高等数学B（上）复习资料 - 图文

华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导

一、 求函数值 例题：

1、若f(x)?x2，?(x)?ex，则f(?(x))? ． 解：f(?(x))?f(e)??exx2??e2x

2、若f(x?1)?2x?1，则f(x)? ． 解：令x?1?t，则x?t?1 所以f(t)?2(t?1)?1?2t?3

即 f(x)?2x? 3

二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：

x?0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx

x~ln(1?x)~ex-1

1211?cosx~x,1?x?1~x

22第1页 共23页

无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用

相应的等价无穷小替换

例题：

sin33x?？ 1、lim2x?0x解：当x?0，sin3x~3x，

(3x)3原式=lim2?lim27x?0

x?0x?0x

sin3x2、lim?？

x?0x解：原式=lim 3、lim3x?3

x?0x1-cosx?？ 2x?0x12解：当x?0，1-cosx~x

212x12 原式=lim2?

x?0x2

第2页 共23页

4、limln(1?3x)?？

x?0x解：当x?0，ln(1+3x)~3x

原式=.lim3x?3. x?0x

e2x?1?？ 5、limx?0x解：当x?0，e2x?1~2x

2x 原式=.lim?2.

x?0x

三、 多项式之比的极限

x2?113x2?xx?，lim?? lim2?0，lim2x??3x?xx??x??3x?x3x

四、 导数的几何意义（填空题）

f?(x0)：表示曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线斜率

曲线..y?f(x)..在点M(x0,f(x0))处的切线方程为：

y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的法线方程为：

第3页 共23页

y?f(x0)??1(x?x0) f?(x0)例题： 1、曲线y?解：y?x?2?4?x在点M(2,3)的切线的斜率． 4?x(4?x)'(4?x)?(4?x)(4?x)? 2(4?x)x?28?(4?x)2

?2

x?2cosx2、曲线y?x在点M(0,1)处的切线方程．

e解：y?x?0(cosx)'ex?cosx(ex)? ?x2(e)x?0?sinxex?cosxex?(ex)2??1

x?0所以曲线y?cosx在点M(0,1)处的切线方程为： xey?1??(x?0)，即x?y?1?0

3、曲线y?13x2在点M(1,1)处的切线方程． 2??

3x?1第4页 共23页

25解：y?x?1??x33

所以曲线y?13x2在点M(1,1)处的切线方程为：

2y?1??(x?1)，即2x?3y?5?0

3

五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则：

y?f(u),u?g(x)?y?f[g(x)]:dydydu??dxdudx

或y?(x)?f?(u)?g?(x).

微分：dy?f?(x)dx 例题：

1、设y?x2?1，则y'?？

1?12解：y??x?1?2??x2?1???2'xx?12

2、设y?sinx2，则y'?？ 解：y?cosx??x'22'??2xcosx2

3、设y?2sinx，则dy?？ 解：y?2'sinxln2??sinx??2sinxcosxln2

第5页 共23页

'

则dy?2sinxcosxln2dx

4、设y?sinex，则dy?？ 解：y?cose??e'xx'??excosex

所以dy?excosexdx 5、设y?e

六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：

1、求y?xlnx的单调区间和极值． 解：定义域x?(0,??)

令y??lnx?1?0，求出驻点x?e?1

?x2，则dy?？（答案：?2xe?x2dx）

x y? y (0,e?1) - 单调减 e?1 0 极小值点 (e?1,??) + 单调增 函数的单调递减区间为(0,e?1]，单调递增区间为(e?1,??)

11 极小值为y()??．

ee

第6页 共23页

2、求y?xe?x的单调区间和极值． 解：定义域x?(??,??)

令y??e?x?xex?(1?x)e?x?0，求出驻点x?1

x y? y (??,1) + 单调增 1 0 极大值点 (1,??) - 单调减 函数的单调递减区间为[1,??)，

单调递增区间为(??,1)，

极大值为y(1)?e?1．

3、求函数.f(x)?e?x2.的单调区间和极值．

解：定义域x?(??,??) 令f?(x)??2xe?x，得x?0

2(??,0) (0,??) 0 x y? + 0 - y 单调增 极大值点 单调减 单调递增区间：(??,0)，单调递减区间：(0,??)， 极大值为f(0)?1．

1324、求函数f(x)?x?x的极值．答案：极小值为y(1)??，

33第7页 共23页

极大值为y(?1)?2 3

七、 隐函数求导 例题：

1、求由方程ex?siny?xy2?0所确定的隐函数y?y(x)的导数

dy． dx解：方程两边关于x求导，得：

ex?cosy?y??(y2?2xy?y?)?0

y2?ex即 y??

cosy?2xy

2、求由方程y?cos(x?y)所确定的隐函数y?y(x)的导数

dy． dx解：方程两边同时关于x求导，得：

y???sin(x?y)(1?y?)

即

y???sin(x?y)

1?sin(x?y)第8页 共23页

3、求由方程y?sin(x?y)所确定的隐函数y?y(x)的导数dycos(x?y)dy． 答案： ?

dx1?cos(x?y)dx

4、求由方程xy?lnx?lny?0所确定的隐函数y?y(x)的导数

八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：

1??11、求极限lim?x?? x?0e?1sinx??sinx?(ex?1)解：原式?limx

x?0(e?1)sinxdydyy． 答案： ?? dxdxx

sinx?(ex?1)x ?lim.　当x?0时，sinx~x,e?1~x. 2x?0x??cosx?ex ?lim

x?02x?sinx?ex?lim x?021??

2第9页 共23页

2、求极限limx?0x?sinx?0??? 3tanx?0?解：原式=limx?0x?sinx　tanx~x? ?当x?0时，3x1?cosx ?lim2x?03x12x12??2=lim2　　1?cosx~x? ?当x?0时，x?03x2??1? 6

ex?x?1?0?13、求lim （答案：） ??2x?0x2?0?

九、 原函数、不定积分的概念及其性质 知识点：

设F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，

F(x)?C是f(x)的全体原函数，且有：

?f(x)dx?F(x)?C

例题：

第10页 共23页

1、( )是函数3x?x3的原函数．

1432141242A．3x?3 B．x?x C．x?x D．x?x

242解：因为??1?4x4?32x2?????3x?x3

所以14x4?32x2是3x?x3的原函数．

2、( )是函数xcosx2的原函数． A．?2sinx2

B．2sinx2

C．?1sinx22

?解：因为??12sinx2??1??2?(cosx2)?2x?xcosx2?所以12sinx2是xcosx2的原函数．

3、x 是( )的原函数

A．12x

B．12x C．lnx

解：因为?x???12x

所以x是12x的原函数．

第11页 共23页

42D．1sinx22

D．x3

14、( )是函数的原函数．

x11A．2 B．?2 C．?lnx

xx1解：因为?ln|x|???

x1所以ln|x|是的原函数．

x

D．ln|x|

十、 凑微分法求不定积分（或定积分）

简单凑微分问题：?e2xdx，?sin4xdx，?cos5xdx,?lnxdlnx 一般的凑微分问题：

?x1?x2dx，

2x2?3xdx，?sinxlnx，dx?1?cosx?xdx

例题： 1、?x1?x2dx

解：注意到(1?x2)???2x

111?2?d?1?x??参考公式?原式=??dx?2x?C?

21?x2x?????1?x122??C

第12页 共23页

2、?x2?3x2dx

解：注意到(2?3x2)???6x

?23122?2原式=??2?3xd(2?3x)?参考公式?xdx?x?C?

36??1=?(2-3x2)3?C 9

sinx3、?dx

1?cosx解：注意到(1?cosx)???sinx

11??原式=??d(1?cosx)?参考公式?dx?ln|x|?C?

x1?cosx??=?ln|1?cosx|?C 4、?e5?xdx

解：原式=?e5?xd(5?x)参考公式?exdx?ex?C

=e5?x?C

5、?cos5xdx

??第13页 共23页

解：原式?1cos5xd(5x)参考公式?cosxdx?sinx?C ?5??1?sin5x?C 5

6、?sin3xdx 解：原式?1sin3xd(3x)参考公式?sinxdx??cosx?C ?3??1??cos3x?C

3

十一、 不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分） 知识点：利用换元直接去掉根号：ex?1，ex?1，x，1?x，1?x等

例题： 1、求不定积分?1e?1xdx

解：令ex?1?t，则ex?t2?1?x?ln(t2?1) dx?2tdt 2t?112t1原式=??2dt?2?2dt

tt?1t?1第14页 共23页

??11dt??dt t?1t?1?ln|t?1|?ln|t?1|?C

?ln|ex?1?1|?ln|ex?1?1|?C

1dx． 2、?01+x4解：令x?t，则x?t2?dx?2tdt 当x?0时，t?0；当x?4时，t?2

2t?1?11原式=??2tdt?2?dt

01+t01+t2?2(?dt??021dt) 01+t22?2(2?ln|t?1|0)

?2(2?ln3)

3、?xx?1dx

01解：令x?1?t，则x?t2?1，dx?2tdt

当x?0时，t?1；当x?1时，t?2 21原积分??(t2?1)t?2tdt

第15页 共23页

?2?(t4?t2)dt

122?1513? ?2?t?t? 3?1?54 ?(2?1)

15

十二、 不定积分的分部积分法（或定积分）

诸如?xsinxdx，?xcosxdx，

x?x，xedxxe??dx，

?xlnxdx，可采用分部积分法

分部积分公式：?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)

例题：

1、求不定积分?xsinxdx． 解 ?xsinxd?x? xx?d(cos ??xcosx??(?cosx)dx

??xcosx??cosxdx ??xcosx?sinx?C

2、求不定积分?xe?xdx 解 ?xe?xdx???xde?x

第16页 共23页

??xe?x??e?xdx

??xe?x?e?x?C

3、求不定积分?xlnxdx

12解 ?xlnxdx??lnxd(x)

2 ?121xlnx??x2dlnx 22121?xlnx??xdx 221212?xlnx?x?C 24

十三、 定积分的概念及其性质

知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题：

1、定积分?xedx等于 ．

?aa3x2解： 因为xe是x的奇函数，所以原式=0 2、定积分?x2sin3xdx等于 ．

?aa3x2解： 因为x2sin3x是x的奇函数，所以原式=0

第17页 共23页

x2sinxdx等于 ． 3、定积分???1?x2?x2sinx解： 因为是x的奇函数，所以原式=0 21?x

十四、 变上限积分函数求导

变上限积分函数的导数公式??解?(x)af(t)dt?f??(x)???'(x)x3?'F(x)??a(C)f(t)dt,则F'(x)?______F'(x)?f(x3)?(x3)'＝3x2f(x3)

例题：

1、 设函数

f(x)在[a,b]上连续，F(x)??f(t)dt，则F?(x)?ax34（ C ）．

A．f(x)

B．f(x3)

x2C．3x2f(x3) D．3x2f(x)

2、设f(x)??arctantdt，则f?(x)?2xarctanx2．

1

3、设f(x)??sint3dt，则f?(x)?sinx3．

0x第18页 共23页

十五、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：

1、?x2x3?1dx

01解：注意到(x3?1)??3x2

3??211332原式??x?1d(x?1)?参考公式?xdx?x?C?

330??12=(x3?1)3 902?(22?1) 9

十六、 定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分， 思想与不定积分类似 例题： 1、?1dx． 01+x4解：令x?t，则x?t2?dx?2tdt 当x?0时，t?0；当x?4时，t?2

2t?1?11原式=??2tdt?2?dt

01+t01+t2第19页 共23页

?2(?dt??021dt) 01+t22?2(2?ln|t?1|0)

?2(2?ln3)

2、?xx?1dx

01解：令x?1?t，则x?t2?1，dx?2tdt

当x?0时，t?1；当x?1时，t?2 21原积分??(t2?1)t?2tdt

21 ?2?(t4?t2)dt

21??1 ?2?t5?t3? 3?1?5 ?4(2?1) 15十七、 定积分的分部积分法（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：

1、求定积分?xsinxdx．

第20页 共23页

?20

解

??20xsinxdx??xd(?cosx)

?20?20?20 ??xcosx??(?cosx)dx

??cosxdx ?sinx?1

?20?20

2、求定积分?xe?xdx

01解

?10xedx???xde?x

0?x10?x1 ??xe??e?xdx

0?x101??(e?0)?e?1

??2e?1?1

十八、 求平面图形面积 知识点：X型积分区域的面积求法 Y型积分区域的面积求法

通过作辅助线将已知区域化为若干个X型或Y型积分区域的面积求法

第21页 共23页

例题：

1、求由y?lnx、x?0，y?ln2及y?ln7所围成的封闭图形的面积．

解：由y?lnx得x?ey

ln7面积为S?ln2ylm7?(ey?0)dy

???e??ln2

?5

2、计算由曲线y?x与直线y?1及x?0所围成的图形的面积． 解：由???y?x得交点??y?11A为(1,1)

面积为S??(1?x)dx

0321?2?1??x?x??

3?03?

13、求由曲线y?与直线y?x及x?2所围成的平面图形的

x面积．

第22页 共23页

?y?x 解：由?得交点A为(2,2)

?x?2?y?x?由?1得交点B为(1,1)

y??x?21面积为S??(x?)dx

x1?1???x2?ln|x|? ?2?123??ln2 2第23页 共23页

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