2016届湖南省东部六校高三上学期（12月）联考数学（理）试题 word版

2016届湖南省东部六校高三上学期（12月）联考数学（理）试题 总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2015年12月8日

由株洲市二中高三理科数学备课组命制

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案） 1．已知全集U=R，集合A??xy?lg(x?1)?，

集合B??yy?x2?2x?5?，

则A?B?（ C ）

A．? B．（1，2] C．[2,??) D．(1,??) 2．已知复数z满足?3?4i?z?25，则z?（ D ）

A．?3?4i B．?3?4i C．3?4i D．3?4i 3．设α为锐角，若cos(???6)＝

4?5，则sin(2??3)的值为（ B ） A．

1225 B．2425 C．-2425 D．-1225

4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C ) A.

815 B.4319 C.5 D.9 ．已知双曲线x2y25a2?b2?1 （a?0，b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1、F2为

直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 ( C )

x2y2x2y2x2y2 A．16?9?1 B．3?4?1 C．9?16?1

x2y2D．4?3?1

6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ） A．q?MMNMi B．q?N C． q?M?N D．q?M?N

7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D ) A．π B．

俯视图

11正视图

2 侧视图

R?12

πππ C． D． 2362228．若a,b?R，命题p:直线y?ax?b与圆x?y?1相交；命题q:a?b?1，则p 是

q的 ( A )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．已知f(x)是偶函数，它在?0,???上是减函数，若f(lgx)?f(2)，则x的取值范围是（ C ） A．(111,1) B．(0,)?(1,??) C．(,100) 100100100D．?0,1???100,???

?x?y?22?0,??10．已知不等式组?x?22,表示平面区域?，过区域?中的任意一个点P，作圆

???y?22x2?y2?1的两条切线且切点分别为A,B，当?PAB的面积最小时，cos?APB的值为

（ B ） A．

3713 B． C． D．

282411．如上右图所示，已知点G是?ABC的重心，过点G作直线与AB,AC两边分别

????????????????? 交于M,N两点，且AM?xAB,AN?yAC,则x?2y的最小值为（ C ）

A M G

B

N C

A．2 B．

3?2213 C． D．

33412．设点P在曲线y?2ex上，点Q在曲线y?lnx?ln2上，则|PQ|的最小值为 ( D ) A．1－ln 2 B.2 (1－ln 2) C．2(1?ln2) D.2(1＋ln 2)

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．如果(3x?21 ． 14．函数

13x2)n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中

1的系数是 x3y?3sinx?3cosx

(x?[0,?2]) 的单调递增区间是

[0,] .

315．对于问题：“已知关于x的不等式ax2?bx?c?0的解集为(?1,2)，解关于x的不等式ax2?bx?c?0”，给出如下一种解法：

解：由ax2?bx?c?0 的解集为(?1,2)，得a(?x)?b(?x)?c?0的解集为(?2,1)， 即关于x的不等式ax2?bx?c?0 的解集为(?2,1). 参考上述解法，若关于x的不等式

2?11kx?b则关于x的??0的解集为(?1,?)?(,1)，

32x?ax?c不等式

kxbx?1_______． （-3，-1）?（1，2）??0的解集为_____

ax?1cx?1x2y216．已知椭圆C的方程为??1，A、B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上不

43同于A、B的动点，直线x?4与直线PA、PB分别交于M、N两点，若D(7,0)，则过

D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为 (1,0) ．

三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程） （一）必做题： 17．（本小题满分12分）

株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20，25)，[25，30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，

[45,50)，[50,55)等七组,其频率分布直方图如下图所示。已知[35,40)之间的参加者有8

人.

（1）求N和[30,35)之间的参加者人数N1；

（2）已知[30,35)和[35,40)之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?

（3）组织者从[45,50)之间的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为,求的分布列和均值.

解：（1）年龄在[35,40)之间的概率为0.04?5=0.2所以总人数N?因为1-(0.01?0.03?0.04?0.03?0.02?0.01)?5?0.3 所以年龄在[30,35)之间的志愿者人数为40?0.3?12 ???4分 （2）记事件B=从年龄在[30,35)之间选出的人中至少有2名数学教师 因为年龄在[30,35)之间的人数为12，所以P(B)?1?8?40， 0.2C10C1222?7 22记事件C=从年龄在[35,40)之间选出的人中至少有1名数学教师 因为年龄在[35,40)之间的人数为8，所以P(C)?1?C6C822?13 28则 P（A）= ???????????8分

（3）年龄在[45，55)之间的人数为6人，其中女教师4人

?的可能取值为1，2,3 P(??1)?C4C2C6312CCC131?;P(??2)?432?;P(??1)?43? 555C6C6213

所以分布列为

均值为

12分

18．（本小题满分12分）

已知?ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积S?43，?B?600，且

a2?c2?2b2；等差数列?an}中，且a1?a，公差d?b．数列?bn?的前n项和为Tn，且

Tn?2bn?3?0，n?N?．

（1）求数列?an?、?bn?的通项公式；

?an n为奇数c? （2）设n?， 求数列?cn?的前2n?1项和P2n?1．

bn为偶数?n【解析】：（1）?S?1acsinB?43， ?ac?16 2 又 a2?c2?2b2， b2?a2?c2?2accosB ? b2?ac?16， ?b?4

从而 (a?c)?a?c?2ac?64 ?a?c?8 ?a?c?4 故可得：?222?a1?4， ∴an?4n．

?d?4 ∵Tn?2bn?3?0， ∴当n=1时，b1?3， 当n≥2时， Tn?1?2bn?1?3?0， 两式相减， 得bn?2bn?1,?n?2?

∴数列?bn?为等比数列， ∴bn?3?2n?1． ?????????6分

?4n,n为奇数 （2）cn??n?1 ．

3?2,n为偶数? p2n?1??a1?a3?????a2n?1???b2?b4?????b2n?

n61?44?42n?1n?1???????? ??? =

21?4

=22n?1?4n2?8n?2 ???????????12分

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面梯形ABCD中，AB//DC，平面PAD?平面ABCD，

?PAD是等边三角形，已知BD?2AD?4，AB?2DC?2BC?25，PM?mMC，

且m?0.

（1）求证：平面PAD?平面MBD； （2）求二面角A?PB?D的余弦值；

（3）试确定m的值，使三棱锥P?ABD体积为三棱锥P?MBD体积的3倍. （1）证明：在?ABD中，由于AD?2，BD?4，AB?25, ?AD?BD?AB,故AD?BD.

又平面PAD?平面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD， BD?平面ABCD，?BD?平面PAD，又BD?平面MBD， 故

平

面

222MBD?平面

PAD ???????????4分

（2）法一、如图建立D?xyz空间直角坐标系，D?0,0,0?,A(2，0，0)

0，3)，B(0，4，0)，BP?(1，?4，3)，AB?(?2，4，0)， P(1，4，0) DB?(0，? 设平面PAB的法向量n??x1,y1,z1?,

由??n?AB?0??2x1?4y1?0??

x?4y?3z?0n?BP?011?1???2323? 令y1?1,则x1?2,z1?, ?n??2,1,???. 33??

?? 设平面PBD的法向量m??x2,y2,z2?,

???m?DB?0?4y2?0?? 由?，令x2??3 ，?m??3,0,1

x?4y?3z?022?2?m?BP?0???n?m219??? cosn,m?????,?二面角A-PB-D的余弦值为

19n?m??219 ??????8分 19法二、由（1）知BD?平面PAD，所以平面PBD?平面PAD 过A作AE?PD交PD于E，则AE?平面PBD 再过E作EF?PB交PB于F，连结AF， 则?AFE就是二面角A?PB?D的平面角 由题设得AE?EPFMCD3,EF?25由勾股定理得：

AB AF?AE2?EF2?19 5 所以cos?AFE?EF2219219.?二面角A-PB-D的余弦值为 ??AF191919 ???????????8分

（3）VP?MBD?VM?PBD?

mmVC?PBD?VP?BCD m?1m?1?

VP?ABDm?1VP?ABDm?1S?ABDm?1??????2?3?m?2???????12分

VP?MBDmVP?BCDmS?BCDm20．（本小题满分12分）

x2y2??1上的任一点，从原点O向圆M：如图，已知M(x0,y0)是椭圆C:63?x?x0???y?y0?22?2

作两条切线，分别交椭圆于点P、Q.

（1）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值； Q y · M O P x

（2）试问OP2?OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 解析：（1）因为直线OP：y?k1x以及OQ：y?k2x与圆M相切， 所以

|k1x0?y0|1?k21?2,

22 化简得：(x0?2)k12?2x0y0k1?y0?2?0 222 同理：(x0?2)k2?2x0y0k2?y0?2?0，

所以k1、k2是方程(x0?2)k?2x0y0k?y0?2?0的两个不相等的实数根， ?2y0?2 k1?k2?2x0?2222x02y02122 因为点M(x0,y0)在椭圆C上，所以， ??1，即y0?3?x0632121?x01 所以k1k2?22?? ． ?????5分

x0?22 （2）OP?OQ是定值，定值为9． 理由如下：

法一：（i）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),

226?2x??y?k1x,?11?2k2,?1? 联立?x2y2解得? 2?1,?y2?6k1.??3?61?1?2k12?6(1?k12)6(1?k22)22 所以x?y?，同理，得x2?y2?，

1?2k121?2k222121 由k1k2??21， 222121226(1?k12)6(1?k22)? 所以OP?OQ?x?y?x2?y2?

1?2k121?2k2212))29?18k126(1?k1)2k1?9 ?? ?2211?2k11?2k11?2(?)22k16(1?(?22 （ii）当直线OP、OQ落在坐标轴上时,显然有OP?OQ?9，

综上：OP?OQ?9 ?????12分

22

法二：（i）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为k1k2??1122，所以y12y2， ?x12x224?x12y12??1??63 因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆C上，所以?2， 即 2?x2?y2?1?3?612?2y?3?x1??12， ??y2?3?1x222??2 所以(3?1212122，整理得x12?x2?6， x1)(3?x2)?x12x22242 所以y12?y2??3???12??12?22x1???3?x2??3，所以OP?OQ?9． 2??2?22 （ii）当直线OP、OQ落在坐标轴上时,显然有OP?OQ?9，

综上：OP?OQ?9． ?????12分

22

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ex，g(x)?mx?n. （1）设h(x)?f(x)?g(x).

① 若函数h(x)在x?0处的切线过点(1,0)，求m?n的值；

② 当n?0时，若函数h(x)在(?1,??)上没有零点，求m的取值范围； （2）设函数r(x)?【解析】

（1）由题意，得h?(x)?e?m，

所以函数h(x)在x?0处的切线斜率k?1?m，

又h(0)?1?n，所以函数h(x)在x?0处的切线方程y?(1?n)?(1?m)x， 将 ?4分

（2）当n?0，可得h'(x)?(e?mx)'?e?m，因为x??1，所以ex?①当m?xxx1nx，且n?4m(m?0)，求证：当x?0时，r(x)?1. ?f(x)g(x)点(1,0)代入，得

m?n?2.

??????????

1， e1x时，h'(x)?e?m?0，函数h(x)在(?1,??)上单调递增，而h(0)?1， e1111?m?0，解得m??，从而-?m?. eeee所以只需h(?1)?②当m?1x时，由h'(x)?e?m?0，解得x?lnm?(?1,??)， e当x?(?1,lnm)时，h'(x)?0，h(x)单调递减；当x?(lnm,??)时，h'(x)?0，h(x)单调递增.

所以函数h(x)在(?1,??)上有最小值为h(lnm)?m?mlnm， 令m?mlnm?0，解得m?e，所以.

1?m?e e，

综 ?8分

上所述

1??m?ee ????

.

nx1nx114xm??x??x?（3）由题意，r(x)?，

nf(x)g(x)ex?4ex?m而r(x)?14xx等价于e(3x?4)?x?4?0， ??1xx?4e令F(x)?ex(3x?4)?x?4，

则F(0)?0，且F'(x)?ex(3x?1)?1,F'(0)?0， 令G(x)?F'(x)，则G'(x)?e(3x?2)， 因x?0， 所以G'(x)?0

所以导数F'(x)在[0，??)上单调递增，于是F'(x)?F'(0)?0， 从

而

函

数

xF(x)在[0，??)上单调递增，即

F(x)?F(0)?0. ???????????12分

（二）选做题：（考生从以下三题中选做一题） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．

（1）求证：DE=DB?DA； （2）若DB=2，DF=4，试求CE的长． （1）证明：连接OF．

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．

A

所以∠OFC+∠CFD=90°． 因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．

F 因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°． 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE． 因为DF是⊙O的切线，所以DF=DB?DA．

所以DE=DB?DA． ?????? 5分 （2）解：?DF=DB?DA，DB=2，DF=4．

?DA= 8， 从而AB=6， 则OC?3．

又由（1）可知，DE=DF=4， ?BE=2，OE=1．

从而 在Rt?COE中，CE?CO2?OE2?10． ??????10分

2

2

2

2

C

O E B D

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是??4cos?．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的

?2t?x?m??2正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：?（是参数）． ?y?2t??2（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|?14，试求实数m值． （2）设M?x,y?为曲线C上任意一点，求x?2y的取值范围． 解：（1）曲线C的极坐标方程是??4cos?化为直角坐标方程为： x?y?4x?0 直线的直角坐标方程为：y?x?m

22?14?22??圆心到直线l的距离（弦心距）?d?2?? ?2?2 ??圆心(2,0)到直线y?x?m的距离为 ：

2|2?0?m|2?22?|m?2|?1

?m?1或m?3 ??????5分 （2）曲线C的方程可化为（x?2)?y?4，其参数方程为： ?22?x?2?2cos?(?为参数）

?y?2sin?

?M?x,y?为曲线C上任意一点，x?2y?2?25sin(???)

?x?y的取值范围是[2?25,2?25] ??????10分

24．选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?2x?a?x?b，

（1） 当a?1,b??1时，求使f(x)≥22的x取值范围； （2） 若f(x)?1恒成立，求a?b的取值范围。 32x解：（1）由于y?2是增函数，f(x)?22等价于|x?1|?|x?1|? ①当x?1时，|x?1|?|x?1|?2，则①式恒成立，

3． 2

②当?1?x?1时，|x?1|?|x?1|?2x，①式化为2x? ?当x??1时，|x?1|?|x?1|??2，①式无解． 综

上

，

33，即?x?1， 24x取值范围是

3[,??) ?????? 5分 4 （2）f(x)? 而

1?|x?a|?|x?b|??5 32由

|x?a|?|x?b|?|x?a?x??|?b|?ab?|?b|x?a|?|x?b |?a?ba? ? 要②恒成立，只需?|a?b|??5，可得a?b的取值范围是 ????10分

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