2.1.1推理与证明：合情推理

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2.1.1合情推理

当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时,我们会得到一个判断：天要下雨了

问题：什么叫推理?

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.

一、合情推理

1、归纳推理：

【1】1742年哥德巴赫(Goldbach，1690～1764， 是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士)观察到：

12 5 7,1000 29 971, 6 3 3,14 7 7,1002 139 863, 8 3 5,16 5 11, 10 5 5, 哥德巴赫猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.

猜想的过程：具体的材料—————>观察分析——————>猜想出一般性的结论

【2】统计初步中的用样本估计总体

通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验，进而对整体做出推断.

【3】成语“一叶知秋”

意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体形势的变化，由部分推知全体.

【4】对自然数n，考查n n 11是否为质数?

2

2猜想:对所有的自然数n，n n 11都是质数.

【5】三角形的内角和是180 ，凸四边形的内角和是360 ，凸五边形的内角和是540 ……

由此我们猜想：凸边形的内角和是 n 2 180

由某类事物的部分对象具有某些特性,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.特点：部分→ 整体，个别→ 一般.

1、 由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，

猜想:所有金属都导电.

22 122 222 322 422 5 ， ， ， ， ，…. 33 133 233 333 433 5

aa m猜想: (a，b，m均为正整数) bb m

3、由数列前几项：1，3，5，7，9， ··· ，由此你猜想出第n个数是2n 1. 2、又如：

这就是从“部分”到“整体”，从“个别”到“一般”的归纳推理.

由：1 3 4 2，1 3 5 9 3，1 3 5 7 16 4，1 3 5 7 9 25 5，…… 猜想：前n个连续奇数的和等于n的平方，即：1 3 5 .... 2n 1 n 22222

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例题1、已知数列 an 的第一项a1 1，且an 1

2an*(n N)，试归纳出这个数列的通项公式. an 1

例题2、已知数列 an 的各项为正,前n之和满足Sn

(1)求出a1，a2，a3，(2)猜想 an 的通项.

探究：

法国数学家费马观察到2

费马猜想：任何形如2

51 1 * n N(). a n 2 an 21 1 5，22 1 17，22 1 257，22 1 65537， 2342n 1(n N*)都是质数. 反例：F5 22 1 4294967297. 641 6700417

点评：事实上由归纳推理获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.不一定正确!

2、类比推理

【1】先把火星与地球作类比,发现火星存在一些与地球类似的特征,然后从地球的一个已知特征（有生命存在）出发,猜测火星也可能具有这个特征, 用表格的形式把空上过程表示出来.

显然：同归纳推理获得的结论一样，这样猜想出的结论未必可靠.不一定正确!

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1、类比推理的特征

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理.

(1)类比推理是由特殊到特殊的推理;

(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原则是要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象.

2、类比推理的特点

(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断正在研究中的事物的属性,它以旧有知识为基础,类比出新的结论.

(2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊属性.

(3)类比的结果具有猜测性.

利用“平面向量的性质”类比得“空间向量的性质”

例1、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．

b

B C E 222由c a b，猜想：S PEF S PDE S DEF S PDF

分析：两个类比对象的相似特征

点评：事实上类比推理由特殊到特殊的推理；以旧的知识为基础，推测新的结论；具有发现的功能；结论不一定成立!

类比推理的过程：从具体问题出发————>观察分析、比较联想————>归纳类比————>提出猜想

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例2、传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则，把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.

要求：1、每次只能移动1个圆环；

2、较大的圆环不能放在较小的圆环上面.

如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.

请你试着推测：把64个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?

把n个圆环从1号针移到3号针最少需要移动多少次?

例3、四色猜想：每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域着上不同色.

猜想来源：1852年，英国人弗南西斯·格思里为地图着色时，发现了四色猜想.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.

例4、哥尼斯堡七桥问题

猜想来源：18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结， 城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

总结：合情推理 归纳推理

合情推理

类比推理

通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.

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练习：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hct1.html