【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库：8.8 立体几何中的向量方法(Ⅱ)----求空间角、距离

8.8 立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角、距离

一、选择题

1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是( )．

A．平行 B．相交

C．异面垂直 D．异面不垂直 解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，M(0,0,1)，

→

O(1,1,0)，N(2，t,2)，NO＝(－1,1－t，－2)， →→→

AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线NO、AM的 位置关系是异面垂直． 答案 C

→1

2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝1，N为B1B的中点，

2→

则|MN|为( )．

2161515A.a B.a C. D.6663

解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，C

1(0，

→

a

a，a)，N a，a，.

2

设M(x，y，z)，

→1

∵点M在AC1上且AM＝MC1，

2

1

∴(x－a，y，z)＝－x，a－y，a－z)

22aa∴x＝，y＝z＝333 2aaa 得M ，， ，

333 →∴|MN|＝ 答案 A

→→

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为( )．

1422A.5 C.5 D. 9993解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，

→

a 2 aa 221 2 2

a－ ＋ a－＋ － ＝.

3 23 6 3

DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角

→

→

坐标系(如图)，可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝

(2,2

，－1)， →→

145

cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝，

99答案 B

→

→

4．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )

32

A.3 D．32 22

22

解析 两平面的一个单位法向量n0＝ －0，，故两平面间的距离d＝

2 22→

|OA·n0|＝2答案 B

5．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝( )．

A．2 B.2 D．1 解析 如图，建立直角坐标系D­xyz，由已 知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)， 由AB＝2解得t＝2. 答案 C

6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB1

＝，则GB与EF所成的角为( )．4

A．30° B．120° C．60° D．90° 解析 如图建立直角坐标系D­xyz， 设DA＝1，由已知条件

G 0，0

，

，B(1，1，0)，

1 2

E 1，1，，F 1，0 ，

→→

1 1 1

GB＝ 1，1，－，EF＝ －0，－

2 2 4

→

→

→→

→→

→

→

1 2 3 4

cos〈GB，EF〉＝

GB·EF|GB||EF|

0，则GB⊥EF.

答案 D

7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角

B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(

)

A.3 C．2 D.

2 2

解析 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，

C1(0,0,2)，D(1,0,1)

设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，

CB1＝(0,2,2)，

设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．

m·CB1＝0则 m·CD＝0

2y＋2z＝0

x＋az＝0

，令z＝－1，

得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)， 则由cos60°＝

m·n11

，得2＝，即a＝2， |m||n|a＋22

故AD＝2. 答案：A

二、填空题

8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上．当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为________．

解析 以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如

图)，设BP＝λBD1，可得P(λ，λ，λ)，

1λ＝APC

最大， 再由cos∠APC

31111

故VP－ABC＝××1×1×＝.

32318

1

答案 18

9．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段

DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为________．

→＝(－a,0，a)，直线AD的一个单位方向向

解析 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，AD11 22 →＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD的距离d＝量s0＝ －0，，由MD11

2 2 →2→2

|MD1|－|MD1·s0|＝

m＋a－m22

1

－2

a－m2

＝

3212

m－am＋，根22

－aa3 a 2a11

式内的二次函数当m＝－＝时取最小值 －a×2＝a2，故d的最小

332 3 3232×23值为a.

3

3a 3

答案

8

10．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ

9＝________.

8a·b2－λ＋4

解析 由已知得＝＝，

9|a||b|5＋λ2·9∴8 5＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝

2 55

2. 55

答案 －2或

11．正四棱锥S ­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且

SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________．

解析 如图所示，以O为原点建立空间 直角坐标系O­xyz.

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，

则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，

aa

P 0，－.

22

→→→

aa

则CA＝(2a,0,0)，AP＝ －a，－，CB＝(a，a,0)．

22 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，

→

则cos〈CB，n〉＝

→

CB·n→

＝

1

＝.

2a222

a

|CB||n|

→

∴〈CB，n〉＝60°，

∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°. 答案 30°

12．已知点E、F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________． 解析 如图，建立直角坐标系D­xyz， 设DA＝1由已知条件A(1,0,0)， 1 2

E 1，1，，F 0，1，，

3 3

→→1 2

AE＝ 0，1，，AF＝ －1，1，，

3 3 设平面AEF的法向量为

n

＝(x，y，z)，

面AEF与面ABC所成的二面角为θ， → n·AE＝0，由

→ n·AF＝0

1

y＋＝0， 3得

2

－x＋y＋＝0. 3

令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝

32，tan θ＝311

2

答案

3三、解答题

13. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°. (1)求证：平面PAB⊥平面PAD；

(2)设AB＝AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长． 解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，

AB 平面ABCD， 所以PA⊥AB.

又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD.

又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图)． 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.

在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1. 设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)． 由AB＋AD＝4得AD＝4－t，

所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，CD＝(－1,1,0)，

PD＝(0,4－t，－t)．

设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

－x＋y＝0，由n⊥CD，n⊥PD，得

4－ty－tz＝0.

取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝(t，t,4－t)．

又PB＝(t,0，－t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得

|2t2－4t|1

，即2cos60°＝

222

2t＋t＋4－t2t

4

解得t＝t＝4(舍去，因为AD＝4－t>0)，

54

所以AB＝.

5

14．如图所示，四棱锥A­BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.

(1)证明：AD⊥CE；

(2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角C­AD­E的大小． 解析 (1)证明 取BC中点O，

连接AO，则AO⊥BC 由已知条件AO⊥平面BCDE， 如图，建立直角坐标系O­xyz， 则A(0,0，t)，D(1，2，0)，

C(1,0,0)，E(－1，2，0)， →

AD＝(1，2，－t)， →

CE＝(－2，2，0)， →→

则AD·CE＝0，因此AD⊥CE. (2) 作CF⊥AD垂足为F，连接EF， 由AD⊥平面CEF知EF⊥AD， 则∠CFE为二面角C­AD­E的平面角． 在Rt△ACD中，CF＝

AC·CD23

， AD330， 3

在等腰△ADE中EF＝

CF2＋EF2－CE210

cos∠CFE＝＝－2CF·EF1010

∴二面角CADE的余弦值为－.

10

15．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC

，AB＝2EF.

(1)若M是线段AD的中点， 求证：GM∥平面ABFE；

(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A­BF­C的大小． 解析 (1)证明 法一 因为EF∥AB，

FG∥BC，EG∥AC， ∠ACB＝90°，

所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG. 由于AB＝2EF，因此BC＝2FG. 1

连接AF，由于FG∥BC，FG＝，

2

1

在 ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝，

2因此FG∥AM且FG＝AM，

所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA. 又FA 平面ABFE，GM 平面ABFE， 所以GM∥平面ABFE.

法二 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°， 所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG， 由于AB＝2EF，所以BC＝2FG. 取BC的中点N，连接GN，

因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB

.

在 ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN， 则MN∥AB.

因为MN∩GN＝N，AB∩FB＝B， 所以平面GMN∥平面ABFE. 又GM 平面GMN， 所以GM∥平面ABFE.

(2)法一 因为∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°， 又EA⊥平面ABCD， 所以AC，AD，AE两两垂直．

分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AC＝BC＝2AE＝2，则由题意得

A(0,0,0)，B(2，－2,0)，C(2,0,0)，

→

→

E(0,0,1)，所以AB＝(2，－2,0)，BC＝(0,2,0)． 又EF＝1

2

AB，

→

所以F(1，－1,1)，BF＝(－1,1,1)． 设平面BFC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， →→

则m·BC＝0，m·BF＝0， 所以

y1＝0， x

1＝z1，

取z1＝1，得x1＝1，所以m＝(1,0,1)．

设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， →→

则n·AB＝0，n·BF＝0， 所以

x2＝y2， z2＝0，

取y2＝1，得x2＝1，则n＝(1,1,0)， 所以cos〈m，n〉＝

m·n|m|·|n|＝1

2

.

因此二面角A­BF­C的大小为60°. 法二 由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD， 取AB的中点H，连接CH， 因为AC＝BC，所以CH⊥AB， 则CH⊥平面ABFE.

过H向BF引垂线交BF于R，连接CR， 则CR⊥BF，

所以∠HRC为二面角A­BF­C的平面角． 由题意，不妨设AC＝BC＝2AE＝2. 在直角梯形ABFE中，连接FH， 则FH⊥AB，又AB＝22， 所以HF＝AE＝1，BH＝2， 因此在Rt△BHF中，HR＝63

. 由于CH＝1

2

AB＝

2，

所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝

2

3， 63

因此二面角A­BF­C的大小为60°.

16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

解析 方法一：

(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG. 1

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE，

2∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB.

1

又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，

2∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF 平面BCE，BG 平面BCE， ∴AF∥平面BCE.

证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，

∵F为CD的中点，∴FM∥CE.

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB. 1

又AB＝DE＝ME，

2

∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE. ∵FM、AM 平面BCE，CE、BE 平面BCE， ∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE. 又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE. ∵AF 平面AFM， ∴AF∥平面BCE

.

(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点， ∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF 平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG 平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE.

(3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连接BH， ∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE. ∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．

设AD＝DE＝2AB＝2a，则FH＝CFsin45°＝

2

a， 2

BF＝AB2＋AF2a2＋3a2

＝2a，

FH2

在Rt△FHB中，sin∠FBH＝.

BF4∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为方法二：

设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，

2

. 4

B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a3a,2a)．

3 3

∵F为CD的中点，∴F ，a，0 .

2 2

3 3

(1)证明：→AF＝ ，a，0 ，→BE＝(a3a，a)，→BC＝(2a,0，－a)，

22 1

∵→AF＝→BE＋→BC)，AF 平面BCE，∴AF∥平面BCE.

2

3 →3→

(2)证明：∵AF＝ ，a，0 ，CD＝(－a3a,0)，→ED＝(0,0，－2a)，

2 2 ∴→AF·→CD＝0，→AF·→ED＝0，∴→AF⊥→CD，→AF⊥→ED. ∴→AF⊥平面CDE，又AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE.

(3)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，由n·→BE＝0，n·→BC＝0可得

x＋3y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－3，2)．

3 3又→BF＝ ，a，－a ，设BF和平面BCE所成的角为θ，则

2 2 |→BF·n|2a2

sinθ＝＝.

→42a·22|BF|·|n|∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为

2

. 4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hd4i.html