的方程，结合韦达定理，表示出所求点的坐标，再由消参的方法，即可求解.

三、填空题

15．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则截面的面积为__________.

第 11 页共 21 页

【答案】

【解析】试题分析：取AB 、C 1D 1的中点M 、N ，连结A 1M 、MC 、CN 、NA 1．由已知得四边形A 1MCN 是平行四边形，连结MN ，作A 1H ⊥MN 于H ，由题意能求出截面的面积．

解：取AB 、C 1D 1的中点M 、N ，连结A 1M 、MC 、CN 、NA 1．由于A 1N ∥PC 1∥MC 且A 1N=PC 1=MC ， ∴四边形A 1MCN 是平行四边形．

又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N∩A 1M=A 1， PC 1∩BP=P ，

∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1

因此，过A 1点作与截面PBC 1平行的截面是平行四边形．又连结MN ，作A 1H ⊥MN 于H ，由于A 1M=A 1N=，MN=2，

则AH=

． ∴=，故=2=2．故答案为．

【解析】平面的基本性质及推论．

16．设直线l :1y x =+与椭圆:C 222

21(0)x y a b a b

+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交

第 12 页共 21 页于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________

【答案】2

【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组可得12y y +、12y y ，由3AF FB =可得123y y =-，进而可得()()

2222240a a b a b +-+=，再由椭圆的焦点坐标可得a ，即可得解.

【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，

将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=，所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b

-+==++，又3AF FB =，所以123y y =-，所以2

222

22b y a b -=+，222222(1)3b a y a b --=+，所以22222222(1)3b b a a b a b ??---= ?++??，化简得()()

2222240a a b a b +-+=，又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ，

所以()1,0F -，所以2221a b c -==，

所以22a =或21a =（舍去），

所以a =

c e a =

. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化3AF FB =为123y y =-，再结合韦达定理即可得解.

17．点P 在椭圆22

1:143

x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆222:68210C x y x y ++-+=上，则PQ PF -的最小值为____________

【答案】6

第 13 页共 21 页【分析】记椭圆22

1:143x y C +=的左焦点为()1,0E -，由椭圆定义，得到24PE PF a +==，再由圆的方程，得到圆2C 的圆心为()

3,4-，半径为2r ，画出图形，结合图形，得到22466PQ PF PQ PE PC PE EC -=+-≥+-≥-，即可求出结果.

【详解】记椭圆22

1:143

x y C +=的左焦点为()1,0E -，由椭圆的定义可得，24PE PF a +==，所以4PQ PF PQ PE -=+-，由2268210x y x y ++-+=得()()22

344x y ++-=，即圆2C 的圆心为()3,4-，半径为2r

，

作出图形如下：

由圆的性质可得，222PQ PC r PC ≥-=-，

()22224663146256

PQ PF PQ PE PC PE EC -=+-≥+-≥-=

-++=（当且仅当2,,,C Q P E 四点共线时，等号成立.）

故答案为：256.

【点睛】思路点睛：求一动点到两点的距离差的最小值时，一般根据动点的轨迹方程，结合定义，将差转化为距离和的问题，结合图形，即可求出结果.

四、解答题

18．在ABC 中，已知(1,1),(3,2)A B -

第 14 页共 21 页（1）若直线l 过点(2,0),M 且点,A B 到l 的距离相等，求直线l 的方程；

（2）若直线m ：260x y --=为C ∠的平分线，求直线BC 的方程.

【答案】（1）2x =或3260x y +-=；（2）270.x y --=

【分析】（1）转化条件为直线l 过线段AB 的中点或//l AB ，结合直线方程的知识即可得解；

（2）转化条件为点A 关于直线m 的对称点(),A a b '在直线BC 上，由轴对称的性质可得(5,1)A '-，再由直线方程的知识即可得解.

【详解】（1）点,A B 到l 的距离相等，∴直线l 过线段AB 的中点或//l AB ， ①当直线l 过线段AB 的中点12,2N ??-

???时，直线l 斜率不存在，则l 的方程为2x =； ②当//l AB 时，则斜率213312l AB k k --==

=--，则l 的方程为30(2)2

y x -=--，即3260x y +-=；综上，l 的方程为2x =或3260x y +-=；

（2）直线m 为C ∠的平分线，所以点A 关于直线m 的对称点(),A a b '在直线BC 上，则有11260221211a b b a ++??--=???-??=-?-?

，解得51a b =??=-?，即(5,1)A '-， ∴直线BC 的斜率1(2)1532

BC k ---=

=-， ∴直线BC 的方程为11(5)2y x +=-，即270.x y --= 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题目条件，再结合直线的位置关系、直线方程即可得解.

19．如图，在三棱锥P ABC -中，AB PC ⊥，CA CB =，M 是AB 的中点，点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点，

求证（1）MD平面PAC；

（2）平面ABN⊥平面PMC.

【答案】(1) 证明见解析.

(2)证明见解析.

MD AN，由线面平行的判定定理可得【解析】分析：（1）根据中位线定理可得//

=，M是AB的中点所以

MD平面PAC；（2）在ABC中，CA CB

?=，所以AB⊥平面PMC，利用面面垂

⊥，又MC PC C

AB MC

⊥，因为AB PC

直的判定定理可得结果.

详解：（1）在ABN中，M是AB的中点，

D是BN的中点，

所以MD AN,

PAC MD?平面PAC，

因为AN?平面,

所以MD平面PAC，

第 15 页共 21 页

（2）在ABC中，CA CB

=，M是AB的中点

所以AB MC

⊥.

因为AB PC

⊥，

又MC PC C

所以AB⊥平面PMC

所以平面ABN⊥平面PMC

点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.

20．已知双曲线C：

1(0,0)

x y

a b

-=>>3)3,0是双曲线的一

个顶点．

（1）求双曲线的方程；

（2）经过双曲线右焦点2F作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB．

【答案】（1）

x y

-=；（2）

163

【分析】（13和顶点)3,0求出,a b，即可得出双曲线方程；

第 16 页共 21 页

第 17 页共 21 页（2）可先求出直线方程为3(3)3y x =-，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出. 【详解】（1）

由题可得33c a a ?=???=?

，解得3c =，6b =，所以双曲线的方程为22136x y -=；（2）双曲线22

136

x y -=的右焦点为()23,0F 所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3(3)3

y x =-. 联立22

1363(3)3x y y x ?-=????=-??

得256270x x +-=．

设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-

，12275x x =-．所以21627163143555AB ????=+?--?-= ? ?????

. 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.

21．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，

PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .

（1）求直线PA 与平面ABCD 所成角的大小；

（2）求证：PB ⊥平面EFD ；

（3）求二面角C-PB-D 的大小.

第 18 页共 21 页【答案】（1）45；（2）证明见解析；（3）60.

【分析】（1）由线面垂直的性质及线面角的定义可得PAD ∠即为直线P A 与平面ABCD 所成的角，即可得解；

（2）由线面垂直的性质与判定可得BC DE ⊥，进而可得DE ⊥平面PBC 即ED PB ⊥，再由线面垂直的判定即可得证；

（3）由二面角的定义可得EFD ∠为二面角C PB D --的平面角，结合余弦定理即可得解.

【详解】（1）因为侧棱PD ⊥平面ABCD ，

所以AD 为直线PA 在平面ABCD 上的射影，PD AD ⊥，

故PAD ∠即为直线P A 与平面ABCD 所成的角，

又PD DC AD ==，所以45PAD ∠=，

所以直线P A 与平面ABCD 所成的角为45；

（2）证明：因为侧棱PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又BC DC ⊥，PD DC D ?=，所以BC ⊥平面PDC ，BC DE ⊥，

由PD DC =可得DE PC ⊥，

又BC PC C ?=，所以DE ⊥平面PBC ，ED PB ⊥，

因为PB EF ⊥，DE EF E =，

所以PB ⊥平面EFD ；

（3）由（2）知,EF PB DF PB ⊥⊥，所以EFD ∠为二面角C PB D --的平面角，不妨设PD DC a ==

，则2

DE a =

，6EF =

，DF =，在DEF 中，由余弦定理得2221cos 22

EF DF DE EFD EF DF +-∠==?，所以二面角C PB D --的大小为60.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系的转化以及空间角的平面角的转化.

22．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A

，离心率为2

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（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点A 作圆()2

22:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；

（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2

212

x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析. 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值.

【详解】（1）由已知可得，222211122b b b a a

=??=????==???，所求椭圆的方程为2

212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=

法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +?++?=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +?++?=，即111x y +=同理设另一个切点

22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线

第 20 页共 21 页方程为0x y +=

法三 ,S T 在AM 为直径的圆：221

11()()222

x y ++-=上，由两圆相减得ST 的方程为0x y +=

（3）法一设切线方程为1y kx =+

r =，即222(1)210r k k r --+-=，由0?>

得(01)r r <<≠ 设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以 121k k ?=；