中国石油大学物理答案15章习题详细答案 03

习题15

15-3 求习题15-3各图中点P处磁感应强度的大小和方向。

1 2 I (a) a 1 2 I I I P ? a (c)

? P r P ? r I (b) 习题15-3图

[解] (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：

?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0

4?a2B?对于导线2：?1??2??，因此B2?0

Bp?B1?B2??0I 4?a方向垂直纸面向外。

(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：

?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0?0，方向垂直纸面向内。

24?a4?r?I?I?对于导线2：?1?，?2??，因此B2?0?0，方向垂直纸面向内。

24?a4?rB?半圆形导线在P点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的

圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即

1?0I?0I，方向垂直纸面向内。 ?22r4r?I?I?I?I?I所以，Bp?B1?B2?B3?0?0?0?0?0，方向垂直纸面向内。

4?r4?r4r2?r4rB3?(c) P点到三角形每条边的距离都是

d?3a 6?1?30o，?2?150o

每条边上的电流在P点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是

B0??0I?cos300?cos1500??3?0I 4?d2?a9?0I 2?a故P点总的磁感应强度大小为

B?3B0?方向垂直纸面向内。

15-4 在半径为R和r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕的平面线圈，通有电流I，方向如习

题15-4图所示。求中心O处的磁感应强度。

[解] 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 NI圆盘，设单位径向长度上线圈匝数为n

ROI

N n?R?r建立如图坐标，取一半径为x厚度为dx的 圆环，其等效电流为:

rxdxdI?ndx?dB0?NIdx R?r??0dI2x?0NIdx2x(R?r)R

所以B0??dB0??NI?0NIdx2x(R?r)r??0NI2(R?r)lnR r方向垂直纸面向外。

15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I=5.0A，圆筒半径 R=1.0?102m如习题15-5图所示。

求轴线上一点的磁感应强度。

[解] 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元dl

dl则dI?I

?R则dl在O点所产生的磁场为

?dI?IdldB?0?022

2?R2?R又因，dl?Rd?

?dI?Id?所以，dB?0?02

2?R2?RdBx?dBcos?，dBy?dBsin?

dl??yxdB半圆筒对O点产生的磁场为： 根据对称性，Bx??dBx?0，By??dBy??0I ?2R所以B只有y方向分量，即B?By??0I，沿y的负方向。 ?2R15-6 矩形截面的螺绕环，尺寸如习题15-6图所示，均匀密绕共N匝，通以电流I，试证明通过螺绕环

截面的磁通量为 ???0NIhlnD12?D2

[证明] 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元dS?hdx

以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r，

D2D ?r?1，

22?B?dl?2?rB??0NI

B??0NI 2?rdΦ?BdS 所以

??d??BdS????DD122?0NI?hNID1hdr?0ln

22?r2?D2习题15-6图

15-7长直导线aa?与半径为R的均匀导体圆环相切于点a，另一直导线bb?沿半径方向与圆环接于点b，

如习题15-7图所示。现有稳恒电流I从端a流入而从端b流出。 (1)求圆环中心点O的B；(2)B沿闭合路径L的环流B?dl等于什么?

?Laa?12R?O12003b4b?

[解] (1)B0?B1?B2?B3?B4 其中: B4?0 B1? B2??0I 4?R2?0I21?0I3I2l3? ,,B3?Il232R32R3故B2与B3大小相等,方向相反,所以B2?B3?0 因而B0?B1??0I,方向垂直纸面向外. 4?R2II)??0 33Y I1 I2 O 45? 45? X (2)由安培环路定理,有:

?B?dl??0?Ii??0(I?L15-8．如习题15-8图所示，半径为R的1/4圆弧线圈通有电流I2，置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过圆的直径，求圆弧受到长直线电流I1的磁场力。

解：在I2上任取以电流元I2dl，与x轴的夹角为?，则电流元所受到的磁力为：

习题15-8图

dF?I2Bdl???0I1I2Bdl2?x

?0I1I2BRd?2?Rcos??IIB?012d?2?cos?方向沿O点与电流元的连线。 根据对称性可知，Fy=0

?F?Fx??dF??4??4??0I1I2B4?0I1I2Bcos?d?2?cos?

因此所受的磁力为

?0I1I2B4，沿x轴的正方向。

15-9．磁场中某点处的磁感应强度B?0.40i?0.20jT，一电子以速度v?0.5?106i?1.0?106jm?s?1通过该点。求作用在该电子上的磁场力。

[解] 由洛仑兹力公式,有

F?qv?B??1.6?10?19ijk0.51.00?106?8?10?14kN 0.4?0.2015-10．在一个圆柱磁铁N极正上方，水平放置一半径为R的导线圆环，如习题15-10图所示，其中通有顺时针方向(俯视)的电流I。在导线处的磁感应强度B的方向都与竖直方向成?角。求导线环受的磁场力。

[解] 圆环上每个电流元受力为dF?Idl?B

将B分解为z分量和径向分量：B?Bz?Br Bz?Bcos?，Br?Bsin?

所以 dF?Idl??Bz?Br??Idl?Bz?Idl?Br dFz?Idl?Br dFr?Idl?Bz

对于圆环?dFr?0 圆环所受合力为

2?F?Fz?IBr?dl?IBsin??Rd??2?RIBsin?，方向

0沿z轴正向。

15-11．如习题15-11图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为a和 b，导体内通有电流I，且电流在横截面上均匀分布。求证导体内部(a

B?2?b2?a2??0I?r2?a2 r [解] 作图示的安培环路有

?LB?dL??0?Ii

因为导体电流在横截面上均匀分布，所以j?I

?b2?a2??即

?LB?dL??0j?(r2?a2)

?0I(r2?a2)所以 B?

2?(b2?a2)r15-12．一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀磁场中，如习题15-12图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力的大小(已知线圈法线方向与B的方向相同)。

?Tl?T?F

[解] 取半个圆环为研究对象,受力如图所示,由平衡条件,有:2T?F，半圆所受到的磁力F等效于长为2R的载流直导线，在磁场中受力：

F?BIl?2BIR

所以T?FBIl??BIR 2215-13．厚为2d的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j，求空间磁感应强度的分布。

[解] 建立如图所示的坐标系

对板内，取安培环路abcd 则

ya?d?B?LB?dL?2Bl??02xlj

adbb?c?x所以 B??0jx

对板外,取安培环路a?b?c?d?,则有:

c?LB?dL??0I

即 2Bl???0jl?2d 所以B??0jd

方向：在平板对称面的左则沿竖直向上，在对称面的右侧沿竖直向下。

15-14．一根半径为R的长直导体圆柱载有电流I，作一宽为 R长为l的假想平面S，如习题15-14图所示。若假想平面S可在导体直径和轴OO?所确定的平面内离开OO?轴移动至远处，试求当通过面S的磁通量最大时平面S的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。

x[解] r≤R时：?B1?dl??0I???0I?r2 2?R

?Irr2B12?r??0I2 即B1?02

2?RRr≥R时： ?B2?dl??0I B22?r??0I 即B2??0I 2?r当假想平面的内边界离OO?轴x时

R?IR?x?I?0Il12?0IlR?x200??????r?l?dr??l?dr?R?x?ln ?R2?r2x2?R222?R2?R?Il?Ild?1令???0 ? ??02?2x?0??0

dx4?R2?x?Rx1?5?15?1R x2??R(舍) 22??0Il?0Il?d2?对?求二阶导数 <0 ????222?dx2??x?R????2?R?因此x1?5?1R时，有最大值。 2即：平面的内边界离OO?轴

5?1R时，有最大值。 215-15．将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，已知平面两侧的磁感应强度分别为B1和B2(如习题15-15图所示)。求载流平面上单位面积所受磁场力的大小和方向。

[解] 由图可知，B2>B1，说明载流平面的磁场B的方向与所放入的均匀磁场B0的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为j。则

1B1?B0－B?B0??0j

21B2?B?B0?B0??0j

2由此二式解得B0?1?B1?B2? ， j?1?B2?B1?

?02在载流平面上沿电流方向取长为h、宽为dl的条形面积，面积dS=hdl，面积上电流dI=jdl，

此电流受到的磁力大小为

dF?BhdI?Bjhdl?BjdS

载流平面单位面积所受磁力大小为

dF112?Bj?B2?B1B2?B1?B2?B12 dS2?02?0??????方向为垂直于平面向左。

15-16．电流为I2的等边三角形载流线圈与无限长直线电流I1共面，如习题15-16图所示。求：(1)载

流线圈所受到的总的磁场力；(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点c并垂直于纸面方向的直线为轴)。

[解] ab边到长直导线的距离为d，电流I1在ab边上的磁场为

B??0I1 2?d方向垂直纸面向内。此磁场对ab边的作用力为

Fab?I2Bl?方向向左。

?0I1I2l 2?d?0I1， dl受2?x在ac边上任取一dl,设dl到I1的距离为x，则I1在dl处产生的磁场为B?到的磁力dF?I2dl?B，又因为dl?B

所以dF?I2dlB??0I1I2dx，

2?xcos300所以Fac??d?3l2d?0I1I2dx?0I1I23l?ln(1?)，方向如图所示。

2d3?x3?同理，可求得Fbc?Fac，方向如图所示。 则线圈受到的合力为：

?Fy?0，

?Fx?Fab?Facx?Fbcx???0I1I2??l13l??ln(1?)? ?2d?3?2d?II因此线圈所受的磁场力大小为012??l13l?ln(1?)?，方向沿x轴负向。 ??2d2d3??（2）因为dPm?IdSn n的方向垂直直面向外 所以dPm∥//B

又因为dM?dPm?B，所以dM?0，所以M?0

15-17．半径为a、线电荷密度为? (常量)的半圆，以角速度?绕轴O?O?匀速旋转，如习题15-17图所示。求：(1)在点O产生的磁感应强度B；(2)旋转的带电半圆的磁矩Pm。

[解] （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量dq???dl??ad?

旋转后形成电流元dI?n?dq?由圆环B???a?dq?d? 2?2?2R?x??0IR22232?s 得 R?asin? x?aco?dB?2a2?sin2??a2?cos2???0a2?sin2??dI?32??0a2?sin2?2a3dI??0??2sin?d?4?

?0??2??? 方向向上 sin?d??004?8??a3sin2?22d? （2）因为Pm?ISn， dPm?SdI??asin?dI?B??dB???2Pm?????a3sin2?20d????a32?0sin?2?d?????a34，方向向上。

15-18．有一均匀带电细直棒AB，长为b，线电荷密度为?。此棒绕垂直于纸面的轴O以匀角速度?转动，转动过程中端A与轴 O的距离a保持不变，如习题15-18图所示。求：(1)点O的磁感应强度B；(2)转动棒的磁矩Pm； (3)若a>>b，再求B和Pm。

[解] (1)均匀带电直棒AB绕O轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元

dq??dr,等效电流为：dI?它在O点的磁感应强度

dq????dr 2?2?dB????0dr

2r4?r???0a?bdr??0?a?bB??dB0??ln（??0，方向垂直纸面向里） ?a4?r4?a??0dIOAa1(2)dpm??r2dI???r2dr

2a?b1pm??dpm????r2dr

a2dqb?B???[(a?b)3?a3]/6（??0，方向垂直纸面向里）

(3)若a>>b，则有：

ln???b?0?qa?bb(?) ?，B?04?a4?aaa与带电粒子q??b情况相同

a??b时,(a?b)3?a3(1?3b/a),则有

pm???6a33b11??b?a2(?q?a2) a22与点电荷的磁矩相同

（??0，方向垂直纸面向里）

15-19. 一平面圆盘，半径为R，表面面电荷密度为?。设圆盘绕其中心轴转动的角速度为?，匀强磁场B的方向与转轴的夹角为?，试求圆盘所受的力矩。

解：在半径为r处取宽度为dr的圆环，其等效电流为：

ω

B ?r dI???rdr

其磁矩为

dPm???rdr??r2en dM?dpm?B

dM???rdr??r2Bsin?R

1M?????r3Bsin?dr????Bsin?R4

04

15-20．有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为R2和R1，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为a(R2>a+ R1>2 R1)，如习题15-20图所示。电流I沿轴向流动，在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。

[解] 根据叠加原理，此系统可看作由半径为R2，其上电流密度为j?I的实心导体，与半径为R1的，电流2?R2?R12??密度为-j的实心导体所构成的。

设j沿z轴正方向，根据安培环路定理，半径为R2电流均匀分布的导体，在O点产生的磁场为0，而半径为R1电流均匀分布的导体，在O点产生的磁场为

?0?R12j?0?R12?0IR12I，BO???22222?a2?a?R2?R12?R2?R1a????垂直于轴线向外

BO''?BR2O''?BR1O''

由环路定理：BR2O''??0Ia22?(R2?R12)

B所以，B

R1O''?0

O''?BR2O''??0Ia22?(R2?R12)，方向垂直于轴线向里。

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