常微分方程复习题目

一、填空题

1、已知y?c1e?x?c2e?4x是方程y???5y??4y?0的通解,则满足初始条件y(0)?2,y?(0)?1的特解为_____________.

2、?y????e?2xy??0 是 阶微分方程。

33、微分方程?x?xy2?dx?2xydy?0是 （类型）微分方程。 4、微分方程?1?ex?dy?yexdx?0的通解为 。

5、 一曲线经过原点，且曲线上任意一点?x,y?处 的切线斜率为2x，则曲线方程为_____________________。 6、f(x,y)连续及fy(x,y)连续是保证方程

dydx?f(x,y)的初值解存在且唯一的_____________条件.

7、对于n阶齐线性方程x(n)?a1(t)x(n?1)???an(t)x?0存在且至多存在_____________个线性无关的解. 8、方程(dydx)?x2dydx?3y2?0是_____________阶微分方程。

dydx?f(x,y)存在唯一的解y??(x)，定

9、如果f(x,y)在R2上连续且关于y满足利普希兹条件，则方程

义于区间x?x0?h上，连续且满足初始条件?(x0)?y0，其中h? ，M?maxf(x,y)。

(x,y)?R10、若xi(t)(i?1，2，……，n)是齐线性方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。

11、若?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有关系 。 12、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是 。 13、n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．

14、方程y???xy??x2y?0的等价方程组是 ． 二、选择题

1、下列等式中为微分方程的是 （ ） A．u?v?uv???uv?? B．

dydx?e?xdy?edx?x? C. ?u?v?'?u'?v' D. y'?e?sinx

x2、（ ）不是变量可分离微分方程。 A．y??1?y1?x B．y??y?xy?1 C．ydx?xdy?0 D．

22dxy?dyx?0

3、（ ）是一阶线性微分方程。 A．xy??y2 B．y??y C．y??21y?x D． y??e

y- 1 -

4、微分方程y???2y??8y?0的通解为 （ ）

A．y?c1e4x?c2e?2x B．y?c1e?4x?c2e2x C．y?c1?e4x?e?2x??c2 D． y?3e?4x?e2x 5、微分方程y???y?0的满足初始条件yx?0?1,y?x?0?2的特解为 （ ）

A．y?cosx?sinx B．y?cosx?2sinx

C．y?x2?2x?1 D． y?c1cosx?c2sinx ?dx??x?y?1??dt 6、线性方程组?的奇点是

dy??2x?7y?19??dtA．（0，0） B. ????47?,? C. (1,1) D. (0,1) 33?7、矩阵??2?19??的特征值有 2?A．5，-1 B. -5，1 C. -5，-1 D. 5，1

8、对于非齐次微分方程x''?3x'?4x?f(t)，设f(t)?(t2?t?1)e2t，其中a0,......,an为常数，那么方程有形如（ ）的特解。

A．?a0t2?a1t?a2?e2t B. t?a0t2?a1t?a2?e2t C. ?a0t?a1?e D. ?a0t2?a1t?a2?et

2t??x?0的任一非零解有（ ）零点． x9、方程?（A）有无穷多个 （B）只有两个 （C）只有一个 （D）无 10. 方程

dydx2?3y3过点(0,0)的解（ ）．

（A）只有一个 （B）只有两个 （C）有无数个 （D） 只有三个

11、（ ）是一阶线性微分方程。 A．xy??ydydx2 B．y??y C．y??21y?x D． y??e

y12、方程?xcosy的所有常数解是（ ）．

2 （A）y?0 （B）y??2 （C）y?3?2 （D）y??2?k?,k?0,?1,?2,?

13、（ ）不是变量可分离微分方程。 A．y??1?y1?x B．y??y?xy?1 C．ydx?xdy?0 D．

22dxy?dyx?0

- 2 -

?dx??2x?y?1??dt14、线性方程组?的奇点是

?dy?2x?7y?15??dtA．（0，0） B. ????1?,2? C. (1,1) D. (0,1) 2?15、矩阵??1?22??的特征值有 1?A．3，-1 B. -3，1 C. -3，-1 D. 3，1

16、对于非齐次微分方程x''?5x'?6x?f(t)，设f(t)?(t2?t?1)e2t，其中a0,......,an为常数，那么方程有形如（ ）的特解。

A．?a0t2?a1t?a2?e2t B. t?a0t2?a1t?a2?e2t C. ?a0t?a1?e D. ?a0t2?a1t?a2?et

2t三、求下列各微分方程的通解或在初始条件下的特解（一阶） 16、(xy?1)ydx?xdy?0; 17、

dydx?yx?cos2yx,y?1??0

16、xdy?(y?x2y4)dx?0。 17、xy??xtan四、解方程组

?dx?dxt?x?2y?x?2y?e???dt?dt1、设齐次方程组 ?及非齐次方程组 ?

?dy?4x?3y?dy?4x?3y???dt?dtyx?y?0

（1）求齐次方程组的基矩阵；

（2）求齐次方程组满足?(0)??的解?(t)；

（3）求非齐次方程组满足初值条件（x(0),y(0)）=(0,1)的解（x(t),y(t)）. ?dx?dxt?x?4y?x?4y?e???dt?dt2、设齐次方程组 ?及非齐次方程组 ?

dydy???2x?3y?2x?3y???dt?dt（1）求齐次方程组的基矩阵；

（2）求齐次方程组满足?(0)??的解?(t)；

（3）求非齐次方程组满足初值条件（x(0),y(0)）=(0,1)的解（x(t),y(t)）.

五、求下列微分方程（高阶）（19，20和21中选作一题，做对得10分）

- 3 -

1、y???2y??y?e2t 2、y???3y??4y?0,y?0,y?x?0??5

x?0?x???2x?2y?2x23、分析方程组?的零解的渐近稳定定性. 2?y'??2x?y?2y4、求解方程x''?4x'?4x?et?e2t?1 5、y???4y??5y?0,y?0,y?x?0??6

x?0?x???x?2y?x26、分析方程组?的零解的渐近稳定定性. 2?y'??2x?3y?y六、证明题

1．设a0(t),......,an(t),f(t) (?0)分别为在区间[a,b]上的连续函数，证明： （1）n阶微分方程x(n)?a0(t)x(n?1)?......?an(t)x?f(t)有n+1个线性无关的解； （2）方程的任意n+2个解必线性相关。

2、设A(t),f(t) (?0)分别为在区间[a,b]上连续的n?n矩阵和n维列向量，证明： （1）方程组X'?A(t)X?f(t)有n+1个线性无关的解； （2）方程组的任意n+2个解必线性相关。 答案： 一、填空题

1、C1?3,C2??1 2、二

3、可分离变量的、一阶非线性、非恰当型、不显含x的等都正确。 4、y?C1?e2x

5、 y?x （填y=x2+C得1分） 6、 充分条件 7、 n 1、2阶

bM2、h?min(a,)

3、w(t)?a1(t)w(t)?0 4、?(t)??(t)C。

'- 4 -

?M??N5、

?y?xN??(x)。

6、n维线性空间．

?d?7、???dxx2dx

?2??dx??xx2?x2x1

二、选择题

8、D 9、B 10、A 11、A 12、B 13、B 14、A 15、A 8、A 9、B 10、A 11、D 12、B 13、B 14、A 15、B

三、求下列各微分方程的通解或在初始条件下的特解

1: 解:(xy?1)ydx?xdy?0化为ydx?xdy?xy2dx?0从而ydx?xdyy2?xdx?0d?x?1?2y??dx?0??2于是通解为x12y?2x?C.2分5分8分10分- 5 -

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