解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题（重点）详解

第一章 矢量与坐标

§1.3 数量乘矢量

4、 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB

∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．

6、 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM,

?????????????????????CN可 以构成一个三角形.

证明： ?AL?1(AB?AC) 21 BM?(BA?BC)

21 CN?(CA?CB)

21 ?AL?BM?CN?(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0

2OA?OB+OC=OL+OM+ON.

7.、设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 [证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC

?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN) 由上题结论知：AL?BM?CN?0 ?OA?OB?OC?OL?OM?ON 从而三中线矢量AL,BM,CN构成一个三角形。

8.、如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

OA+OB+OC+OD＝4OM.

[证明]：因为OM＝

1(OA+OC), OM＝21(OB+OD), 2所以 2OM＝1(OA+OB+OC+OD) 2所以

OA+OB+OC+OD＝4OM.

10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．

图1-5

证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN． MN?MA?AN?MA?AD?DN，

MN?MB?BN?MB?BC?CN，∴ MN?AD?BC，即

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

3.、设一直线上三点A, B, P满足AP＝?PB(??－1),O是空间任意一点，求证：

???????????????OA??OB

1??[证明]：如图1-7，因为

OP＝

AP＝OP－OA,

PB＝OB－OP,

所以 OP－OA＝? (OB－OP),

(1+?)OP＝OA+?OB,

OA??OB从而 OP＝.

1??4.、在?ABC中,设AB?e1,AC?e2.

图1-7 (1) 设D、E是边BC三等分点,将矢量AD,AE分解为e1,e2的线性组合; （2）设AT是角A的平分线(它与BC交于T点),将AT分解为e1,e2的线性组合 解：（1）?BC?AC?AB?e2?e1,BD?

（2）因为

11BC?e2?e1， 33112121AD?AB?BD?e2?e1?e1?e1?e2，同理AE?e2?e1

333333??|BT||e1| ＝,|TC||e1|且 BT与TC方向相同， 所以 BT＝|e1||e2|由上题结论有

TC.

e1?AT＝|e1||e|e?|e1|e2|e2|＝21. |e||e1|?|e2|1?1|e2|e25．在四面体OABC中，设点G是?ABC的重心（三中线之交点），求矢量OG对于矢量

OA,,OB,OC的分解式。

解：?G是?ABC的重心。?连接AG并延长与BC交于P

12211AB?AC,AG?AP??AB?AC?AB?AC 2332311同理BG?BA?BC,CG?CA?CB C O

331?OG?OA?AG?OA?AB?BC （1） G P

31 OG?OB?BG?OB?BA?BC （2） A B

3 1 OG?OC?CG?OC?CA?CB （3） （图1）

3 ?AP?????????????????由（1）（2）（3）得

3OG?OA?OB?OC? ?OA?OB?OC

1?AB?AC?BA??1BC?CA?CB 33?? 6．用矢量法证明以下各题

（1）三角形三中线共点

证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于P1，AL于CN交于P2 BM于CN交于P3，取空间任一点O，则 A

21BM?OB?BA?BC 3311 ?OB?OA?OB?OC?OB?OA?OB?OC A

331同理OP2?OA?OB?OC N M

31 OP3?OA?OB?OC B L C

3OP1?OB?BP1?OB??????????? ?P1,P2,P3三点重合 O ?三角形三中线共点 （图2） 即OG?1OA?OB?OC 3??§1.5 标架与坐标

9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).

10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.

[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).

在AiGi上取一点Pi，使AiPi＝3PiGi, 从而OPi＝

OAi?3OGi，

1?3设Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则

?x?x3?x4,G1?23?y2?y3?y4,3y1?y3?y4,3y1?y2?y4,3y1?y2?y3,3z2?z3?z4??, 3?z1?z3?z4?

?,

3?z1?z2?z4??, 3?z1?z2?z3??, 3?x?x?xG2??134,3??x?x2?x4,G3?13??x?x2?x3,G4?13?所以

x2?x3?x4y?y3?y4z?z3?z4y1?3?2z1?3?2333P1(,,) 1?31?31?3x?x2?x3?x4y1?y2?y3?y4z1?z2?z3?z4?P1(1,,).

444同理得P2?P3?P4?P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.

§1.7 两矢量的数性积 3. 计算下列各题.

x1?3?

??????????????????????（1）已知等边△ABC的边长为1,且BC?a,CA?b,AB?C,求ab?bc?ca ；

????????????? (2)已知a,b,c两两垂直,且a?1, b?2,c?3,求r?a?b?c的长和它与a,b,c的夹角.

?????? (3)已知a?3b与7a?5b垂直，求a,b的夹角. ???????????2 (4)已知a?2, b?5, ?(a,b)??, p?3a?b, q??a?17b.问系数?取何值

3???时p与q垂直？

解

(1)∵

???a?b?c?1,????????0∴ab?bc?ca?a?b?cos120

???b?c?cos1200

??3?c?a?cos1200??

2?????? (2)∵a?b?c,且a?1, b?2, c?3 .

???????? 设r?a?b?c ?i?2j?3k ∴r?12?22?32?14

???? 设r与a,b,c的夹角分别为 ?,?,?.

∴cos??

1142143314?, cos???, cos???.14714141414

∴??arccos1414314. ，??arccos，??arccos14714

?2???2???? (3)(a?3b)?(7a?5b)?0，即7a?16ab?15a?0 (1)

?2???2????(a?4b)?(7a?2b)?0，即7a?30ab?8b?0 (2)

?????2?????2 (1)?(2)得：2a?b?b (1)?8?(2)?5得：2a?b?a

1?2????b?????????1a?b2∴a?b ∴cos?(a,b)?????2? ∴cos?(a,b)?

23a?bb

????????1 (4)a?b?a?bcos?(a,b)?2?5?(?)??5

2?????????2?????2p?q?(3a?b)（??a?17b） ?3?a?51ab??a?b?17b??680?17??0

∴??40

4. 用矢量法证明以下各题：

(1) 三角形的余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA;

(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.

?证明：（1）如图1-21，△ABC中，设AC＝b,AB＝c,BC＝a，

???且|a|＝a，|b|＝b,|c|＝c. 则a＝b－c,

??2?22??22?2

a＝(b－c)＝b+c－2b?c＝b+c－2|b||c|cosA. 此即 a2＝b2+c2－2bccosA.

(2) 如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P,

D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设PA＝a, PB＝???b, PC＝c, 则AB＝b－a, BC＝c－b,

?1CA＝a－c, PD＝(a+b),

图1-11

1??PE＝(c＋b).

22图1-12

因为 PD?AB, PE?BC,

??11?2

所以 (a+b)(b－a)＝(b－a2)＝0,

22?1?12?2

(b+c)(c－b)＝(c－b)＝0, 22??2222 2

从而有 a＝b＝c,即 |a|＝|b|＝|c|2,

?1????1?所以 (c＋a)(a－c)＝(a2－c2)＝0,

22?所以 PF?CA, 且 |a|＝|b|＝|c|.

故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.

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