信息安全数学基础_环和域基础知识

信息安全技术基础

信息安全数学基础

--环和域计算机科学与技术系 王常远 chywang128@ 13980688127 184780948

信息安全技术基础

环的定义环(Ring) : 一个非空集合S上有两种运算：加法“+”和乘法 “°”,如果这两种运算满足以下性质，就称为环：1. (R, +)是一个交换群，加法单位元记为0(称为零元); 2. R关于乘法“°”满足结合律: (a°b) °c=a° (b°c), 并有单位元, 记为1; 3. 分配律成立: (a+b) °c=a°c+b°c, c° (a+b)=c°a+c°b. 注： 0是抽象的写法，不同于整数中的0. “+”和“°”是抽象的运算

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环的例子(1) 在通常的加法和乘法运算下，Z, Q, R 和 C都是环， 加法单位元为0,乘法单位元为1。

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环的例子(2) 对任意n>0,在模n加法和模n乘法下，Zn是一个 环。加法单位元为0,乘法单位元为1。

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环的例子 (3) 多项式环 Z[x]

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环中的零元 对于环中的任意元素a, 都有0a=a0=0

一般地，0与1不相等，否则1a=a, 而0a=0,这表 明环中只有一个元素，平凡情形，一般不考虑 所以0关于乘法没有可逆元

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环的几个性质设R是一个环, a,b ∈ R, 有: a(-b)=(-a)b=-(ab) (-a)(-b)=ab

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交换环 类似于交换群的定义，如果一个环关于乘 法运算具有可交换性，就称它为交换环。

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无零因子环 设R是一个环, 如果存在a,b∈R, a≠0, b≠0, 但 ab=0, 那么称R是有零因子环, 否则称R是无零因 子环. ab=0 a=0或b=0.

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无零因子环的性质性质1. 设R是无零因子环, 那么 1. 若a≠0, ab=ac, 则b=c; 2. 若a≠0, ba=ca, 则b=c. 性质2. 设R是无零因子环, 那么 R中非零元的加法阶相等, 或者为∞, 或者为素数.

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子环、理想和商环

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子环(subring) 设R是一个环, S是R的非空子集, 如果S关于R的运 算也构成环, 则称S是R的子环.

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理想(Ideal) 设R是一个环, I是R的一个子环, 如果 a∈ I , r∈R, 有ra ∈R, ar ∈R, 则称I是R的一个理想.

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理想的例子 F[x]为数域F上的一元多项式环, I={a1x+a2x2+…+anxn|ai∈F, n ∈ N}, 即I是由所有常数项为0的多项式构成的集合, 则I是F[x]的理想.

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主理想 由R中一个元素a生成的理想称为主理想.

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商环 设I是环R的理想, 在加法商群R/I上定义如下乘法 (x+I)(y+I) = (x+y) +I 则R/I关于加法和乘法构成一个环.

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环同态 设R和R’是两个环, f是R到R’的一个映射, 如果 a,b∈R, 均有 f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), 那么称f是R到R’的环同态映射. 如果f是满射, 那么称R和R’同态; 如果f是双射,那么称R和R’同构. 类似的有环同态基本定理

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概念的类比群 正规子群 循环群 商群 环 理想 主理想 商环

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域的定义 域(Field)

非空集合F,若F中定义了加和乘两种运算，且满足：1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 2) F中

所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1 3) 加法和乘法之间满足分配律

则F与这两种运算构成域 每一个非零元都是可逆元的有单位元的交换环 如实数域\复数域\有理数域

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域的例子(1) 在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C 都是域。

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域的例子(2) 令p是一个素数，在模p加法和模p乘法 运算下，Zp是一个域. 也记为Fp或者GF (p).

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hd01.html