大物B课后题08-第八章 电磁感应 电磁场

习题

8-6 一根无限长直导线有交变电流i?I0sin?t，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD，如图所示，长为l的AB和CD两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a和b，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。

解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS?ldx，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为

d?m?B?dS?通过矩形面积CDEF的总磁通量为 ?m?由法拉第电磁感应定律有

????0ild x2?x?ba?0i?ilb?Ilbldx?0ln?00lnsin?t 2?x2?a2?ad?m?Il?b??00lncos?t dt2?a，球小

8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n，在管的中心放置一绕了N圈，半径为r的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI线圈中感应的电动势。

解 无限长直螺线管内部的磁场为

B??0nI 通过N匝圆形小线圈的磁通量为 由法拉第电磁感应定律有

???dt?m?NBS?N?0nI?r2

d?mdI??N?0n?r2 dtdt8-8 一面积为S的小线圈在一单位长度线圈匝数为n，通过电流为i的长螺线管内，并与螺线管共轴，若i?i0sin?t，求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为

?m?BS??0niS

???d?mdi???0nS???0nSi0?cos?t dtdt?1 由法拉第电磁感应定律有

8-9 如图所示，矩形线圈ABCD放在B?6.0?10T的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为??60?，长为0.20m的AB边可左右滑动。若令AB边以速率

v?5.0m?s?1向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。

解 利用动生电动势公式

1

???BA(v?B)?dl??0.2005?0.6?sin(?60?)dl?0.30(V)

2?感应电流的方向从A?B.

8-10 如图所示，两段导体AB和BC的长度均为10cm，它们在B处相接成角30?；磁场方向垂直于纸面向里，其大小为B?2.5?10T。若使导体在均匀磁场中以速率

?2v?1.5m?s?1运动，方向与AB段平行，试问AC间的电势差是多少? 哪一端的电势高？

解 导体AB段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产生。BC段产生的动生电动势为

???(v?B)?dl??1.5?2.5?10?2?cos60?dl?1.9?10?3(V)

B0C1.10AC间的电势差是

UAC?????1.9?10?3(V)

C端的电势高。

8-11 长为l的一金属棒ab，水平放置在均匀磁场B中，如图所示，金属棒可绕O点在水平面内以角速度?旋转，O点离a端的距离为lk。试求a,b两端的电势差，并指出哪端电势高（设k>2）

解 建立如图所示的坐标系，在Ob棒上任一位置x处取一微元dx，该微元产生的动生电动势为

d??(v?B)?dx???xBdx Ob棒产生的动生电动势为 ?Ob??l?lk011??xBdx???Bl2(1?)2

2k1k212l??xBdx???Bl2 2k同理，Oa棒产生的动生电动势为 ?Oa?金属棒a,b两端的电电势差

?0Uab???ab??Oa??Ob2111122l???Bl2??Bl2(1?)2??Bl2(1?) 2k2k2k因k>2，所以a端电势高。

8-12 如图所示，真空中一载有稳恒电流I的无限长直导线旁有一半圆形导线回路，其半径为r，回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径cd的延长线与长直导线相交，导线与圆心O之间距离为l，无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度v垂直纸面向外运动时，求：

（1）回路中感应电动势的大小；

2

? （2）半圆弧导线cd中感应电动势的大小。

解 （1） 由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势??0。

（2）半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以可由直导线计算感应电动势的大小

选取x轴如图8.7所示，在x处取线元dx,dx中产生感应电动势大小为 d???v?B??dl

?0I 2?x?导线cd及圆弧cd产生感应电动势的大小均为

l?r?0Ivl?rdx?0Ivl?r?ln ???vBdx?

l?r2??l?rx2?l?r 其中B?m的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且8-13 在半径R?0.50dBdt?1.0?10?2T?s?1，圆柱体外无磁场，试求离开中心O的距离分别为

0.1m,0.25m,0.50m,1.0m和各点的感生电场的场强。

解 变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有

??E感?dl????LS?B?dS ?t而

??E感?dl?E感2?r,???LS?BdB?dS???r2 ?tdtdB2?r dt1dB E感??r

2dt当r?R时， E感2?r??所以r?0.1m时，E感?5.0?10?4V?m?1；r?0.25m时，。E感?1.3?10?3V?m?1 当r?R时 E感2?r??dB?R2 dtR2dB E感??

2rdt?3?1?3?1所以r?0.50m时， E感?2.5?10V?m;r?1.0m时E感?1.25?10V?m

8-14 如图所示，磁感应强度为B的均匀磁场充满在半径为R的圆柱体内，有一长为l的金属棒ab放在该磁场中，如果B以速率dBdt变化，试证：由变化磁场所产生并作用于棒两

3

dB1?1?lR2??? 端的电动势等于

dt2?2?证明 方法一 连接Oa,Ob,设想Oab构成闭合回路，由于Oa,Ob沿半径方向，与通过该处

的感生电场处垂直，所以Oa,Ob两段均无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路Oab的总电动势就是棒ab两端电动势。根据法拉第电磁感应定律 ?ab??Oab2dBdB1?1???S?lR2???

dtdt2?2?2 方法二 变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为 E感??棒ab两端的电动势为

1dBr 2dt?ab??E感?dx??E感cos?dx???r000lll1dB2dt?1?R2???2dB1?1??2?2dx?lR??? rdt2?2?28-15 如图所示，两根横截面半径为a的平行长直导线，中心相距d，它们载有大小相等、

方向相反的电流，属于同一回路，设导线内部的磁通量可以忽略不计，试证明这样一对导线长为l的一段的自感为L??0ld?aln。 ?a 解 两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为 B??0I?0I ?2?x2??d?x???0I?0I????ldx?2?x2??d?x??

穿过两根导线间长为dx的一段的磁通量为

?m???d?aaB?dS??d?aa?0lId?aln?a?mI?所以，一对长为的一段导线的自感为 L??0ld?aln ?a8-16一均匀密绕的环形螺线管，环的平均半径为R，管的横截面积为S，环的总匝数为N，管内充满磁导率为?的磁介质。求此环形螺线管的自感系数L。 解 当环形螺线管中通有电流I时，管中的磁感应强度为 B??nI? 通过环形螺线管的磁链为

?IN 2?R?IN2S ?m?N?m?

2?R

4

则环形螺线管的自感系数为

?N2S? L? I2?R?m 8-17由两薄圆筒构成的同轴电缆，内筒半径R1,外筒半径为R2，两筒间的介质?r?1。设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I相等，求长度为l的一段同轴电缆所储磁

能为多少？

解 有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为

r?R1时， B1?0 R1?r?R2时， B2??0I 2?rr?R2时， B3?0

在长为L，内径为r，外径为r?dr的同轴薄圆筒的体积dV?2?rldr中磁场能量为

2?0I2l1B2 dWm?dV?dr

2?04?r所以，长度为l的一段同轴电缆所储能为 Wm??R2R1?0I2r?0I2lR2dr?ln 4?r4?R1补充

在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点P的电场强度为E，磁感应强度为B，此空间区域介质的介电常数???0，磁导率???0。求P点处电场和磁场的总能量体密度w。 解 电场能量密度为

we?磁场能量密度为

1?0E2 21B2 wm?

2?0总能量密度为

11B22 w?we?wm??0E?

22?08-19 一小圆线圈面积为S1?4.0cm2，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为N1?50，把它放在另一半径R2?20cm，N2?100匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，试求这两个线圈之间的互感；如果大线圈导线中的电流

每秒减少50A，试求小线圈中的感应电动势。

5

解 当大圆形线圈通有I2时，它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为 B2?N2?0I22R2

若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小圆形线圈的磁链为 ?m?N1B2S1?N1N2两个线圈之间的互感为

?0I22R2S1

N1N2?0S150?100?4??10?7?4.0?10?4M????6.28?10?6(H)

I22R22?0.2?m 如果大线圈导线中的电流每秒减少50A，则小线圈中的感应电动势为 ???Mdi?6.28?10?6?50?3.14?10?4(V) dt8-20 一螺线管长为30cm。由2500匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率

?r?100，当它的导线中通有2.0A的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。

解 螺线管中的磁感应强度为

B??0?rnI??0?r螺线管中的磁场能量密度为

NI l1B2wm??1.74?105J/m3 2?0?r 8-21 一根长直导线载有电流I，且I均匀地分布在导线的横截面上，试求在长度为l的一段导线内部的磁场能量。

解 有安培环路定理可得长直导线内部的磁感应强度为 B??0Ir 2?R2在长度为l的一段导线内部的磁场能量

222R?Ir?Il1B2 Wm????dV??0242?rldr?0

04?R2?016? 8-22一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，它们之间充满了相对磁导率为?r?1的介质，假定导线的半径为R1，圆筒的内外半径分别为R2和R3 ，电流I由圆筒流出，由直导线流回，并均匀地分布在它们的横截面上，试求：（1）在空间各个范围内的磁能密度表达式;(2)当R1?10mm,R2?4.0mm,R3?5.0mm,I?10A时，在每米长度的同轴线中所储存的磁场能量。

6

解 （1）有安培环路定理可得在空间各个范围内的磁感应强度为

r?R1时 B1??0I?0IrB? ； 时 R?r?R2122?r2?R12?0IR32?r2；r?R3时 B4?0 R2?r?R3时B3?2?rR32?R22相应地，空间各个范围内的磁能密度为

?0I21B12?0I2r2r?R1时wm??22；R1?r?R2时wm?22；

8?r2?08?R1?0I2?R32?r2?；r?R3时wm?0。 R2?r?R3时wm?22?22?8?r?R3?R2?（2） 每米长度的同轴线中所储存的磁场能量为

2Wm????wmdV????w1mdV????w2mdV????w3mdV????w4mdV???R102222R?IR?I???0I2r2R?r0032?rdr?2?rdr?2?rdr?0222222?22???RR8?R18?r8?r?R3?R2?23122?0I2?4?

??244R34ln?R3R2?RR?RR13322??ln???1.7?10?5(J)?2?2222?4R1R3?R224?R2?R2??R?R??3232??dU，U是电容器两极板dt8-23证明电容C的平行板电容器，极板间的位移电流强度Id?C间的电势差。

证明 由于平行板中D??，所以穿过极板位移电位移通量 ?D?平行板电容器中的位移电流强度 Id???D?dS??S?q?CU

Sd?Dd?CU?dU??C dtdtdt5?1 8-24 设圆形平行板电容器的交变电场为E?720sin10?tV?m，电荷在电容器极板

??上均匀分布，且边缘效应可以忽略，试求：（1）电容器两极板间的位移电流密度；（2）在距

?5离电容器极板中心连线为r?1.0cm处，经过时间t?2.0?10s时的磁感应强度的大小。

解 （1）电容器两极板间的位移电流密度为

?d?E??0?2.00?10?3cos?105?t?Am2 ?t?t（2）以电容器极板中心连线为圆心，以r?1.0cm为半径做一圆周。由全电流安培环路定

jd?

7

律有

??H?dl?d?DLdt 所以

H2?r??r2?dE0

dt

H?12r?dE0dt经过时间时t?2.0?10?5s，磁感应强度的大小为 B??0r?0dE0H??2dt?1.26?10?11?T?

8-25 试确定哪一个麦克斯韦方程相当于或包括下列事实： （1）电场线仅起始或终止与电荷或无穷远处； （2）位移电流;

(3) 在静电平衡条件下，导体内部可能有任何电荷； （4）一变化的电场，必定有一个磁场伴随它； （5）闭合面的磁通量始终为零；

（6）一个变化的磁场，必定有一个电场伴随它； （7）磁感应线是无头无尾的；

（8）通过一个闭合面的净电通量与闭合面内部的总电荷成正比；（9）不存在磁单极子； （10）库仑定律；

（11）静电场是保守场。 解

???ND?ds??iq相当于或包括事实：（1），（3），（8），（10）；si?1??E?dl???B?t?dS相当于或包括事实：

（6），（11）； L??S???B?dS?0相当于或包括事实：（5），（7），（9）； S??NH?dl??Ii?d?Ddt相当于或包括事实：（2），（4）； Li?1 8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hd66.html