01质点运动学习题解答

第一章 质点运动学

一 选择题

1． 下列说法中，正确的是 （ ） A. 一物体若具有恒定的速率，则没有变化的速度 B. 一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率 C. 一物体具有恒定的加速度，则其速度不可能为零

D. 一物体具有沿x轴正方向的加速度，其速度有可能沿x轴的负方向 解：答案是D。

2. 某质点作直线运动的运动方程为x 3t 5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 （ ） A. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 B. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 C. 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 D. 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 解：答案是D

3. 如图示，路灯距地面高为H，行人身高为h，若人以匀速v背向路灯行走，则人头影子移动的速度u为（ ）

H hHhH

v B. v C. v D. v HH hHh解：答案是B 。 灯 设人头影子到灯杆的距离为x，则 A.

x shH

，x s， xHH hu

dxHdsH

v dtH hdtH h

所以答案是B 。

s

选择题3图

4. 一质点的运动方程为 r x(t)i y(t)j，其中t1时刻的位矢为 r1 x(t1)i y(t1)j。问质点在t1时刻的速率是 （ ）

A.

dr1dt

B.

dr1dt

C.

drdt

D.

t t1

(

dx2dy) ()2dtdt

t t1

解 根据速率的概念，它等于速度矢量的模。

本题答案为D。

5. 一物体从某一确定高度以v0的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为vt ，那么它的运动时间是 （ ）

v v0v-v0

A. t B. t C.

g2g

vt2 v02

gvt2 v02

D.

2g

解：答案是C 。

22

vty vt2 v0 gt，t vt2 v0/g，所以答案是C 。

6. 质点作圆周运动时，下列说表述中正确的是 （ ） A. 速度方向一定指向切向，加速度方向一定指向圆心 B. 速度方向一定指向切向，加速度方向也一般指向切向 C. 由于法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零 D. 切向加速度仅由速率的变化引起 解 答案是D。

质点作圆周运动时，一般有切向加速度和法向加速度，总加速度是它们的矢量和，加速度的方向一般既不指向圆心也不指向切向。A、B和C显然都是错误的，而切向加速度是由速度大小的变化引起的，因此D是正确的。

7. 在做自由落体运动的升降机内，某人竖直上抛一弹性球，此人会观察到 （ ） A. 球匀减速地上升，达最大高度后匀加速下落 B. 球匀速地上升，与顶板碰撞后匀速下落 C. 球匀减速地上升，与顶板接触后停留在那里 D. 球匀减速地上升，达最大高度后停留在那里 解：答案是B。

升降机内的人与球之间没有相对加速度。所以答案是B。

8. 某人在由北向南行驶，速率为36 km h–1的汽车上，测得风从西边吹来，大小为10 m

s–1，则实际风速大小和方向为：（ ）

A. 0 –1

B. 14.14 m s，西南风 C. 10 m s–1，西南风 D. 14.14 m s–1，西北风

解：答案是D。

如图所示，由题意可知，已知牵连速率v0为36 km h–1（即10 m –1–1–1 s），而相对速率v 为10 m s，所以绝对速率v 为14.14 m s，

选择题8图

方向指向东南。所以答案是D。

二 填空题

1. 一质点沿x轴运动，运动方程为x=3+5t+6t2 t3 (SI单位)。则质点在t=0到t=1s过程中的平均速度v=______________m/s；质点在t=1s时刻的速度v=______________ m/s。

xx1 x0

5 6 1 10 m/s。 t1 0

dx

质点在任意时刻的速度v 5 12t 3t2，因此质点在t=1s时刻的速度

dt

解 根据平均速度定义,

v(1) 5 12 1 3 12 14 m/s。

2. 两辆车A 和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离 x 与行驶时间 t 的函数关系式：xA 4t t2，xB 2t2 2t3 (SI单位)，则：

(1) 它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是______________； (2) 出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是____________________； (3) 出发后，B 车相对A 车速度为零的时刻是__________________． 解：答案：（1）A ；（2）t = 1.19 s ；（3）t = 0.67 s （1）两车的速度分别为

vA

vB

dxA

4 2t dt

dxB

4t 6t2 dt

可得：t = 0时 vA vB ，即刚开始时A车行驶在前面。 (2) 由xA xB，可得t = 1.19 s (3) 由vA vB，可得 t = 0.67 s

3. 一质点以初速v0，抛射角为 0作斜抛运动 ，则到达最高处的速度大小为_____，切向加速度大小为______，法向加速度大小为_______，合加速度大小为_______。

解：答案：v0cos 0； 0； g； g。

解 在最高点，垂直方向速度为零，只有水平速度，因此最高处的速度大小为v0cos 0。在最高点切向就是水平方向，法向就是竖直向下方向，因此切向加速度大小为0，法向加速度大小为g，合加速度大小为g。

4. 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度v的方向与水平方向夹角为30 。则物体在A点切向加速度大小为________m/s2。

填空题4图

答案：4.9

解 本题是斜抛运动，在运动过程中加速度始终不变，因此物体在A点的加速度大小就是重力加速度的大小g=9.8m/s2。切向加速度沿速度反方向，大小为gcos60 =4.9m/s2。

5. 一质点从静止出发沿半径为3 m的圆周运动，切向加速度大小为3 m s–2，则经过 s后它的总加速度恰好与半径成45°角。在此时间内质点经过的路程为m，角位移为 rad，在1s末总加速度大小为 m s–2

解：答案为：1s； 1.5 m； 0.5 rad； 4.2 m s–2。 (1) 总加速度恰好与半径成45°角时a n= at ，根据

2

v2(att)an at

RR

t

R

1 s at

(2) s

1

att2 1.5m 2

ss

2π 0.5rad 2πRR

v2(aτt)2

an 3m s 2，

RR

2

a at2 an 32m s 2 4.2m s 2

(3) (4) 1s末

6. 若地球的自转速率快到使得在赤道上的法向加速度为g，则一天的时间应为时。（地球半径R = 6.4 10 6m） 解：答案为：1.41小时。

简要提示：由： 2R g，

g， R

T

2π

2π

R

5075s 1.41h g

7. 一列车以5.66 m s–2的加速度在平面直铁道上行驶，小球在车厢中自由下落，则小球相对于车厢中乘客的加速度大小为________ m s–2，加速度与铅垂直的夹角为_______。

解：答案为：11.3 m s–2；300。

简要提示：如图所示，小球相对于地面的加速度，即绝对加速度是g。列车的加速度，即牵连加速度a0，大小为a0 = 5.66 m s–2，所以小球的0 相对加速度a 为

a g a0

2

得a 的大小为： a g2 a0 11.3m s 2

与竖直方向的夹角 为 sin 1(a0/a ) 30

三 计算题

1. 半径为R的轮子在水平面上以角速度 作无滑动滚动时，轮边缘上任一质点的运动学方程为r ( Rt Rsin t)i (R Rcos t)j，其中i、j分别为x，y直角坐标轴上的单位矢量，试求该质点的速率和加速度的大小。

x Rt Rsin t

解：质点运动的分量方程为

y R Rcos t

vx

dydx

R Rcos t，vy Rsin t dtdt

v vx2 vy2 ( R Rcos t)2 ( Rsin t)2 R(1 cos t)2 sin2 t

v 2 R

ax

sin t

2

dvydvx

2Rsin t，ay 2Rcos t dtdt

a ax2 ay2 2R

2. 一质点运动的加速度为a 2ti 3t2j，初始速度与初始位移均为零，求该质点的运动学方程以及2s时该质点的速度。

11

解：答案为：r t3i t4j；v (4i 8j)m s-1

34

简要提示：已知质点运动的加速度，可得

质点的速度为 v v0 adt t2i t3j

11

运动方程为 r r0 vdt t3i t4j

34所以，2秒时质点的速度为： v (4i 8j)m s-1

3. 一艘正以v0匀速直线行驶的舰艇，关闭发动机后，得到一个与舰速反向、大小与舰

速平方成正比的加速度，即dv/dt= kv2，k为一常数，求证舰艇在行驶距离x时的速率为v=v0e kx。

dv

解：已知： kv2

dt

dvdvdxdv

对上式分离变量 v，得到

dtdxdtdx

dvv kv2 dx

dvdx

kv

xvdv

两边积分 dx

0v0kv11v

得 x (lnv lnv0) ln

kkv0

v v0e kx

4. 一质点初始时从原点开始以速度v0沿x轴正向运动，设运动过程中质点受到的加速

度a = kx 2，求质点在x轴正向前进的最远距离。

解：已知：x0 = 0，v0和a = kx 2，运用分离变量，得：

v

两边积分： 得：

dv

kx2 vdv kx2dx dx

x0

v

v

vdv kx2dx

122(v v0) kx3/3 2

2

当v = 0时，质点前进的距离最远，即：xmax (3v0/2k)1/3

5. 表面平直的山坡与水平面成30°，在山脚用炮轰山腰处的目标，已知v0 = 150 m s–1，炮筒与水平面成60°，求击中的目标离炮位有多远？

解：取坐标如图，以炮位为原点，目标为P，离炮位的距离为s。则有

y xtan30°

由轨迹方程 y xtan60°联立解得

2

2v0cos260°

gx2

2v02cos260°

(tan60° tan30°) 1326m x

g

y xtan30° 765.6m

根据s x2 y2或者s

y

，均可以计算出s 1531.2m。 sin30

6. 设一歼击机在高空A点时的速度沿水平方向，速率为1800 km/h，飞机在竖直平面上沿近似于圆弧轨道俯冲到点B，其速率变为2100 km/h，A到B的圆弧的半径为4.0km，所经历的时间为3.5s，该俯冲过程可视为匀变速率圆周运动。求飞机在B点加速度的大小，飞行员能承受这样的加速度吗？

解 vA 1800 km/h 500m/s，vB 2100 km/h 583 m/s。飞机在B点的加速度的法向加速度

2vB5832

an 85.0 m/s2

R4000

俯冲过程视为匀变速率圆周运动，故切向加速度可按照下式计算

vB vA583-500

23.7 m/s2 t3.5

因此飞机在B点的加速度大小

at

2

a an at2 85.02 23.72m/s2 88.2 m/s2

上面计算出的加速度是重力加速度的9倍，这是飞机驾驶员最多可承受的极限加速度。

7. 一质点沿半径为R的圆周按规律s v0t 作圆周运动的速率；（2）质点的加速度。

12

（1）质点kt运动，v0，k都是常量.求：

2

解（1）质点作圆周运动的速率

v

ds

v0 kt dt

（2）切向加速度和法向加速度分别为

2

v2(v0 kt)dv

at k，an RRdt

因此质点的加速度大小

2

a at2 an k2

(v0 kt)4

R2

如图所示，设其与速度方向的夹角为 ，则有

(v0 kt)2an

arctan arctan[ ]

atRk

质点的加速度大小和方向都是随时间t变化。

8. 一质点在半径为0.10 m的圆周上运动，设t 0时质点位于极轴上，其角速度为 12 t 2 (SI单位)。(1) 求在t = 2.0s时质点的法向加速度、切向加速度和角位置。(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，角位置 值为多少？(3) t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

解：(1) 已知 12 t 2，所以2秒时法向加速度和切向加速度分别为：

an 2r 144rt4 230.4m s 2 at rd /dt 24rt 4.8m s 2

其角位置为： 0 dt 4 23rad 32rad

02

22

(2) 由a an，即： at2 at a/2，可得： 3at2 an

3(24rt)2 (144rt4)2， 解得：t3 0.29 s3

所以： 0 dt 4t3 1.16rad

0t

(3) 由at an，可得 24rt 144rt4， 所以t 0.55s

9. 一架预警机A以vA=1000km h–1的速率相对于地面向南巡航，飞机中雷达员发现一目标B以vB=1200km h–1的速率相对于地面向东偏南30 方向飞行。求目标B相对于预警机A的速度。

解： 如图所示，已知飞机A的绝对速度vA和目标B的绝对速度vB ，所以目标B相对于飞机A的相对速度vBA为

vBA vB vA

所以

vBAx vBx vBcos300 1039.2km h 1

1

vBAy vA vBy vA vBsin30 400km h

因此，相对速度vBA的大小为

x

22

vBA vBAx vBAy .22 4002 1113.6km h 1

方向为东偏北 角， 的大小为 tan 1即相对速度vBA的方向为东偏北21 。

vBAyvBAx

tan 1

400

21

1039.2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hcjj.html