北京市朝阳区2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版

北京市朝阳区2015届高三上学期期中考试数学理试题

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合A.

A?xx2+x?2?0,B??xx?0???,则集合AB等于

?xx??2? B.?x0?x?1?

C.

?xx?1? D.?x?2?x?1?

p：?x?0，

x?2.已知命题A．

4?4q?x?R，2x0??1.则下列判断正确的是 x；命题：0p是假命题 B．q是真命题

??C．p?(q)是真命题 D．(p)?q是真命题 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是

开始

A.120 B.105 C.15 D.5 k=1,i=1

k=k×i

i=i+2

否

i>5?

是

输出k 结束

第3题图

y?4.曲线

1x与直线x?1,x?e2及x轴所围成的图形的面积是

22e-1 C. e D. 2 eA. B.

5.设a,b是两个非零的平面向量，下列说法正确的是

b=0，则有若a×a+b=a?b；

a?b?ab；

若存在实数λ，使得a＝λb，则④若

a+b=a?b；

a+b=a?b，则存在实数λ，使得a＝λb.

A. ①③ B. ①④ C.②③ D. ②④

6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 A. 3000 B.3300 C.3500 D.4000

7.如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y?Asin??x????b

???????0（其中 ，2），

T/30 20 10 O 第8 10 12 14 6 7题图t/h ℃

则估计中午12时的温度近似为（ ）

A. 30 ℃ B. 27 ℃ C.25 ℃ D.24 ℃

8.设函数f(x),g(x)满足下列条件： （1）对任意实数

x1,x2都有f(x1)?f(x2)?g(x1)?g(x2)?g(x1?x2)；

（2）f(?1)??1，f(0)?0，f(1)?1. 下列四个命题：

22?①g(0)?1； ②g(2)?1； ③f(x)?g(x)?1；④当n?2，n?N时，

(?)?f(x)???gx的最大值为1.

其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④

nn

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知平面向量a,b满足

a?1，b?(1,1)，且ab，则向量a的坐标是_______.

?1?tan(??)=??(,?)47， 210.已知，则tan?的值是_______;cos?的值是_______.

11.若

?2x?3,x?0，?f(x)??0,x?0，?ax?b,x?0? 是奇函数，则a+b的值是_______.

12.已知等差数列

?an?中，Sn为其前n项和.若a1?a3?a5?a7??4，S8??16,

?a?则公差d?_______；数列n的前______项和最大.

?3x?2y?6?0,??x?y?2?0,?y?2?0.y13.已知x，满足条件?若目标函数z?ax?y(其中a?0)仅在点(2,0)

处取得最大值，则a的取值范围是 .

14.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔塔

AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看

BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，

从两塔底部连线中点C分

BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值

别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔为 ；塔

BB1的高为 m.

B1 A1 ABC

第14题图

三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）

?(,1)已知函数f(x)?3sinx?acosx（x?R）的图象经过点3.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间.

16. （本小题满分13分）

如图，在△ABC中，?ACB为钝角，且CD?3?1． （Ⅰ）求?BCD的大小；

（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积． .

17. （本小题满分14分）

ACDBAB?2,BC?2,A?π6．D为AC延长线上一点，

x2f(x)=,a Rx-a已知函数.

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

（Ⅱ）若f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围.

18.（本小题满分14分）

f(x0)?1成立，则称函数x已知函数y?f(x)，若在区间(?2,2)内有且仅有一个0，使得

f(x)具有性质M.

(Ⅰ)若f(x)?sinx?2，判断f(x)是否具有性质M，说明理由；

2f(x)?x?2mx?2m?1具有性质M，试求实数m的取值范围. （Ⅱ）若函数

19. （本小题满分18分） 对于项数为m的有穷数列

{an}，记bk?max{a1,a2,a3,,ak}(k?1,2,3,,m)，即bk为

a1,a2,a3,称为

,ak中的最大值，则称{bn}是{an}的“控制数列”{b}，n各项中不同数值的个数

{an}的“控制阶数”.

{an}的控制数列?bn?为1,3,3,5，写出所有的{an}；

(Ⅰ)若各项均为正整数的数列

211t?(,)a?tn?n，其中42，{bn}是{an}的控制数列，试用t表示 （Ⅱ）若m?100，n(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)的值；

(Ⅲ)在1,2,3,4,5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和.

答案

一、选择题（满分40分） 题号 答案 （1） A （2） C （3） C （4） D （5） B （6） B （7） B （8） D 二、填空题（满分30分） 题号 9 10 11 12 13 14 (答案 22,)22 或?34; ?2; 422?(?,?)5 22 ?1 3 ?3?,?????2? 1；453 （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题（满分80分） （15）（本小题满分13分）

?(,1)解：（Ⅰ）由函数f(x)的图象经过点3，

3sin则???acos?133.

解得a?1.

因此f(x)?3sinx?cosx. ……………………….5分 （Ⅱ）f(x)?3sinx?cosx

?2(31sinx?cosx)22

??2sin(x?)6.

所以函数f(x)的最小正周期为T?2?.

2k?+由

?????x??2k??262，k?Z. ?????x?2k??33，k?Z.

2k?+????,2k??33]，k?Z.……………13分

2k?+可得

因此函数f(x)的单调递减区间为[

（16）（本小题满分13分） （Ⅰ）在△ABC 中，

AB?2,A? 因为

π6，BC?2，

BABBC?由正弦定理可得sin?ACBsinA，

222???22π1sin?ACBsin62即，

ACDsin?ACB? 所以

22．

因为?ACB为钝角，所以

?ACB?3π4.

?BCD?所以

π4． ????????????????????????6分

222（Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可知BD?CB?DC?2CB?DC?cos?BCD，

BD2?(2)2?(3?1)2?2?2?(3?1)?cos即

整理得BD?2．

π4，

在△ABC 中，由余弦定理可知BC?AB?AC?2AB?AC?cosA，

222(2)2?22?AC2?2?2?AC?cos即

2π6，

整理得AC?23AC?2?0．解得AC?3?1． 因为?ACB为钝角，所以AC?AB?2.所以AC?3?1．

所以△ABC的面积

S?1113?1AC?AB?sinA??2?(3?1)??2222．

…………………….13分

17. （本小题满分14分）

xx?a(Ⅰ) f(x)的定义域为.

??f￠(x)=x(x-2a)(x-a)2.

x????,0??0,???￠（1）当a=0时，f(x)?x(x?0),f(x)=1，则，时，f(x)为增

函数；

￠（2）当a>0时，由f(x)>0得，x?2a或x?0，由于此时0?a?2a，

所以x?2a时,f(x)为增函数，x?0时，f(x)为增函数；

￠由f(x)<0得，0?x?2a，考虑定义域，当0?x?a，f(x)为减函数，

a?x?2a时，f(x)为减函数；

￠（3）当a<0时，由f(x)>0得，x?0或x?2a，由于此时2a?a?0，所以

当x<2a时，f(x)为增函数，x?0时，f(x)为增函数.

￠ 由f(x)<0得，2a?x?0，考虑定义域，当2a?x?a,f(x)为减函数，

a?x?0时，f(x)为减函数.

(- ,0),(0,+ 综上，当a=0时，函数f(x)的单调增区间为

x?当a>0时，函数f(x)的单调增区间为

单调减区间为

).

( ,0)，(2a,+ ),

(0,a)，(a,2a).

( ,2a)，(0,+ )

x?当a<0时，函数f(x)的单调增区间为

单调减区间为

(2a,a)，(a,0).

……………………….7分 （Ⅱ）解：

当a?0时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(1,2)单调增，且x?(1,2)时x?a.

当0?2a?1时，即

0?a?12时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(2a,+ )单调增，即在(1,2)单

调增，且x?(1,2)时x?a.

1?a?1(3)当1?2a?2时，即2时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(1,2)上不具有单调性，不合题

意.

(0,a),(a,2a)为减函数，同时需注意(4)当2a?2，即a?1时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在

a??1,2?，满足这样的条件时f(x)在(1,2)单调减，所以此时a?1或a?2.

a?综上所述，

12或a?1或a?2.

……………………….14分 18.（本小题满分14分）

(Ⅰ) f(x)?sinx?2具有性质M. 依题意，若存在

?1x0?(?2,2)，使f(x0)?1，则x0?(?2,2)时有sinx0?2，即

??x0??2，k?Z.由于x0?(?2,2)，2.又因为区间(?2,2)内所以

sinx0??1，

x0?2k??

有且仅有一个

x0???2，使f(x0)?1成立，所以f(x) 具有性质M…5分

2f(x)?x?2mx?2m?1具有性质M，即方程x2?2mx?2m?0 （Ⅱ）依题意，若函数

在(?2,2)上有且只有一个实根.

22h(x)?x?2mx?2mh(x)?x?2mx?2m在(?2,2)上有且只有一个零点. 设，即

解法一：

(1)当?m??2时，即m?2时，可得h(x)在(?2,2)上为增函数，

?m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3? 只需?解得交集得m?2.

（2）当?2??m?2时，即?2?m?2时，若使函数h(x)在(?2,2)上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：

（ⅰ）m?0时，h(x)?x在(?2,2)上有且只有一个零点，符合题意.

2?m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3交集得?. (ⅱ)当?2??m?0即0?m?2时，需?解得??m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3?0??m?2?2?m?0(ⅲ)当时，即时，需?解得交集得

?2?m??23.

(3)当?m?2时，即m??2时，可得h(x)在(?2,2)上为减函数

?m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3交集得m??2. 只需?解得?综上所述，若函数f(x)具有性质M，实数m的取值范围是或m?0

……………………14分

m??23或m?2

解法二： 依题意，

（1）由h(?2)?h(2)?0得，(4?2m)(6m?4)?0，解得同时需要考虑以下三种情况：

m??23或m?2.

??2??m?2,???0,(2) 由?解得m?0.

??2??m?0,?0?m?2,??h(?2)?0,m?2,(3)由?解得?不等式组无解. ??2?m?0,??0??m?2,2?2m??,?m??h(2)?0,解得?3?3. （4）由?解得

综上所述，若函数f(x)具有性质M，实数m的取值范围是或m?0

…………………14分

19. （本小题满分13分）

(Ⅰ)1,3,1,5; 1,3,2,5;1,3,3,5 ……………………….3分

m??23或m?2

?11?t?2?,?a?tn?n?42? （Ⅱ）因为n，

1?(1,2)2t所以.

所以当n?2时，总有又

an?1?an.

a1?t?1，a3?9t?3. a3?a1?8t?2?0.

所以

故n?3时，总有从而只需比较

bn?an.

a1和a2的大小.

?11?t??,?a?a2，即t?1?4t?2，即?32?时， 当1

?an?是递增数列，此时bn?an对一切n?1,2,3,...100均成立.

(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)?0.

所以

?11?t??,?a?a2时，即t?1?4t?2，即?43?时， 当1

b1?a1，b2?a1，bn?an?n?3?.

(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)

所以

?0??(t?1)?t(?42)???0?...

0?1?3t.

??11?1?3t,t??,????43???0,t??1,1????32??综上，原式=?(Ⅲ)154.

首项为1的数列有6个； 首项为2的数列有6?2?8个；

.

……………………….9分

首项为3的数列有6?4?2?12个； 首项为4的数列有6?6?6?6?24个；

所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6?8?2?12?3?24?4?154. ……………………13分

?an?是递增数列，此时bn?an对一切n?1,2,3,...100均成立.

(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)?0.

所以

?11?t??,?a?a2时，即t?1?4t?2，即?43?时， 当1

b1?a1，b2?a1，bn?an?n?3?.

(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)

所以

?0??(t?1)?t(?42)???0?...

0?1?3t.

??11?1?3t,t??,????43???0,t??1,1????32??综上，原式=?(Ⅲ)154.

首项为1的数列有6个； 首项为2的数列有6?2?8个；

.

……………………….9分

首项为3的数列有6?4?2?12个； 首项为4的数列有6?6?6?6?24个；

所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6?8?2?12?3?24?4?154. ……………………13分

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